抽象基本模型 力求觸類旁通

摘? 要：在日常教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生解決復(fù)雜的幾何問題，加強學(xué)生對基本圖形變化本質(zhì)的理解，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象能力，使學(xué)生能從同類型問題中總結(jié)出基本模型并加以運用. 文章以與“半角模型”相關(guān)的幾何問題解決為例，抓住同類型問題的本質(zhì)特點，變式探究，并加以歸納推廣，力求觸類旁通.

關(guān)鍵詞：半角模型;觸類旁通;解題分析

在九年級中考復(fù)習階段，很多學(xué)生依然對幾何壓軸題存在畏難情緒，面對復(fù)雜的圖形、多變的條件常常手足無措. 筆者認為，其主要原因是學(xué)生在幾何證明內(nèi)容的問題解決活動中缺乏主動概括與反思的能力，無法有效搭建起圖形、條件和結(jié)論之間的橋梁.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的累積是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志. 因此，在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試挖掘圖形中隱含的信息，識別常見的基本圖形，進而建立問題解決的基本模型，從而培養(yǎng)學(xué)生化繁為簡、化難為易的轉(zhuǎn)化思想，力求觸類旁通. 實際上，學(xué)生識圖、研圖和解圖的過程不僅是知識技能的學(xué)習過程，更是一個融入觀察、閱讀、思考，體現(xiàn)直觀想象和邏輯推理能力的過程. 現(xiàn)以對一道中考模擬試卷的幾何壓軸題的分析、解答與變式設(shè)計為例進行說明.

一、題目呈現(xiàn)

題目? 如圖1，在四邊形ABCD中，AB = AD = 4，CB = CD = 3，∠ABC = ∠ADC = 90°，點M，N是邊AB，AD上的動點，且∠MCN =[12]∠BCD，CM，CN與對角線BD分別交于點P，Q.

（1）求sin∠MCN的值;

（2）當DN = DC時，求∠CNM的度數(shù);

（3）試問：在點M，N的運動過程中，線段比[PQMN]的值是否發(fā)生變化？如果不變，試求出這個值;如果變化，試至少給出兩個可能的值，并說明點N的相應(yīng)位置.

二、題目解析

1. 借助“倍半關(guān)系”，進行角的轉(zhuǎn)化

題目第（1）小題是“求sin∠MCN的值”，由于點M，N為動點，△MCN的三邊長度都是未知的，故而作垂線解三角形的方法難以實現(xiàn)求解. 因此，聯(lián)想將∠MCN進行角的轉(zhuǎn)化. 根據(jù)已知條件∠MCN =[12]∠BCD，將問題轉(zhuǎn)化成構(gòu)造∠BCD的半角. 結(jié)合圖形分析，根據(jù)△ABD與△BCD都是等腰三角形，連接AC后，AC垂直平分BD，利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，將∠MCN轉(zhuǎn)化為∠BCA，即此小題的最終目的是“求sin∠BCA的值”.

2. 構(gòu)造全等三角形，進行再次轉(zhuǎn)化

和第（1）小題的求解相似，在第（2）小題的求解過程中，由于無法直接求出∠CNM的值，因此需要構(gòu)造與△MCN全等的三角形，繼而將∠CNM進行轉(zhuǎn)化. 構(gòu)造全等三角形的關(guān)鍵在于BC = CD. 如圖3，將△BCM旋轉(zhuǎn)至△DCG的位置，構(gòu)造△MCN ≌ △GCN，即將∠CNM轉(zhuǎn)化為∠CND. 除了旋轉(zhuǎn)△BCM外，也可以旋轉(zhuǎn)△CDN，同樣可以達到目的.

3. 沿用解題思路，巧借相似轉(zhuǎn)化

題目第（3）小題要求[PQMN]的值，由于點P，Q，M，N都是動點，因此直接求PQ，MN的長度或用字母表示其長度的方法均不可行. 因此，此小題的解題落腳點就在于證明△CPQ ∽ △CNM，然后將[PQMN]的值進行轉(zhuǎn)化. 結(jié)合第（1）（2）小題所作的輔助線，如圖4，延長AD至點G，使DG = BM，連接CG，AC，得到了“斜X型”相似，即△PCQ ∽ △NDQ，從而得到△CPQ ∽ △CNM. 從而得到旋轉(zhuǎn)相似型基本圖形△BCP ∽ △ACN，利用相似三角形對應(yīng)線段成比例，最終將[PQMN]轉(zhuǎn)化為[BCAC].

回顧題目中的3道小題，問題的解決路徑都是緊緊圍繞著∠MCN =[12]∠BCD這一已知條件，解題的難點在于利用角的倍半關(guān)系搭建已知（半角）和未知（角或線段的轉(zhuǎn)化）之間的橋梁，借助圖形的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，繼而再分析后構(gòu)造圖形中線段和角的數(shù)量關(guān)系，再以全等和相似為工具，助力問題解決.

三、變式探究

變式探究是促進學(xué)生深度學(xué)習、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效方式. 通過對原題目進行變式探究，抓住其中的“變與不變”，即改變題目的外在形式或圖形特征，沿用同樣的思路和路徑解決同類問題. 可以進一步挖掘圖形的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生體驗基本模型對解決同類型問題的重要作用.

1. 原題背景下的變式探究

變式1：題干同題目.

（1）試探索線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）在點M，N的運動過程中，設(shè)BM的長度為x，AN的長度為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

分析：（1）由原題目第（2）小題證明的兩組全等三角形即可確定線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系;（2）直接用勾股定理或由原題目第（3）小題得到的相似三角形探索y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式有些困難，嘗試借助面積法解決問題.

2. 正方形背景下的變式探究

變式2：如圖7，在正方形ABCD中，點E和點F分別在邊AD，CD上，∠EBF = 45°，連接EF，AC，線段AC分別交BE，BF于點M，N，試探究線段AM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系.

3. 直角三角形背景下的變式探究

變式3：如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點D，E在邊AB上，∠DCE = 45°，過點A作AB的垂線交CE的延長線于點M，連接MD. 過點M作射線CD的垂線，垂足為點F. 設(shè)[BDBC=x]，[tan∠FMD=y，]求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

分析：此題雖然可以通過解三角形或者構(gòu)造相似三角形來求解，但計算過程比較煩瑣. 如圖10，過點C作CG ⊥ AB于點G，延長MA至點I，使AI = BD，連接CI，通過利用∠DCE =[12]∠ACB構(gòu)造與△BDC全等的三角形，分析圖形，利用全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，得到∠FMD = ∠GCD，繼而達到轉(zhuǎn)化角的目的.

變式4：如圖11，在Rt△ABC中，AC = 3，BC = 4，D，E為斜邊AB上的兩點（點D在點E右側(cè)），滿足∠DCE = 45°. 設(shè)AD = x，BE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

分析：因為BC ≠ AC，所以旋轉(zhuǎn)△ACD或△BCE構(gòu)造全等三角形的方法就行不通了. 根據(jù)∠DCE = 45°，如圖12，過點C作CH ⊥ AB于點H，通過旋轉(zhuǎn)EH和DH，構(gòu)造含45°角的“一線三等角”基本圖形，繼而根據(jù)兩組相似三角形構(gòu)建比例線段，建立函數(shù)關(guān)系.

將原題目引申得到了4道變式探究題，這4道變式題改變了結(jié)論和背景圖形，保留了原題目的主要條件——半角及一組相等線段，沿用了原題目的解題路徑，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形（變式4利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形）進行線段或角的轉(zhuǎn)化，滲透了轉(zhuǎn)化思想.

變式1基于原題目的背景進行變式，解題背景由原題目中“角之間的數(shù)量關(guān)系”轉(zhuǎn)變?yōu)椤熬€段之間的數(shù)量關(guān)系”，還融入了“A型”基本圖形，以及等積法、勾股定理等基本方法. 變式2和變式3分別將原題目的背景圖形變?yōu)檎叫魏偷妊苯侨切?，解題過程中再次綜合運用了相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，起到了鞏固提升的作用. 變式4進一步改變背景條件，去掉一組相等線段，由此通過“利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形”、比例線段間的數(shù)量關(guān)系及“一線三等角”基本圖形解決問題.

這4道變式題雖然在圖形背景上有所差別，但是在主體條件和解決路徑上可謂“同根同源”，也體現(xiàn)了將“復(fù)雜圖形拆分成若干個基本圖形”的化繁為簡的思想. 這樣的變式有助于促進學(xué)生的深度學(xué)習，讓學(xué)生學(xué)會類比遷移，也能夠幫助學(xué)生從同類型題目中抽象出基本模型，進而達到“授之以漁”的教學(xué)目標.

四、追根溯源

上述問題的解決都是圍繞著“半角”這一主線展開的. 通過構(gòu)造全等三角形或相似三角形，達到轉(zhuǎn)化角或線段的目的，從而助力問題的解決.

在滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）中，與“半角模型”相關(guān)的內(nèi)容出現(xiàn)在八年級第二學(xué)期“22.3 特殊的平行四邊形”中的例題3：如圖13，菱形ABCD中，∠B = 60°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF = 60°，求證：AE = AF.

后續(xù)問題的引申和變式都是以教材中的例題為基礎(chǔ)，將解題背景由“菱形”變?yōu)椤罢叫巍被颉叭切巍?將三角形的旋轉(zhuǎn)由“形內(nèi)”拓展到“形外”;將解題路徑由“三角形的全等”變?yōu)椤岸稳?，利用性質(zhì)”或“構(gòu)造相似，利用比例線段”，其中都蘊涵了轉(zhuǎn)化思想.

若將“半角”問題一般化，則可以得到“半角模型”的一般形式. 如圖15，在四邊形ABCD中，如果滿足[AB=AD，∠B+∠D=180°，] 點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且[∠EAF=12∠BAD]，這樣的圖形我們將其稱為“半角模型”.

“半角模型”的建立源于廣泛的聯(lián)想（即轉(zhuǎn)化的前提），即通過轉(zhuǎn)化思想（將三角形進行旋轉(zhuǎn)）達到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)、整合圖形信息的目的. 由此，遇到類似圖15的圖形時，應(yīng)能快速聯(lián)想到利用“半角模型”解決問題.

五、教學(xué)建議

1. 理清解題步驟，培養(yǎng)識圖、解圖能力

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授》中表示，解題是一種本領(lǐng)，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，只有靠模仿和實踐才能學(xué)到它. 在日常教學(xué)中，首先，教師要給予學(xué)生充足的讀題時間，讓學(xué)生挖掘題干（圖形）中顯性和隱性的信息，明確解題目標;其次，要讓學(xué)生探索條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，以及解決問題所需的基本方法，由因?qū)Ч驖u進;最后，讓學(xué)生進行有條理、有層次、有系統(tǒng)的解答. 只有讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、總結(jié)的過程，才能幫助學(xué)生建立數(shù)感和圖感，積累解題經(jīng)驗;只有讓學(xué)生經(jīng)歷識題、解題的過程，才能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化過程，感悟運用數(shù)學(xué)知識形成解題方法的過程，進而在問題解決時信手拈來、水到渠成.

2. 關(guān)注基本圖形，培養(yǎng)抽象、概括能力

雖然題目中呈現(xiàn)的圖形是靜態(tài)的，但是學(xué)生的思維卻是動態(tài)的. 因此，如何幫助學(xué)生搭建靜態(tài)和動態(tài)之間的橋梁是極為重要的. 幾何壓軸題的圖形雖然復(fù)雜，但若能分解出其中的基本圖形，并抽象成基本模型，再利用通性、通法加以分析，那么再復(fù)雜的問題也將迎刃而解.

基本圖形主要有兩個來源：一是經(jīng)典圖形，即教材中的定義、公理、定理及推論等所對應(yīng)的圖形，題目和變式中所應(yīng)用的主要就是旋轉(zhuǎn)、全等三角形和相似三角形的相關(guān)性質(zhì);二是常用圖形，即在練習中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)概括出的模型，這些模型具有一定的特征，這些特征通常是解決問題的關(guān)鍵所在，它可以對解題起到化繁為簡的作用. 如圖15所示的“半角模型”就是在練習中所總結(jié)出的模型. 想要在短時間內(nèi)從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并找到恰當?shù)慕忸}方法，則要依靠學(xué)生日常的相關(guān)訓(xùn)練和點滴積累，以及教師對學(xué)生抽象、概括能力的培養(yǎng).

3. 注重變式探究，培養(yǎng)推理、想象能力

“半角模型”的建立源于一系列的變式探究，這體現(xiàn)了學(xué)生對知識的理解和遷移能力，也體現(xiàn)了將未知化為已知的轉(zhuǎn)化思想. 所有這些對數(shù)學(xué)思想能力的考查都自然地融合在層層推進的題設(shè)之中. 除此以外，還需要加強學(xué)生多題一解的能力，以此開闊思路、發(fā)散思維，使學(xué)生學(xué)會多角度分析、解決和總結(jié)問題.《標準》中指出，數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括. 因此，在日常教學(xué)中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)內(nèi)涵，在講解完綜合性題目后多提問學(xué)生. 例如，此題中蘊涵著哪些基本圖形（模型），解題過程中運用了哪些基本方法？同類型的問題還可以怎樣解？這些基本圖形（模型）、基本方法是否都可行？可以推導(dǎo)出更一般的通式、通法嗎？等等. 以此引領(lǐng)學(xué)生進行類比遷移和深度思考. 長此以往，必然能提升學(xué)生分析和解決問題的能力，進而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生達到“會一題，通一類”的境界.

參考文獻：

[1] 萬妍青. 巧構(gòu)基本圖形，助力問題解決：以2020年上海中考25題第（3）小題為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中旬），2020（12）：12-15.

[2] 張寧. 突破形變干擾，構(gòu)建基本模型：2017年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)第10題的解法、變式探究及改進[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2018（3）：68-71.

[3] 沈岳夫. 抓住“半角”模型? 巧用旋轉(zhuǎn)突破[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（7）：41-44.

[4] 劉華為. 基于目標分析? 探求以題會類：以因動點產(chǎn)生的函數(shù)問題為例[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（9）：20-22，45.