談中考數(shù)學閱卷的雙重境界

摘? 要：從三道中考數(shù)學試題閱卷中的學生解題現(xiàn)象入手，簡析并提出中考閱卷的雙重境界——從“閱卷”到“悅卷”再到“越卷”，并從中引發(fā)教學感悟，兼談初中生數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)的培育，提出基于教材精讀的初中生數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑.

關鍵詞：中考閱卷;教材精讀;數(shù)學交流

一、緣起

在中考閱卷中，相信很多人都會有所體悟，也許是對一道題的解法產(chǎn)生了更多思考，也許是對學生的錯誤解法產(chǎn)生一種憂慮，又或是為學生的創(chuàng)新解法而感到快樂. 筆者參加中考數(shù)學閱卷已有15年，期間批閱了各種類型的試題，也在試題命制、解題分析等方面發(fā)表了不少文字，但要總結寫出這些年來的體悟，還有點為難. 這是因為年年閱卷的感受，其實是相差無幾的. 從什么角度落筆呢？看看各主流雜志上發(fā)表的基本上是關于壓軸題的命制及其教學啟示，很少涉及簡單的基礎試題的閱卷體悟，可能多數(shù)教師認為在難題上做解析，會留給讀者更多的思考.

然而，在“以學為中心”的理念下，通過一些簡單試題去研究學生的學習和思考，也許其價值不亞于對難題的解析. 如果能從更多角度去觀察思考，整體上了解學生對簡單題、中等題和難題是怎樣思考的，又是怎樣解答表述的，教師該怎樣依據(jù)課程標準解讀試題，怎樣立足教材精讀知識內涵，怎樣基于數(shù)學思考展開交流，從而幫助學生學習它、認識它、掌握它，或許這樣更能讓大家看清楚教學的方向，對教師教學會更有幫助.

下面結合近三年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷中的兩道簡單題和一道壓軸題的閱卷經(jīng)驗，就看到的學生的一些答題現(xiàn)象進行解析并提出閱卷的雙重境界，兼談由閱卷引發(fā)的教學感悟，即數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)培育的提升路徑.

二、第一重境界：從“閱卷”到“悅卷”

“悅”，即喜悅. 如果僅僅是為了完成批閱試卷任務，或是從中了解試題評分標準、解法和書寫規(guī)范，則中考閱卷可能就是苦差事了. 但如果能在批閱過程中探析學生的解題邏輯，由此產(chǎn)生對自身教學的導向思考，那么苦差事就會變成一種喜悅，即達到從“閱卷”到“悅卷”的境界. 現(xiàn)列舉兩道簡單的幾何題來說一說.

1. 閱卷中的解題現(xiàn)狀

對于這兩道簡單題，在閱卷時發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生的解題思路清晰，書寫步驟規(guī)范，但均有一成學生的解題過程邏輯混亂，不懂尋找證明三角形全等需要滿足的三個條件. 他們常自創(chuàng)邏輯聯(lián)系，通過自造條件來證明，且缺乏書寫表達邏輯，出現(xiàn)死用知識或不會應用知識的現(xiàn)象. 例如，在題目1的解答中，存在以下答題現(xiàn)象：由FC∥AB，得到FC = AD或內錯角∠ADE = ∠DEC;或從圖1中直觀感知得到∠ADE = ∠EFC;或無目的亂用對頂角∠AEF = ∠DEC;或出現(xiàn)繞圈證明，由FC∥AB，得到△AED ≌ △CEF，由三邊對應成比例且DE = FE，得到另兩邊相等得證. 這種把簡單問題復雜化的解題實質上是思維量不足的表現(xiàn).

而題目2增強了在核心知識融合處的考查，突出在知識交會處命題，受此影響，一些學困生得分不高，被圖形所迷惑. 因圖2中∠ACB和∠D的度數(shù)相差無幾，誤以為∠BCA = ∠D而得出錯誤結論. 中等生的解題錯誤則反映在解題慎重，解題步驟重復，無法精簡表述關鍵點. 優(yōu)等生的解題錯誤則為出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，忽略關鍵書寫步驟. 在題目2的解答中，仍然出現(xiàn)不少繞圈推理，如連接BD得到兩對全等三角形，導致證明過程復雜，不能清晰完整表述，用兩次全等或等腰三角形的性質達到解題目的，費力不討好.

從學生的答題現(xiàn)狀可以看出，學困生的解題問題依舊在于沒有掌握基本概念、公式、定理，導致解題時沒有思路，不會用數(shù)學語言組織、表述解答過程. 中等生的解題錯誤則為邏輯混亂，自造條件或直觀判斷，因果倒置，也存在解題思路不簡潔、不清晰，解題過程表述不規(guī)范，將簡單問題復雜化.

2. 從批閱到教學喜悅

在日常教學中，教師應該如何解決以上問題？數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)需要怎樣精當、合理、有序地呈現(xiàn)？筆者結合以上兩道題目談一下個人的看法.

閱讀題目1發(fā)現(xiàn)，需要由條件FC∥AB得到邊或角相等才能展開證明，因此，可以保持這個條件不變，先讓學生在圖3中添加一個條件求證△ABE ≌ △CFE，目的在于讓學生感知和理解證明三角形全等的方法. 例如，令點E是AC的中點，進而展開串聯(lián)，連接AF，補成平行四邊形，回歸到基本圖形的認識上，建立三角形與四邊形的聯(lián)系. 還可以讓圖形動起來，思考：在圖1中，點D是AB上的一個動點，DF交AC于點E，點D從點B向點A運動，當點D運動到何處時（或點E在何處時），△AED ≌ △CEF？并通過對比交流，明晰在靜態(tài)和動態(tài)下尋求證明三角形全等的條件，加深理解證明全等的方法，同時理解相似與全等的關系及其規(guī)范表達.

題目2亦是如此. 先閱讀題目的已知條件，分析隱含條件和所求結論，關注圖形的直觀感知和應用，在圖中識別對應相等的線段或角，即通過閱讀培養(yǎng)學生識圖和用圖的能力，并從圖形變換的角度尋求全等或相似的基本圖形. 例如，從軸對稱圖形的角度感知圖形，避免干擾，正確用圖. 緊接著，把數(shù)學思考和交流融合起來，如為什么選擇AC = AC，而不選擇未經(jīng)證明的條件BC = DC或∠B = ∠D. 通過學生講數(shù)學，說出解題思路背后的原理，找到解題切入點，最后小心求證，規(guī)范書寫解題步驟，達成對解題過程的真正理解和應用. 又如，在解法比較中交流體悟簡化思想，此題有如下三種解法：一是先運用三角形全等的判定和性質，再應用三角形內角和定理求解;二是先應用三角形內角和定理再運用全等三角形的判定和性質求解;三是利用圖形（箏形）的特殊性，連接BD，通過證明AC垂直平分線段BD，再運用等腰三角形相關性質和三角形內角和定理也可以求解. 第三種方法雖然復雜，但能把三角形的相關知識和全等、等腰三角形等融合起來，還能讓學生在簡單題中充分體悟解題的求簡思想.

綜上，這是從“閱讀、思考、交流”三大方面幫助學生建立解決問題的方法和途徑，注重數(shù)學知識的有效聯(lián)系. 橫向聯(lián)系以促進知識之間的關聯(lián)性;縱向聯(lián)系以提升知識運用的綜合性，提煉思想以增強知識運用的普適性. 實質上就是注重對學生的學法指導和對教材的教法研究，讓學生能做到眼觀圖形，心連知識，達成知識和思想的有效傳遞，而這需要慢、細、透的教學，不求快，勿因簡單而放棄思考，以透徹學生心扉.

可見，從閱卷中看到問題，進而在教學中改進，建立提升課堂教學與知識考查的有效鏈接，能給教師帶來教學喜悅，這就是筆者所體悟的從“閱卷”到“悅卷”的境界！

三、第二重境界：從“悅卷”到“越卷”

“越”，即超越. 中考數(shù)學試題既是衡量初中生是否達到畢業(yè)標準的主要依據(jù)，又是高中招生的重要依據(jù)，承載著教師培養(yǎng)學生思維的教學導向功能. 若僅是達到第一重境界，則不能完成超越試卷所承載的功能，更不能達成從“悅卷”到“越卷”的第二重境界. 以題目3為例說說這種境界.

1. 試題呈現(xiàn)與簡析解答

題目3 （2018年廣東·廣州卷）已知拋物線[y=x2+mx-2m-4 m>0].

（1）證明：該拋物線與[x]軸總有兩個不同的交點;

（2）設該拋物線與[x]軸的兩個交點分別為A，B （點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在[⊙P]上.

① 試判斷：不論[m]取任何正數(shù)，[⊙P]是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標;若不是，說明理由.

② 若點C關于直線[x=-m2]的對稱點為點[E]，點[D0，1]，連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為[l]，[⊙P]的半徑記為[r]，求[lr]的值.

分析：此題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系時，回歸到方程根的本質及拋物線圖形特征的性質理解上，更突出數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理. 在考查定點問題時，突破常規(guī)，在雙定點情況下考查數(shù)學辨析能力. 可以從幾何角度構建方程模型求解，也可以從代數(shù)運算角度列方程求解，更可以運用高中知識求解，可謂是模型不一，本質歸一，突出指向了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng). 在不給圖的情況下，突出基于數(shù)學閱讀的理解，考查學生在內容維度上融會貫通、情境維度的模型建構和過程維度的思維經(jīng)驗積累三個方面的能力.

簡解：（1）解方程得[x1=2，x2=-m-2，] 判斷兩根不同，第（1）小題得解.

（2）① 由第（1）小題可求出[A2，0，][ B-m-2，0，] [C0，-2m-4]. 設[⊙P]與y軸交于點[K0，k，] 由這四點共圓，可以證得△AOK ∽ △COB. 得[OKOB=AOCO]. 解得[k=1]. 所以點K的坐標為[K0，1].

② 如圖4，由已知條件可以證得[∠DCE=90°°]. 則DE是[⊙P]的直徑，即[DE=2r.] 由△BDE ∽ △ODA， 得[l△BDEl△ODA=DEAD]，即[l△BDE3+5=2r5]. 得[lr=10+655.]

2. 學生解答與存在的問題

有些學生不能準確理解第（1）小題的條件與結論的關系，利用慣性思維直接寫[Δ>0]，或未利用條件[m>0]對判別式的符號進行判斷，數(shù)學表達不規(guī)范、不嚴謹. 在第（2）小題第①問時，有的學生取[m]的兩個特殊值求解，用特殊代替一般得到定點坐標，沒能說明對任意[m]的值成立;有的學生缺少畫圖意識，不能借助圓的主圖進行分析，卻被拋物線迷惑而畫不出圖形;或是數(shù)感意識不強，未能通過[-2m-4=2-m-2]看出[OC=2OB]而發(fā)現(xiàn)Rt△BOC的特殊性. 有些學生解答第②問時，一是不求出點E的坐標，就直接運用勾股定理或相似三角形的性質求三邊長，但對含有字母式子的運算能力較弱而產(chǎn)生錯誤，或不能看出三邊長都與根式[m2+4m+5]相關，導致無法發(fā)現(xiàn)所求三角形的特殊性;二是沒有說明“點[D]在[⊙P]上”，沒有關注兩個小問之間的內在聯(lián)系，出現(xiàn)表達不嚴謹，忽略證明“DE為[⊙P]的直徑”的關鍵步驟.

3. 兩重境界與教學思考

含字母式子的運算能力和發(fā)現(xiàn)問題本質的簡捷性思考，是數(shù)學抽象思維教學訓練的基礎. 解決題目3需避免思維定勢和加強簡化思想的思維滲透教學，這是達成第一重境界的兩點教學思考.

一是明辨思維的互逆性以避免思維定勢. 拋物線與[x]軸交點個數(shù)和解析式中參數(shù)[m]的取值范圍存在互逆關系，若過多訓練正向或逆向的單一類型題目，會出現(xiàn)解法的思維定勢理解. 已知交點個數(shù)到求[m]的取值范圍的方法單一，反之，至少可用三種方法求解，思維固化根源在于缺乏真正思辨和體悟數(shù)學思想的解題作用過程，而無法產(chǎn)生數(shù)學智慧.

二是注重全面閱讀以利于滲透求簡. 從相交弦、相似或半徑相等、勾股定理等路徑尋找獲得等量關系的方法很多，前者解法的本質相同，計算量較小，但思考時間較長，沒有圖不易看出，而其他恰好相反. 該怎樣去尋求最簡求解路徑呢？離不開解法歸一的引導，即思考：在對比中體悟為何要這樣做？怎樣做才是合理有序的？怎樣學會反芻，如何把握整體，加強局部聯(lián)系？如此得出前述簡答的最佳解題路徑.

下面重點闡述通過“有效閱讀、獨立思考、數(shù)學交流”的教學過程，以達成第二重境界.

第一，開展有效閱讀，是基于教材精讀培養(yǎng)數(shù)學閱讀素養(yǎng). 沒有反思的閱讀，就像是不加消化地接受知識. 有效的數(shù)學閱讀是通過翻譯、設問、理解、校對、對比、批判等方法對知識加工和推理的過程，一般有四步策略：略讀、反思、精讀、表達. 略讀是有選擇性瀏覽教材局部，以便簡單有效獲得對整節(jié)課的概念，且能抽出需要精讀的內容. 例如，概念是怎樣獲得的？提供了怎樣的論據(jù)？如何辨析和應用？反思是要問自己問題，對知識是否產(chǎn)生誤解或質疑. 精讀即是加深和檢驗個人理解，逐句理解并隨手做記號，讀到有用之處，在空白處用自己的話寫下個人理解，即問題、思考或總結. 表達是抓住數(shù)學概念及其形成的論據(jù)，或接受、或批判性質疑呈現(xiàn)一個簡略版內容，即把書讀薄. 有效閱讀還有很多形式，如重類比的聯(lián)系閱讀、建體系的整體閱讀、發(fā)散式的靈活閱讀、開放性的作業(yè)閱讀等.

第二，開展獨立思考，是基于問題提出的數(shù)學思維能力培養(yǎng). 面對問題，需要通過獨立分析、判斷、決策，尋求更好的問題解決方法. 獨立思考是指在個人理解基礎上帶著問題和觀點去了解知識，并保持有效批判分析，產(chǎn)生新見解，歸納總結出新的認識. 如果“每個人都把自己視野的極限當作世界的極限”（哲學家叔本華），就會讓自己的視野變得更為開闊，這需要學生更加深入和精確地領悟學習過程，養(yǎng)成獨立思考的習慣. 倘若學生逃避“想”，教師需要在教學中設置問題引導，讓學生能有想的機會，產(chǎn)生想的基礎. 筆者提倡的“以退為進”的學習數(shù)學知識方式，意在進退間體悟數(shù)學思想，培養(yǎng)思維，退是凸顯，進是發(fā)展，這是“先凸顯，再發(fā)展”的超越性思維培養(yǎng)的具體體現(xiàn). 在以退為進的每一次遞進過程中凸顯思維的積累和基礎的夯實，每一次的凸顯，關注的問題不一樣，就是一次思維進化，而問題的層層逼近，是讓學生學會想，會想就會有可能想清楚知識的來龍去脈，這才是真正的學法指導. 這是讓學生在簡單問題中體悟數(shù)學觀念，在一系列問題中的思維超越達到理想的學習狀態(tài)，讓大部分學生不懼怕數(shù)學.

第三，開展精細交流，是基于獨立思考的數(shù)學交流素養(yǎng)培養(yǎng). 數(shù)學交流是使用數(shù)學符號或圖形、文字來表達某個觀點，是一種探尋答案、獲取意義的思考，包含細致的觀察、記憶、懷疑、想象、解釋、評價、判斷等. 可見，思考與交流看似沒有聯(lián)系，事實上卻有密切聯(lián)系，表達觀點可以幫助人們更好地理順思路. 獨立思考是交流的基礎，但受個人思維習慣影響，獨立思考過程是別人很難直接觀察和覺察的. 因此，學生在理解數(shù)學概念或解題時，需要獨立思考后通過交流表達和陳述看法，進而發(fā)現(xiàn)自己的盲點、弱點和錯誤. 特別地，與好的思考者交流，能把自己的極限性和傾向性糾正過來，因為他們會選擇不同視角，能考慮不同方法，更愿意使用想象力去冒險和考慮不同尋常的、更好的想法. 如此促進自己深入理解問題，在思考過程中保持一條持續(xù)不間斷的線，從而有效地、創(chuàng)新性地提高解決問題的能力.

正如美國哲學家莫蒂默·阿德勒所說，思考者傾向于用口頭語言或者書面語言表達自己，但無法將其表達出來的人往往不知道自己的想法. 對數(shù)學問題的解決方案，只有在與他人交流分享后才更有意義. 但要注意的是，數(shù)學交流不能是連續(xù)的獨白，而是傾聽者需要努力思考發(fā)言者的思維心境，把前后每句話聯(lián)系起來理解，并注意忍住插話沖動，延遲判斷發(fā)言者的反饋，這是交流的策略和原則.

四、基于教材精讀的數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑

核心素養(yǎng)下的數(shù)學課堂中，教師要培養(yǎng)學生能“帶得走”的能力，實質上就是培養(yǎng)學生通過閱讀、思考和交流開展深度學習，也就是發(fā)展學生的數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)，這與蘇霍姆林斯基認為的“閱讀、書寫、觀察、思考和表達是學生主要的基本技能”的看法相一致. 師生只有精讀和讀懂教材的內涵，才能避免學生出現(xiàn)表層化的、帶有虛假泡沫成分的閱讀，而且需要師生在閱讀中提“好問題”，并在提“好問題”的基礎上理解、發(fā)現(xiàn)和交流，才能是學生深度體悟后真正意義上的有效閱讀和交流.

對此，筆者開展并形成了基于教材精讀的初中生數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑（如圖5），倡導基于問題引導的教材精讀，促使學生經(jīng)歷用心搜尋證據(jù)、充分思考證據(jù)和確信證據(jù)充足的過程. 這樣深刻的形成認知的思維活動過程，要求學生必須經(jīng)歷有條理的、有邏輯的、有根據(jù)的思考，通過推理、聯(lián)系，有序化地抵達數(shù)學的本質，從而進入深度學習的一種思維狀態(tài)，感受到學習數(shù)學的真正力量.

發(fā)展獨立思考和獨立判斷的一般能力應當始終放在首位（愛因斯坦）. 基于此，筆者提出精讀交流從獨立思考開始，是教師基于教材提出“母問題”引導學生逐句理解和思考，而學生思考又促進教師思考，師生圍繞“母問題”共同提出一系列“子問題”，課堂上聚焦問題而產(chǎn)生深刻的互動和精細交流，這也是發(fā)展師生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的最主要表現(xiàn). 當學生能夠思考并可以從多個角度用準確的、清晰的語言來表達看法和發(fā)表意見，就達到了真正的理解. 而教師傾聽后，就數(shù)學問題相機進行點撥，串聯(lián)學生思維經(jīng)驗以啟發(fā)、體悟潛藏的數(shù)學思想，在一種對話的狀態(tài)下生成潛移默化的交流，這種“傾聽 + 串聯(lián)”的數(shù)學交流，是一種開放的數(shù)學知識建構，是一種聚焦核心觀點的對話式交流，能有效增長學生的數(shù)學智慧. 而歸納總結是一種反芻行為，是精當?shù)膶W法指導體現(xiàn)，教師還需充分精讀和運用教材中的情境、情理、情趣、情態(tài)，激發(fā)學生的情思，指導和教會學生會學，才可達到善教、會教. 最后，就是對學生的體悟是否達標進行評價反饋.

老子有言：大道至簡，衍化至繁. 在教學中，教師帶領學生遍歷過精讀交流的各種復雜性，關注學生在過程中的隱性思維經(jīng)驗積累，發(fā)現(xiàn)重新回歸的簡單是一個有層次的、能守得住的簡單，此時方能使學生領悟到表現(xiàn)在過程中的數(shù)學智慧，才能有質變的機會.

五、寫在最后

回到文章標題，參與中考閱卷，就是有機會依據(jù)閱卷進行診斷，啟示教師剖析和挖掘試題，以發(fā)揮中考試題引領教學的價值. 反映在針對性改進課堂教學上，當學生能夠自己閱讀教材和獨立思考時，就能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題，從而師生能夠在課堂上充分進行數(shù)學交流. 讓學生把教材讀明白，把問題想透徹，把思維講清晰，即能讀得懂、想得透、講得清，從而發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

筆者曾對中考命題寫了一首小詩：“慣看陳題解法，年年思變誰知. 你意不同原意，新題勝似故題”. 意思是閱卷需懂題意，進而導向自身教學，并懂得在知識的系統(tǒng)性延伸中讓學生理解和感悟數(shù)學本質，通過反芻數(shù)學學習思維和解題策略，引導學生尋找適合自己的學習方式，以提高理性思辨能力，形成數(shù)學智慧，即能達成前述的兩重境界. 如果說，遇到一道會啟迪師生思考、夯實學生基礎、突出數(shù)學思想的試題，則可稱之為題根;遇到一組會點燃師生激情、增強學生能力、覺醒學習自信的試題，則稱之為變式. 那么，真善美的教學，就是以題根滌蕩學生靈魂，以變式提升學生數(shù)學能力，以愛心成就學生學業(yè).

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