數(shù)學(xué)育人作引領(lǐng) 經(jīng)典問(wèn)題創(chuàng)新意

陳昕

摘? 要：“等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和”是一節(jié)較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)規(guī)則課. 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施能較好地遵循數(shù)學(xué)規(guī)則“習(xí)得”和“轉(zhuǎn)化”兩個(gè)階段的基本要求，情境引入較有創(chuàng)意. 在新穎的情境下數(shù)與形相互印證，多種思路殊途同歸. 在教師的引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)貫穿了整堂課教與學(xué)的過(guò)程，提高了學(xué)生的“四基”“四能”，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)育人潛移默化、水到渠成.

關(guān)鍵詞：規(guī)則課型;創(chuàng)新情境;公式推導(dǎo);數(shù)學(xué)探究

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)5（必修）》第2章第2節(jié)“等差數(shù)列”第3課時(shí)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，與通項(xiàng)公式一起揭示五個(gè)基本量“知三求二”的思想方法. 求和公式的探究過(guò)程體現(xiàn)了“特殊到一般”的問(wèn)題解決路徑，有助于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的要求是探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系. 對(duì)公式的“探索”這個(gè)要求比較高，需要學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程;對(duì)公式的“掌握”要求學(xué)生不僅要理解公式，還要達(dá)到熟練應(yīng)用的程度. 另外，對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識(shí)和后續(xù)等比數(shù)列的知識(shí)，要能站在函數(shù)和單元設(shè)計(jì)的角度有一個(gè)整體性的把握.

數(shù)學(xué)課型按教學(xué)內(nèi)容和形式分類(lèi)，可分為概念課、規(guī)則課、解題課、復(fù)習(xí)課等，“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是一節(jié)典型的規(guī)則課，內(nèi)容非常傳統(tǒng)，是很多優(yōu)質(zhì)課評(píng)比參賽教師喜歡選擇的課題. 下面就執(zhí)教教師的授課過(guò)程，從高中數(shù)學(xué)規(guī)則課的視角談?wù)劰P者的看法.

一、關(guān)于數(shù)學(xué)“規(guī)則課”

掌握和運(yùn)用規(guī)則是人類(lèi)發(fā)展歷程中非常重要的一種智慧型技能，屬于學(xué)習(xí)過(guò)程中的程序性知識(shí). 同樣地，數(shù)學(xué)規(guī)則也應(yīng)該作為程序性知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí).

高中數(shù)學(xué)規(guī)則課一般是指將高中數(shù)學(xué)中的法則、公式、定理和數(shù)學(xué)基本題的解法等數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)作為任務(wù)的一類(lèi)課型. 數(shù)學(xué)規(guī)則課的課堂教學(xué)應(yīng)該能讓學(xué)生通過(guò)較多的例證來(lái)說(shuō)明規(guī)則反映的關(guān)系，以及運(yùn)用規(guī)則在適用的不同情境中靈活解決問(wèn)題. 一般來(lái)說(shuō)，要經(jīng)歷“數(shù)學(xué)規(guī)則是什么和為什么是這樣”的理解過(guò)程，還要明確相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系，這其實(shí)就是對(duì)規(guī)則的理解. 最后還要能“用規(guī)則去辦事”，這就是將習(xí)得的數(shù)學(xué)規(guī)則運(yùn)用到具體情境中去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，是數(shù)學(xué)規(guī)則的遷移和應(yīng)用.

規(guī)則課教學(xué)一般有三個(gè)階段：習(xí)得階段、轉(zhuǎn)化階段、遷移階段. 下面主要從習(xí)得階段和轉(zhuǎn)化階段對(duì)本節(jié)課進(jìn)行闡述.

二、本節(jié)課的“習(xí)得階段”

這一階段主要解決規(guī)則是什么，為什么是這樣，以及它與相關(guān)規(guī)則之間的關(guān)系.

1. 探索求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法

規(guī)則的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，也包含著數(shù)學(xué)家的智慧.

（1）從閱兵隊(duì)形到點(diǎn)陣.

本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)匠心獨(dú)運(yùn)、頗具創(chuàng)意. 通過(guò)讓學(xué)生觀看閱兵訓(xùn)練視頻，以現(xiàn)實(shí)情境激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)之情. 引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察視頻中的隊(duì)形，從中抽象出“點(diǎn)陣”，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模. 整個(gè)過(guò)程讓情境中的形與數(shù)相互印證，貫穿著師生、生生的相互探究，使問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出都有著幾何背景的支持與驗(yàn)證.

（2）從多種方案到首尾配對(duì).

在構(gòu)建等差數(shù)列模型之后，繼續(xù)內(nèi)化等差數(shù)列中的基本要素，引出求和的概念. 在探索求和方法的過(guò)程中，嘗試多種方法，深入分析問(wèn)題本質(zhì)，追根溯源.

這個(gè)過(guò)程中經(jīng)歷了拆式（留中間一項(xiàng)或留末尾一項(xiàng)）、添項(xiàng)（補(bǔ)齊偶數(shù)項(xiàng)），甚至可能引發(fā)奇、偶項(xiàng)分類(lèi)討論等，給了學(xué)生提出問(wèn)題和分析問(wèn)題的機(jī)會(huì)，利于形成基于數(shù)或形視角的多個(gè)方案，上述方案都體現(xiàn)了化歸思想，核心方法還是為了配對(duì)，本質(zhì)是將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，相對(duì)應(yīng)于圖形，則是補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的矩形. 執(zhí)教教師能以學(xué)生為主體主導(dǎo)課堂教學(xué). 從以上開(kāi)放式的探究活動(dòng)中，回歸到問(wèn)題解決的優(yōu)化，從數(shù)的運(yùn)算角度考慮運(yùn)算策略，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考?xì)v程，最終達(dá)到形散而神不散的教學(xué)效果，從而提出解決問(wèn)題的一般方案，即倒序相加法. 學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到了很好的發(fā)展.

2. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的理解和變形

規(guī)則的理解階段是從多角度闡釋、內(nèi)化規(guī)則原理的過(guò)程.

（1）從“知三求一”到“知三求二”.

經(jīng)歷探索等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過(guò)程后，公式的得出已經(jīng)是水到渠成，但本節(jié)課并未停止探究，而是回到特殊數(shù)列基本量的問(wèn)題分析上來(lái)，既延續(xù)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的知識(shí)，也為后續(xù)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 通過(guò)給出條件“ 已知a1，an，n”“已知a1，d，n”分別讓學(xué)生自主推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，既回顧了之前的“知三求一”，更突出“知三”的意義所在，并拓展到“知三求二”，其推導(dǎo)過(guò)程中隱含了前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，從而加深了學(xué)生對(duì)公式的理解.

（2）從代數(shù)形式到拓展理解.

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)得出之后，為了尋求數(shù)學(xué)規(guī)則的多角度理解，本節(jié)課繼續(xù)對(duì)公式的兩種代數(shù)形式設(shè)計(jì)一連串的拓展性問(wèn)題. 例如，“能否從幾何角度找到公式的直觀解釋”“你能指出兩個(gè)公式之間的關(guān)系嗎”等. 強(qiáng)化公式的幾何理解，突出公式的函數(shù)理解，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性，也使數(shù)學(xué)規(guī)則通過(guò)問(wèn)題思考和形式轉(zhuǎn)化的方式得到了內(nèi)化.

三、本節(jié)課的“轉(zhuǎn)化階段”

這一階段主要解決規(guī)則如何由第一階段習(xí)得的陳述性形式轉(zhuǎn)化為程序性形式，也就是解決“怎么辦”的問(wèn)題. 重點(diǎn)在于明確在一些典型情境中運(yùn)用規(guī)則辦事的程序和步驟.

“知三求二”，選擇公式，優(yōu)化解法，追求簡(jiǎn)約.

例2? 求出圖1、圖2中各區(qū)域的總?cè)藬?shù).

回歸“情境”，解決實(shí)際問(wèn)題.

通過(guò)練習(xí)使學(xué)生鞏固對(duì)公式的理解和應(yīng)用，體會(huì)從一般到特殊的過(guò)程.

以上例題和練習(xí)題甄選了典型題目，讓學(xué)生明確了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式運(yùn)用的程序和步驟，同時(shí)也能回歸到引入的情境，前后呼應(yīng)，引發(fā)學(xué)生的共鳴. 不足之處是練習(xí)題沒(méi)有引入變式習(xí)題，應(yīng)該通過(guò)變式練習(xí)，提高學(xué)生的公式運(yùn)用能力，幫助學(xué)生掌握使用數(shù)學(xué)規(guī)則解決問(wèn)題的技能.

四、總結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程圍繞提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)、證明、理解、運(yùn)用中，將知識(shí)點(diǎn)教學(xué)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想的滲透.

1. 獨(dú)具匠心，經(jīng)典問(wèn)題創(chuàng)新意

引入情境以閱兵視頻為背景，視頻中隊(duì)列的變化帶來(lái)強(qiáng)烈的視覺(jué)沖擊，激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感. 基于情境從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，貫穿了整節(jié)課的探究活動(dòng)過(guò)程，讓等差數(shù)列的前n項(xiàng)和這個(gè)經(jīng)典課題的設(shè)計(jì)和實(shí)施都具有了新的創(chuàng)意.

2. 問(wèn)題引領(lǐng)，探究學(xué)習(xí)溯本源

教師截圖提取特殊隊(duì)列，設(shè)計(jì)問(wèn)題串引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，用數(shù)學(xué)眼光進(jìn)行觀察，經(jīng)歷了隊(duì)列到點(diǎn)陣的變化，進(jìn)而提出課題進(jìn)行自主探究. 在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)了求和的各種路徑，方法靈活多變，最終殊途同歸，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

3. 數(shù)學(xué)育人，發(fā)展素養(yǎng)水到渠成

整節(jié)課是執(zhí)教教師引導(dǎo)下的學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、探尋方法、擬訂方案、實(shí)施踐行、評(píng)估成果、優(yōu)化選擇的過(guò)程，較好地落實(shí)了“四基”，提高了“四能”，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)育人潛移默化、水到渠成.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.