巧用三角反代換 單位圓中破疑難

魏榜 胡鳳娟 劉明華 張茜

[摘? 要] 三角反代換借助單位圓直觀地反映了同角三角函數(shù)的關(guān)系，不僅能快速確定一般情況f（cosθ，sinθ）=0時角θ在單位圓中的位置，還能實現(xiàn)三角問題向代數(shù)和幾何問題的轉(zhuǎn)化.

[關(guān)鍵詞] 單位圓;三角反代換;數(shù)形結(jié)合;三角方程;三角不等式

[?]引言

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著相當(dāng)重要的地位，在全國卷高考中大約占20至30分. 但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在求解三角方程問題時難以精確確定角的范圍，容易出現(xiàn)多解漏解等情況[1]. 許多題目的解答過程嘗試了多種方法對角的范圍進行限制，但大多是通過運算的技巧來縮小角的范圍，然而技巧較多，適應(yīng)范圍也較為局限，尚無一般通法.

筆者通過研究，在任意角三角函數(shù)值定義的基礎(chǔ)上總結(jié)出了一套通過數(shù)形結(jié)合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代換法，可有效解決上述問題.

我們知道，三角代換是數(shù)學(xué)中常用的換元法之一，它能夠利用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，合理的代換將會使求解過程簡單化，甚至使一些很難求的問題快速求解[2]. 那么，“三角反代換”會有什么樣的妙用呢？

[?]三角反代換與單位圓

對任意f（cosθ，sinθ）=0 ，均有f（cosθ，sinθ）=0，

cos2θ+sin2θ=1，進行換元即三角反代換，令cosθ=x，

sinθ=y，則方程組轉(zhuǎn)化為f（x，y）=0，

x2+y2=1，在由θ決定的定義域內(nèi)解得（x，y）=（cosθ，sinθ）. 由于（cosθ，sinθ）與角θ相對應(yīng)，記函數(shù)f（x，y）=0的圖像與單位圓交點為P，P，P，…，P，則P是角θ終邊與單位圓的交點，即∠xOP為所求θ（注：x為x軸正方向任意一點）.

[?]三角反代換用法舉例分析

三角反代換的用法可分為兩大類，一是數(shù)形結(jié)合在單位圓中確定角的具體位置;二是將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或幾何問題. 接下來將逐一介紹：

1. 確定角的位置：解三角方程和三角不等式

三角反代換后作出函數(shù)f（x，y）=0的圖像，通過其與單位圓的交點可以確定角的終邊，也就是確定了角的位置. 下面以例1為例，詳細說明三角反代換的具體步驟.

例1：已知sinθ=，求θ.

解：第一步：三角反代換令sinθ=y，原式變成y=. 第二步：作出y=和x2+y2=1并標出其交點P和P. 第三步：標出∠xOP和∠xOP，記為θ和θ，再加上周期即為所求θ（圖1）. 第四步：求出第一象限θ=+2kπ，k∈Z. 由對稱關(guān)系得θ=+2kπ，k∈Z.

綜上：θ=（2k+）π±，k∈Z.

變式：在△ABC中，sinA+cosA=，判斷△ABC的形狀.

解：三角反代換作出x+y=與單位圓圖像，如圖2所示，可得出A=∠xOP或∠xOP. 又0

評注：可以看出在確定角所在象限估算角的范圍時，三角反代換是一個非常簡潔的方法，通過數(shù)形結(jié)合能夠直觀地看出角的大小，在不追求準確計算時非常實用，能起到出奇制勝的效果.

三角反代換不僅能解三角方程，還能解三角不等式，請看例2.

例2：解不等式tanθ≤1.

解：三角反代換作出≤1的線性區(qū)域，與單位圓相交于如圖3所示兩段圓弧BC和弧DE（不含B，D兩端點）：則弧BC和弧DE上除B，D兩點外每一點都是θ終邊與單位圓的交點，對應(yīng)θ的取值范圍為

k+

π<θ≤

k+

π，k∈Z.

變式：（2018北京卷文科7）在平面直角坐標系中，圓x2+y2=1上的四段弧，，，（如圖4），點P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊. 若tanα

A. B.

C. D.

解：三角反代換：

x

評注：例2及其變式示范了三角反代換在求解三角不等式時的用法，它能夠借助函數(shù)圖像將三角不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式問題，使三角不等式與函數(shù)緊密相連，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化思想.

2. 將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題或幾何問題

將三角問題進行三角反代換之后得到函數(shù)f（x，y）=0，由于方程組f（x，y）=0，

x2+y2=1在相應(yīng)定義域內(nèi)有解，既可轉(zhuǎn)化為方程有解構(gòu)造不等式，也可轉(zhuǎn)化成函數(shù)f（x，y）=0與單位圓在定義域內(nèi)有交點利用數(shù)形結(jié)合解決問題. 在此按f（x，y）=0為直線型和曲線型兩種情況進行舉例分析：當(dāng)f（x，y）=0為直線型時，可借助直線與圓的幾何關(guān)系來命題和解題;當(dāng)f（x，y）=0為曲線型時，可借用導(dǎo)數(shù)工具進行研究.

（1）f（x，y）=0為直線型

例3：已知2cosα+sinα-=0，求tanα.

解：由于=1，故直線與圓相切，即直線與圓有且只有一個交點，記切點為B，則∠xOB為所求α，記直線l傾斜角為β，如圖6所示，則tanβ=k=-2. 由誘導(dǎo)公式可得：tanα=tan

β-

=-cotβ=.

評注：許多教師對此題進行過深入研究，提出的解法有十余種之多，常見的有解方程、平方處理、萬能公式法，也有比較新奇的向量法、求導(dǎo)法等，代數(shù)換元法、柯西不等式法、輔助角法、單位圓法等[3]. 這些解法大致可以分為兩類，一類是想方設(shè)法建立方程;另一類是抓住最值進行構(gòu)造，通過滿足最值所需條件求解tanα.

此題中A2+B2=C2，可推出直線Ax+By=C與單位圓相切，通過幾何法可快速求出可得出tanα=.

變式：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α≠β≠kπ，k∈Z），

求證：cos2=.

證：在平面直角坐標系中，點C為線段AB的中點. 設(shè)點A（cosα，sinα）與點B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點（如圖7所示）. 不妨設(shè)α=∠xOA+2kπ，β=∠xOB+2kπ，k，k∈Z，則=-= -=-∠AOC-（k-k）π，故cos2=cos2

-∠AOC-（k-k）π

=cos2∠AOC =

=

=.

評注：此題以直線與圓的幾何關(guān)系為背景考查了三角關(guān)系式的證明，有一定綜合性. 解題關(guān)鍵在于構(gòu)造直線與單位圓相交的模型，進而挖掘目標式的幾何意義即可求證. 需要特別注意的是，由于直線與圓的特殊位置關(guān)系，在三角函數(shù)中也應(yīng)該有與之對應(yīng)的豐富的關(guān)系式等待讀者的挖掘[4].

例4：（2017全國二卷文科13）函數(shù)f（x）=2cosx+sinx的最大值為________.

解：令2cosθ+sinθ=k，θ∈R，三角反代換得2x+y=k. 由于該直線與單位圓必有交點，即直線2x+y=k到原點距離d=≤1，整理得-≤k≤，故k最大值即f（x）最大值為.

評注：此題是典型的三角函數(shù)問題，常見解法是借助輔助角公式和三角函數(shù)圖像進行求解. 上述解法通過挖掘三角函數(shù)隱含的平方和關(guān)系，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，又通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為幾何問題.

（2）f（x，y）=0為曲線型

例5：（2018全國一卷理科16）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是________.

本題由人教A版導(dǎo)數(shù)章節(jié)教材復(fù)習(xí)題稍加改變而來. 許多教師對此題做了非常深入的研究，提出了多種解法，有常規(guī)的導(dǎo)數(shù)法，技巧性較強的基本不等式法，運算量較大的均值不等式法，還有構(gòu)造單位圓內(nèi)接三角形的構(gòu)造模型法等，思路新穎[5]. 筆者結(jié)合三角反代換，分析一種新的解題方法.

解：方便起見，先將題換成f（θ）=2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ，三角反代換令cosθ=x，sinθ=y，得2y+2xy=b，即y=，則題目轉(zhuǎn)化成：曲線y=與單位圓有交點時求b的最小值. 通過分析可知，b<0且反比例函數(shù)y=與單位圓在第四象限相切時，b有最小值（圖8）.

設(shè)切點A

x，

，則點A在圓上：x+

2=1，曲線在點A處切線與OA垂直，即-·= -1，聯(lián)立兩方程解得x=，b=.

故f（x）最小值為-.

評注：與導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等其他方法相比，三角反代換思路“新奇”，充分挖掘三角函數(shù)的隱含條件，為解決三角最值問題提供了一條全新的思路. 能解決一些導(dǎo)數(shù)所不能解決的問題，如求f（x）=sinx+cosx+sin2x的最值等[4].

[?]教學(xué)建議

2017版高中數(shù)學(xué)課程標準中特別指出：在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用[6]. 三角反代換在單位圓中的應(yīng)用兼具思想性、實用性與新穎性等特點，契合新課程標準的理念[7]，不僅集中體現(xiàn)了眾多數(shù)學(xué)思想方法，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美！

在教學(xué)過程中教師要注意啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生體會幾個重要的轉(zhuǎn)化過程，注意思想方法的滲透，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想的奇妙. 筆者認為重要的轉(zhuǎn)化過程有：①換元，將cosθ和sinθ換元為x和y. ②方程的解與圖像交點的轉(zhuǎn)化，即方程組f（x，y）=0，

x2+y2=1的解轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點. ③兩曲線交點到角θ終邊與單位圓的交點的轉(zhuǎn)化，進而確定θ角的位置.

[?]總結(jié)

筆者認為三角反代換是眾多核心知識點、核心思想方法的交匯處，其教學(xué)對于提高學(xué)生的綜合能力、培養(yǎng)學(xué)生思維、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法大有益處.

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“一個想法使用一次是技巧，經(jīng)過多次的使用就可以成為一種方法”. 三角反代換在解三角方程、三角不等式等問題時有顯著優(yōu)勢，尤其是在確定角的范圍、估計角的大小時使用方便靈活. 三角反代換豐富了單位圓的應(yīng)用，既體現(xiàn)了坐標定義三角函數(shù)的優(yōu)勢[8]，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、綜合應(yīng)用知識的能力. 此外，三角反代換還實現(xiàn)了三角函數(shù)問題向幾何或代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，為解決三角函數(shù)問題打開了一扇新的大門！筆者水平有限，本文實乃拋磚引玉，期待讀者朋友們對三角反代換進行更加深入的研究，探尋三角函數(shù)更深處的奧秘！

參考文獻：

[1]? 吳志鵬. 三角函數(shù)中確定角范圍的幾種方法[J]. 數(shù)理化解題研究，2019（22）.

[2]? 王立芳. 三角代換的功能[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1998（Z1）.

[3]? 賈順星. 十種方法求解三角函數(shù)問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（36）.

[4]? 李文東. 巧用單位圓求解三角函數(shù)問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（11）.

[5]? 黃洪光. 多管齊下，破解三角函數(shù)最值題——以2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第16題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（15）.

[6]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[7]? 胡鳳娟，呂世虎，王尚志. 深度理解《普通高中課程方案（2017年版）》[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（1）.

[8]? 章建躍. 為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2007（1）.