邏輯推理：高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的意蘊(yùn)細(xì)究

李華清

[摘? 要] 在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視野里，邏輯推理就有著重要的價(jià)值與地位，如果能夠有效地把握邏輯推理的內(nèi)涵與意蘊(yùn)，那就能在繼承高中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)秀傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，瞄準(zhǔn)核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)，更好地將高中數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)成符合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育需要的課堂. 既然是在核心素養(yǎng)的視角之下理解邏輯推理，那就一定要賦予其新的內(nèi)涵，對(duì)此筆者的理解有二：一是邏輯推理建立在數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系之上，指向?qū)W生邏輯推理能力的養(yǎng)成;二是學(xué)生形成的邏輯推理素養(yǎng)，遷移到其他學(xué)科中表現(xiàn)為新的遷移的發(fā)生，遷移到生活中表現(xiàn)為用正確的邏輯去判斷生活事物. 培育學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“有邏輯地推理”的價(jià)值，讓學(xué)生真正經(jīng)歷“有邏輯地推理”的過程，并且在一定的過程中認(rèn)識(shí)“有邏輯地推理”的意義.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);邏輯推理;核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)培育給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的思考，目前可以肯定的是，對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，是通過其學(xué)科核心素養(yǎng)要素來落實(shí)必備品格與關(guān)鍵能力的，而對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的這些組成要素，依然要做細(xì)致的分析. 一個(gè)基本被高中數(shù)學(xué)同行所認(rèn)同的觀點(diǎn)是：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)，旨在使學(xué)生的數(shù)學(xué)判斷能力得到良好的養(yǎng)成，這既是新課標(biāo)背景下的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，也是當(dāng)前高考評(píng)價(jià)的一個(gè)核心;而在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，主要分為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等. 雖然數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是由這些要素組成，但是并不意味著這些要素之間是互相獨(dú)立的，事實(shí)上在筆者看來，這些要素是有著密切聯(lián)系的，而且這些要素也不是完全并列的關(guān)系，像數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理實(shí)際上就屬于基礎(chǔ)層次的，而數(shù)學(xué)建模則具有一定的綜合性，數(shù)學(xué)建模經(jīng)常是在數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的基礎(chǔ)上形成的. 在這些要素中，筆者以為首先值得研究的應(yīng)當(dāng)是邏輯推理.

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視野里，邏輯推理就有著重要的價(jià)值與地位，那么在核心素養(yǎng)的視野之下，邏輯推理又應(yīng)當(dāng)具有什么樣的意蘊(yùn)與內(nèi)涵呢？筆者以為這是值得研究的，如果能夠有效把握邏輯推理的內(nèi)涵與意蘊(yùn)，那就能夠在繼承高中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)秀傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，瞄準(zhǔn)核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)，更好地將高中數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)成符合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育需要的課堂. 在這一認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上，筆者對(duì)此進(jìn)行了探究，總結(jié)如下：

[?]核心素養(yǎng)視角下的邏輯推理應(yīng)有新意蘊(yùn)

邏輯推理其實(shí)對(duì)于大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師而言并不陌生. 人們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)的推理就是一種有邏輯的推理. 事實(shí)也證明，基于數(shù)學(xué)命題（包括命題中的數(shù)學(xué)定義）嘗試討論什么樣的推理過程、或者說什么樣的思維過程是有邏輯的. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視邏輯推理是非常有必要的，這不僅僅是為了邏輯學(xué)發(fā)展的需要，更重要的是為了讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者、一線的數(shù)學(xué)教師在一般層面上理解和把握數(shù)學(xué)推理，進(jìn)而理解和把握“邏輯推理”這個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 既然是在核心素養(yǎng)的視角之下理解邏輯推理，那就一定要賦予其新的內(nèi)涵，對(duì)此筆者的理解有二：

一是邏輯推理建立在數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系之上，指向?qū)W生邏輯推理能力的養(yǎng)成. 高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，有的數(shù)學(xué)概念相當(dāng)于一塊磚或一根柱子，有的數(shù)學(xué)概念相當(dāng)于一面墻，而這些磚或者柱子要想組成一座大廈，就必須讓磚與磚、磚與柱子之間形成密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系就是靠邏輯產(chǎn)生的. 于是邏輯推理的過程就是一個(gè)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系大廈的過程，學(xué)生運(yùn)用邏輯推理建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過程，也就成了邏輯推理能力得到培養(yǎng)的過程. 從這個(gè)角度來看，邏輯推理這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的落地，很大程度上依賴于教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境，又或者是問題解決的情境.

二是學(xué)生形成的邏輯推理素養(yǎng)，遷移到其他學(xué)科中表現(xiàn)為新的遷移的發(fā)生，遷移到生活中表現(xiàn)為用正確的邏輯去判斷生活事物. 核心素養(yǎng)是指向?qū)W生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的，這就意味著遷移的價(jià)值. 事實(shí)上，邏輯推理不僅在數(shù)學(xué)中存在，在生活中也是普遍存在的，但是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的邏輯推理能力又是最為純粹的，只要教師在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能夠?qū)ふ医虒W(xué)契機(jī)進(jìn)行遷移，就能夠讓邏輯推理真正成為學(xué)生的核心素養(yǎng).

[?]基于核心素養(yǎng)培育的邏輯推理意蘊(yùn)探究

綜合以上兩個(gè)觀點(diǎn)可以得出的結(jié)論是：培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，而且還可以增強(qiáng)學(xué)生的思維能力. 在新形勢(shì)下，若要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力就要?jiǎng)?chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式、突出學(xué)生的主體地位，只有這樣，才能真正提升學(xué)生的主觀能動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展. 對(duì)于教師而言，基于核心素養(yǎng)培育的邏輯推理意蘊(yùn)探究，主要應(yīng)當(dāng)依賴于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的具體建構(gòu)或者問題解決的過程. 例如，“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”這一內(nèi)容教學(xué)中，通過分析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)過正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當(dāng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，并且明確提出：根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，這實(shí)際上也就是暗示學(xué)生運(yùn)用邏輯推理進(jìn)行新的知識(shí)的學(xué)習(xí)（本質(zhì)上就是一個(gè)問題解決的過程）. 從核心素養(yǎng)培訓(xùn)的角度來看，這一內(nèi)容的教學(xué)可以包括這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：從性質(zhì)與圖像角度回憶正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域等. 這是邏輯推理的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)二：引導(dǎo)學(xué)生研究正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式tan（x+π）=tanx，x∈R，x≠+kπ，x∈Z. 研究這個(gè)誘導(dǎo)公式可以發(fā)現(xiàn)，正切函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，而且周期就是π;在此基礎(chǔ)上，再由誘導(dǎo)公式去研究正切函數(shù)的奇偶性，這個(gè)過程也很簡單，就是去研究tan（-x）是否等于-tanx，這也是一個(gè)運(yùn)用定義進(jìn)行邏輯推理的過程，學(xué)生很容易得出正切函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù);在研究正切函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，是一個(gè)更重要的邏輯推理能力培養(yǎng)的機(jī)會(huì)，此時(shí)可以借助數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生基于如圖1所示的圖像進(jìn)行推理，學(xué)生很容易基于圖像，根據(jù)正切函數(shù)的變化規(guī)律，推理得出正切函數(shù)在不同的區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或者減函數(shù);至于值域的判定，學(xué)生同樣可以基于圖像，判斷得出當(dāng)正切函數(shù)中的x大于-且無限接近-時(shí)，正切線可以向著坐標(biāo)軸的負(fù)方向無限延伸，有了這個(gè)結(jié)果之后，學(xué)生在判斷正切函數(shù)的值域時(shí)，就很容易得出是實(shí)數(shù)集.

環(huán)節(jié)三：學(xué)習(xí)后的反思過程. 筆者在教學(xué)中重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生反思：自己是怎么得出正切函數(shù)的性質(zhì)的？帶著對(duì)這個(gè)問題的思考，學(xué)生就會(huì)自然地去回顧學(xué)習(xí)過程，這個(gè)回顧過程與此前的學(xué)習(xí)過程并不相同. 如果說此前學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的推理運(yùn)用得還比較隱晦的話，那反思過程中對(duì)邏輯推理的認(rèn)識(shí)就更加明確了. 這樣的反思過程，可以讓學(xué)生更充分地認(rèn)識(shí)到邏輯推理在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中的作用，同樣這種認(rèn)識(shí)可以遷移到問題解決的過程中，于是也就表現(xiàn)出了核心素養(yǎng)的主要特征，從而也就實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

[?]邏輯推理教學(xué)的本義就是“有邏輯地推理”

眾所周知，數(shù)學(xué)的基本特征之一，是邏輯推理的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性. 邏輯推理說得通俗一點(diǎn)就是“有邏輯地推理”，說起來雖然通俗，但這一判斷本身就有著邏輯關(guān)系：只有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中掌握了邏輯，知道如何推理，才能真正經(jīng)歷邏輯推理的過程. 如果暫時(shí)將研究的目光從數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向生活，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)值得深思的現(xiàn)象，那就是一些數(shù)學(xué)技術(shù)較好的學(xué)生，甚至是數(shù)學(xué)教師，對(duì)生活中好多事物的判斷往往并不重視邏輯，判斷的依據(jù)反而更多的是自己的猜想，甚至是臆測(cè). 這些例子說明，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中盡情地邏輯推理，如果不經(jīng)過內(nèi)化，那并不能成為學(xué)生真正的核心素養(yǎng). 反之如果要培育學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“有邏輯地推理”的價(jià)值，讓學(xué)生真正經(jīng)歷“有邏輯地推理”的過程，并且在一定的過程中認(rèn)識(shí)“有邏輯地推理”的意義.

一般來講，要讓學(xué)生“有邏輯地推理”，就必須在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中通過講授、示范、舉例等辦法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到邏輯的存在，知道數(shù)學(xué)概念與概念之間的邏輯關(guān)系，知道如何進(jìn)行分析與綜合、歸納與演繹，而這樣一個(gè)過程本身也是邏輯推理的過程，可以成為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的重要時(shí)機(jī).

總而言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在核心素養(yǎng)的背景下培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，需要充分認(rèn)識(shí)邏輯推理的內(nèi)涵，進(jìn)而在教學(xué)實(shí)踐過程中設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的學(xué)習(xí)過程，只要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到邏輯在哪里，知道如何運(yùn)用邏輯，那在實(shí)際教學(xué)的過程中，就能夠真正從理解邏輯推理走向?qū)嵤┻壿嬐评淼慕虒W(xué)過程，進(jìn)而培養(yǎng)出學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).