以微專題的形式促進(jìn)有效教學(xué)

顏波

[摘? 要] 有效教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的關(guān)鍵，是教師們思考的常態(tài)，文章研究出可以通過微專題提升教學(xué)的有效性. 微專題在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中可以幫助學(xué)生理清思路，找出盲點(diǎn)，觸類旁通，把知識間的聯(lián)系理解透徹.

[關(guān)鍵詞] 微專題;促進(jìn);有效教學(xué)

有效教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的關(guān)鍵，那么如何做到有效，是教師們思考的常態(tài)，筆者根據(jù)多年連續(xù)在高三任教摸索出了一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，那就是通過微專題教學(xué)提升教學(xué)的有效性. 實(shí)踐證明，微專題的應(yīng)用在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中可以幫助學(xué)生理清思路，找出盲點(diǎn)，同時可以觸類旁通，把知識間的聯(lián)系理解得更加透徹.著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾經(jīng)指出：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”所以依托主題明確、針對性極強(qiáng)的“微專題”進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，可以有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法.

微專題復(fù)習(xí)是以高考必考點(diǎn)、重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)為依據(jù)，使微專題的確定、內(nèi)容的選擇、題型的遴選都能緊密圍繞在“高考考點(diǎn)”的周圍，具有很強(qiáng)的復(fù)習(xí)針對性. 而要做到有效，微專題的設(shè)計(jì)就顯得至關(guān)重要. 根據(jù)平時的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者總結(jié)了一些途徑，如圍繞復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，利用具有緊密相關(guān)性的知識或方法設(shè)計(jì)，也可以結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)或易錯點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì). 當(dāng)然微專題除了注重將相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行整合外，還注重對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練和解題方法的指導(dǎo). 這樣微專題的內(nèi)容含量就會小，學(xué)習(xí)目標(biāo)更明確，一般安排一個課時對應(yīng)一個微專題復(fù)習(xí)，也體現(xiàn)了微專題的“微”. 所以微專題復(fù)習(xí)可具有“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”的特點(diǎn)，話題集中、耗時較少、針對性強(qiáng)、實(shí)效性好.

筆者根據(jù)這樣一個理念，在高三復(fù)習(xí)研討會上設(shè)計(jì)了一節(jié)微專題課《橢圓中的三角形面積的定值問題》，設(shè)計(jì)這節(jié)課，主要是因?yàn)閷W(xué)生對這些定值問題比較生疏，或者說掌握得不太好，對此類問題找不到解題靈感，所以用微專題通過分析比較系列問題條件和結(jié)論，用三角函數(shù)來研究變與不變，幫助學(xué)生對這類問題形成共識，找到解決問題的途徑，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，同時提升學(xué)生學(xué)習(xí)解幾的信心.

[?]基本情況

授課班級為四星級學(xué)校理科班，學(xué)生具有良好的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，有一定的解題和探究能力.

教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)會合理選擇參數(shù)表示動態(tài)幾何關(guān)系，探究或證明動態(tài)圖形中的定值問題，體會“設(shè)而不求”“整體代換”在簡化運(yùn)算中的作用;

（2）引導(dǎo)學(xué)生后期加強(qiáng)對典型題和課本題的研究.

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓中的三角形面積表示.

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑（能夠計(jì)算—設(shè)計(jì)運(yùn)算—數(shù)據(jù)處理）.

本節(jié)課采用：（1）基本問題探究;（2）為基本問題設(shè)置載體;（3）根據(jù)問題選擇方法;（4）設(shè)置問題串探究問題本質(zhì);（5）總結(jié)提煉形成共識.

[?]教學(xué)過程

卷首語：解析幾何讓人迷戀之處恰是其變化中的不變屬性，去繁至簡的永恒追求，而設(shè)計(jì)運(yùn)算、優(yōu)化運(yùn)算更是探索奧秘當(dāng)中必不可少的樂趣所在.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會研究解幾，學(xué)會運(yùn)算，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)解幾的熱情.

1. 情境引入

我們研究的最基本圖形面積是三角形的面積：

提出問題1：坐標(biāo)系中的三角形面積如何用坐標(biāo)表示？

采取多種方法求出該三角形的面積，為了探究一般性，故引導(dǎo)學(xué)生用向量來表示，從而得到以下證明：由于任意三角形都可以平移到頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的情況，故可設(shè)A（x，y），B（x，y），所以S=

·

sin∠AOB=

·

·=·=·=·

x

y

-x

y. 在實(shí)際教學(xué)中，可以具體問題具體對待，比如用S=OA·d，或通過構(gòu)造梯形、分割三角形等都可以輕松得到這個表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖：（1）會用一般性的方法推導(dǎo)三角形的面積公式;（2）引導(dǎo)學(xué)生會用坐標(biāo)法表示三角形面積，從而為一些問題快捷地設(shè)計(jì)出解題思路，為后續(xù)研究鋪路.

師：雖然以上三角形是動態(tài)的，但是它們的面積卻可以為定值.

提出問題2：那么我們今天就來研究橢圓中的三角形面積滿足什么條件可以為定值？

引例：（改編：2015上海高考，理21）

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+y2=1，過原點(diǎn)O的兩條射線l和l分別與橢圓交于A和B，記△AOB的面積為S.

（1）設(shè)A（x，y），B（x，y），求證：S=

x

y

-x

y;

（2）設(shè)l與l的斜率之積為-，求面積S的值.

對于（2），學(xué)生的設(shè)計(jì)思路如下.

生1：設(shè)l的斜率為k，解出A，同理解出B，然后由S=

x

y

-x

y=

k+·

x

x，即可得出答案.

生2：設(shè)直線AB為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理，由斜率間的關(guān)系可以得出k，m的關(guān)系，進(jìn)而S=

x

y

-x

y=m

x

-x，即可得出答案.

生3：由=-，通過兩邊平方可以得出x+x=4（意外收獲：y+y=1，OA2+OB2=5，為學(xué)生點(diǎn)贊），緊接著由S=

x

y

-x

y兩邊平方，得S2= ·x

y

-2x

x

y

y+x

y

=x

+x

=1.

學(xué)生點(diǎn)評：每一種做法都很合情合理，前兩種是通法，但是生3的做法，感覺到很簡潔，并且發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：尋找學(xué)生最原始的想法，比較他們的做法，發(fā)現(xiàn)一組結(jié)論，為后續(xù)研究最優(yōu)方法做準(zhǔn)備.

師：作為高三的二輪復(fù)習(xí)，還應(yīng)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征選擇最優(yōu)的方法進(jìn)行處理，對于生3提出的解法是否可以考慮借助橢圓的參數(shù)方程加以解決呢？學(xué)生思考.

生4：設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由l與l的斜率之積為-，所以==-，所以cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以cos（α-β）=0，又S=·

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以面積S的值為1.

師：此時請同學(xué)們分析這種方法的合理之處，引導(dǎo)學(xué)生比較分析，發(fā)現(xiàn)更優(yōu).

接下來繼續(xù)探究幾個結(jié)論.

師：如果你已掌握，那么請看：

追問1：若OA，OB的斜率分別為k，k，且△AOB的面積為1，求k·k.

學(xué)生展示：設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以==-，所以l與l的斜率之積為-.

追問2：若OA，OB的斜率分別為k，k，問是否存在非零常數(shù)λ，使k·k=λ時，△AOB的面積S為定值？若存在，求λ和S的值;若不存在，說明理由.

學(xué)生展示：設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=t，所以cos2（α-β）=1-t2，即cos2αcos2β+2cosα·cosβsinαsinβ+sin2αsin2β=1-t2.

設(shè)==λ，所以（1+8λ+16λ2）cos2αcos2β+t2-1=0恒成立，所以1+8λ+16λ2=0，t2-1=0，所以λ=-，t=1.

設(shè)計(jì)意圖：通過追問的形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，同時鞏固所學(xué)方法.

追問3：以上的問題是必然的嗎？為什么呢？你能看到什么嗎？

回歸到一般式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+=1，過原點(diǎn)O的兩條射線l和l分別與橢圓交于A和B，記得△AOB的面積為S.

若l與l的斜率之積為-，則S=ab. 反之也成立.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生角度，引導(dǎo)他們學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會探究問題;從知識角度，由特殊到一般，揭示規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中美的東西.

追問4：若動點(diǎn)P滿足=4+，其中△AOB的面積S=1，問是否存在定點(diǎn)F，F(xiàn)，使得PF+PF為定值？若不存在，說明理由.

解：設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），P（x，y），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0.

又由=4+，所以x=8cosα+2cosβ，y=4sinα+sinβ，所以x=64cos2α+4cos2β+32cosαcosβ，y=16sin2α+sin2β+8sinαsinβ，x+4y=68. 所以點(diǎn)P的軌跡方程：+=1.

所以存在定點(diǎn)F（，0），F(xiàn)（-，0），使得PF+PF=4.

追問5：如圖4所示，你會設(shè)計(jì)問題嗎？可以自行嘗試.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)方法，提升解題能力. 引導(dǎo)學(xué)生自行嘗試設(shè)計(jì)問題.

師：我們知道圓的內(nèi)接正方形面積為定值，經(jīng)過變換后得到橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積為定值，我們已經(jīng)通過解析法證明了這個結(jié)論. 其實(shí)這是橢圓中的共軛直徑和離心角問題，有興趣的同學(xué)課后可以通過變換提出猜想，然后通過解析法進(jìn)行論證！

[?]教學(xué)反思

1. 選取的例題要有代表性

微專題教學(xué)中尋找典型例題至關(guān)重要，通過典型例題的研究，走出題海，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觸類旁通. 通過本課期待能夠引導(dǎo)教師和學(xué)生在平時要善于研究問題，努力尋找問題的根源，由此做到以不變應(yīng)萬變. 例題往往要選擇較經(jīng)典的試題，而正因?yàn)榻?jīng)典，解題過程對教師來說是耳熟能詳?shù)模?，卻很可能在不經(jīng)意間疏忽了學(xué)生的想法，進(jìn)入教師的主觀課堂，出現(xiàn)“高耗低效”的教學(xué)現(xiàn)象. 本文中選取的橢圓中的三角形可以和很多知識產(chǎn)生聯(lián)系，如：x+x=a2，y+y=b2，OA2+OB2=a2+b2等，由此揭示一系列的問題，它們之間可以相互推出，可以知一求多.

2. 課堂氛圍要有民主性

課堂應(yīng)以學(xué)生為主體，學(xué)生是課堂的主人，每個學(xué)生都渴望成功，渴望表揚(yáng)，所以激勵的話語應(yīng)成為教師的口頭禪. 只有民主的課堂才能激發(fā)出學(xué)生的創(chuàng)造性，平時教學(xué)中一些問題的多種解答方法其實(shí)大多來自學(xué)生. 我們的課堂上應(yīng)充分讓學(xué)生展示，讓學(xué)生多動手實(shí)踐，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的自信，才能培養(yǎng)出優(yōu)秀的學(xué)生，這才是我們教學(xué)的主要目的. 教師只有教得輕松，教得容易，教得和諧，師生才能共贏.

3. 追問形式要具有合理性

追問的設(shè)計(jì)應(yīng)合理、自然，學(xué)生也能容易接受. 一節(jié)課未必選擇多個題目，把一個問題講透，學(xué)生弄懂才是關(guān)鍵，所以只有教師深知班級學(xué)情，充分備課，多積累，才能設(shè)置好追問. 同時追問的設(shè)計(jì)要讓學(xué)生感受到所學(xué)方法的作用.追問的目的在于讓學(xué)生經(jīng)過一番努力后能夠有所得，讓學(xué)生獲得成就感，這是對學(xué)生最好的賞識. 瑞士心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“：一切有成效的工作必須以某種興趣為先決條件”. 濃厚的興趣能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，啟迪智力潛能并使之處于最活躍的狀態(tài).

4. 學(xué)生間評價要有積極性

教師在以充分肯定、激勵性評價為主的同時，要多讓學(xué)生之間相互評價，以達(dá)到互相學(xué)習(xí)、反思自己、改進(jìn)方法的效果. 心理學(xué)研究表明，學(xué)生更易接受來自學(xué)生群體的評價，讓學(xué)生在評價他人和被他人肯定的過程中完成數(shù)學(xué)解題，進(jìn)而享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

奧蘇貝爾的“有意義的學(xué)習(xí)”理論提出：影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去教學(xué). 確定微專題內(nèi)容的首要參考依據(jù)是學(xué)生綜合練習(xí)中暴露出的問題以及這些問題所體現(xiàn)出的學(xué)生的知識盲點(diǎn). 任課教師需在平常教學(xué)工作中做一個有心人，在認(rèn)真批改學(xué)生的試卷后，能夠?qū)⒁园嗉墳檎w所反映出的共性問題及時做好記錄，以便在接下來的微專題復(fù)習(xí)中緊密聯(lián)系學(xué)生現(xiàn)有的知識狀況，從而提升復(fù)習(xí)的效率.