由一道題談求弦長(zhǎng)的三種方法

戴繼龍

弦長(zhǎng)問(wèn)題一般是指求解析幾何中弦的長(zhǎng)度問(wèn)題，如求圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)中弦的長(zhǎng)，此類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算量通常比較大，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們需運(yùn)用發(fā)散性思維，從不同的角度、方向?qū)ふ医忸}的思路，以提升解題的效率.本文以一道題為例，談一談求解幾何中弦長(zhǎng)的方法，

題目：已知斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2= 4x的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).

由題意可知，直線(xiàn)AB為過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)，且已知斜率，可直接根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求得直線(xiàn)AB的方程，而已知拋物線(xiàn)的方程，可以從兩點(diǎn)間的距離公式、弦長(zhǎng)公式、平面幾何知識(shí)等人手，用以下三種方法來(lái)求解.

一般地，解析幾何中的弦為直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)的連線(xiàn)，可通過(guò)解方程組來(lái)確定兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求弦長(zhǎng).

在運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)時(shí)，要注意構(gòu)造一元二次方程，靈活運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式來(lái)求解.此方法一般用于解答直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)不易求得的弦長(zhǎng)問(wèn)題，

三、借助平面幾何知識(shí)求解

在求解析幾何中弦的長(zhǎng)度時(shí)，我們也可將問(wèn)題看作平面幾何中的求線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題來(lái)求解，可首先根據(jù)題意繪制出幾何圖形，然后根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義和幾何性質(zhì)建立線(xiàn)段之間的關(guān)系，再靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)，如相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等來(lái)解題，

由于直線(xiàn)AB剛好經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，因此可根據(jù)拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，將|AB|轉(zhuǎn)化為A、B點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)之間的距離，借助點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)解題.

由此可見(jiàn)，求解析幾何中的弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法有很多種，如運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式、弦長(zhǎng)公式、平面幾何知識(shí)等.上述三種方法的適用范圍各不相同，第一種方法適用于求解容易求得弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的弦長(zhǎng)問(wèn)題;第二種方法適用于求解弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)不容易求得的弦長(zhǎng)問(wèn)題;第三種方法適用于求過(guò)曲線(xiàn)焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng).

（作者單位：江蘇省南通市海門(mén)第一中學(xué)）