基于功能度量法的桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化方法研究

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院 固體力學(xué)研究所，北京 100191)

1 引 言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題是指在滿足給定的幾何約束、材料約束和狀態(tài)約束條件下，尋求使得給定目標(biāo)最優(yōu)的設(shè)計。結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以分為三個層次，從低到高分別是尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能夠設(shè)計結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型，相比于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化具有更加廣泛的設(shè)計空間，因而能夠取得更大的經(jīng)濟效益。桁架結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天和土木工程領(lǐng)域，如衛(wèi)星天線支撐結(jié)構(gòu)和大跨度橋梁。隨著數(shù)值優(yōu)化方法和計算機科學(xué)的巨大進步，桁架結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化受到廣泛研究并逐步應(yīng)用到實際工程中[1-4]。值得注意的是，在大多數(shù)的研究中，結(jié)構(gòu)的材料特性和外載荷假定為確定性的。

然而在實際工程中，材料性能的分散性以及外部載荷的波動可能會對結(jié)構(gòu)的功能產(chǎn)生較大的影響。在這種情況下，提出了基于概率理論的可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計，并得到了廣泛的研究。陳建軍等[5]對具有位移和應(yīng)力概率可靠性約束的桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題進行了初步研究。Bae等[6]利用傳統(tǒng)的一階可靠度分析方法,對考慮彈性模量、厚度及荷載為概率分布不確定量的平面問題進行可靠度拓撲優(yōu)化。Kharmanda等[7]提出以應(yīng)變能最小化為目標(biāo)的可靠度優(yōu)化模型。Jung等[8]研究了三維幾何非線性結(jié)構(gòu)的概率可靠度拓撲優(yōu)化問題。在實際工程中，Maute等[9]則對微電子機械系統(tǒng)(MEMS)進行了可靠性拓撲優(yōu)化設(shè)計。

實際工程不易精確獲得不確定性信息數(shù)據(jù)，但是對于不確定性信息的不確定界限卻比較容易給出。基于這一思想，Ben-Haim[10]首次提出了基于凸集合模型的非概率可靠性概念。近年來，非概率可靠性理論得到了迅速的發(fā)展[11,12]，基于非概率的可靠性拓撲優(yōu)化的研究也取得了一定的進展。羅陽軍等[13]考慮材料、幾何及載荷大小的不確定性，提出了以結(jié)構(gòu)體積最小化為目標(biāo)，具有位移非概率可靠性約束的三維連續(xù)體拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。亢戰(zhàn)等[14]利用凸模型理論，提出了改進的非概率可靠性指標(biāo)定義，并針對桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計問題建立了以桿件截面積為設(shè)計變量和結(jié)構(gòu)重量極小化為目標(biāo)，具有非概率可靠性指標(biāo)約束的廣義尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。Wang等[15]考慮材料及載荷大小的不確定性，利用基于面積比的可靠性定義，研究了柔順度約束下桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。

本文利用基于面積比的可靠性定義，研究了柔順度約束下桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。與Wang等[15]的研究不同，Wang等[15]從幾何上提出了偏移距離的概念，從而解決了原可靠性拓撲優(yōu)化問題求解過程中存在的收斂性問題，而本文從代數(shù)的角度提出了功能度量法，完全從代數(shù)角度推導(dǎo)了目標(biāo)功能度量的計算表達式，在這個過程中，采用了先計算再判定的策略。Wang等[15]采用的偏移距離方法在柔順度許用值由區(qū)間退化為實數(shù)時不再適用，因為此時無法將實際柔順度區(qū)間和柔順度許用值區(qū)間表示在二維坐標(biāo)系中，而本文提出的功能度量法是普適的。

本文采用區(qū)間模型來描述材料性質(zhì)(彈性模量)和載荷大小的不確定性，利用參數(shù)頂點組合法來完成結(jié)構(gòu)柔順度上下界的計算，利用基于面積比的非概率可靠性定義構(gòu)建了桁架結(jié)構(gòu)的可靠性拓撲優(yōu)化模型。提出了功能度量法，來解決原可靠性拓撲優(yōu)化問題求解過程中存在的收斂性問題。最后，通過數(shù)值算例驗證本文提出方法的有效性。

2 桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題描述

桁架結(jié)構(gòu)在以體積為目標(biāo)，柔順度為約束下的拓撲優(yōu)化問題可以表示為

s.t.F=Ku

C=FTu≤Cl

0

(1)

式中A=(A1,A2,…,AN)T表示設(shè)計變量，V為桁架結(jié)構(gòu)的總體積，N為桿件的數(shù)量，Ak和Lk分別為第k個桿件的橫截面積和長度，F(xiàn)為外載荷列向量，K為結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣，u為結(jié)點位移列向量，C=FTu表示結(jié)構(gòu)的柔順度，體現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)在當(dāng)前載荷下的總體剛度，Cl為結(jié)構(gòu)柔順度的許用值，Amin是為了避免剛度矩陣奇異而設(shè)置的下限，Amax為桿件容許最大橫截面積。

利用桿件的容許最大橫截面積，對設(shè)計變量進行如下處理，

xk=Ak/Amax

(2)

則式(1)的優(yōu)化模型可以轉(zhuǎn)化為

s.t.F=Ku

C=FTu≤Cl

0

(3)

式中x=(x1,x2,…,xN)成為了新的設(shè)計變量。

3 桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化

3.1 區(qū)間模型

傳統(tǒng)的桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是在假定結(jié)構(gòu)材料參數(shù)和載荷參數(shù)是確定性參數(shù)下進行的，無法計及實際工程存在的不確定性影響。本文利用區(qū)間參數(shù)來描述材料彈性模量和外載荷大小的不確定性。區(qū)別于傳統(tǒng)的概率模型，用概率密度函數(shù)來描述隨機變量的特征，區(qū)間模型用參數(shù)的上下界來描述不確定性特征。通常，區(qū)間數(shù)可以表示為

(4)

3.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)傳播分析

當(dāng)結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)(彈性模量)和外部載荷大小為區(qū)間量時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也是區(qū)間量。由于結(jié)構(gòu)柔順度關(guān)于材料彈性模量和載荷大小是單調(diào)的，因此可以采用參數(shù)頂點組合法來確定結(jié)構(gòu)柔順度的上下界。當(dāng)考慮區(qū)間不確定性時，結(jié)構(gòu)靜力方程為

KI(b)uI(b)=F

(5)

式中b為不確定參數(shù)列向量。在不同的參數(shù)頂點下，進行靜力有限元計算，然后計算結(jié)構(gòu)的柔順度值，則結(jié)構(gòu)柔順度的上下界可以從這些值的最大值和最小值得到。基于參數(shù)頂點組合法，結(jié)構(gòu)的柔順度上下界可以求解為

(6)

式中CI為結(jié)構(gòu)柔順度區(qū)間。

3.3 非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型

當(dāng)計及不確定性的影響時，必須構(gòu)建可靠性拓撲優(yōu)化模型。桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型可以表示為

s.t.F=Ku

Amin/Amax≤xk≤1 (k=1,…,N)

(7)

(8)

當(dāng)結(jié)構(gòu)的柔順度上下界已知時，可以利用式(8)進行非概率可靠度計算，從而可以構(gòu)建桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型。

4 求解策略

4.1 基于功能度量法的可靠度約束轉(zhuǎn)換

當(dāng)采用梯度類優(yōu)化算法直接求解式(7)的優(yōu)化問題時，可能會存在收斂困難。因此，需要采取一定的轉(zhuǎn)化策略對原可靠度進行等價轉(zhuǎn)換。首先定義功能度量函數(shù)

(9)

圖1 功能度量函數(shù)G (h)和功能度量h的關(guān)系

基于功能度量函數(shù)，原來的柔順度可靠性約束可以表示為

(10)

(11)

式中h*稱為目標(biāo)功能度量?；谑?10)的可靠性約束處理方式稱為可靠性指標(biāo)法，基于式(11)的可靠性約束處理方式稱為功能度量法。

圖2 可靠度指標(biāo)法和功能度量法的比較

因此，本文采用功能度量法對結(jié)構(gòu)柔順度可靠性約束進行處理，則桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型可以表示為

s.t.F=Ku

h*≥0

Amin/Amax≤xk≤1 (k=1,…,N)

(12)

4.2 目標(biāo)功能度量求解

(13)

(14)

4.3 目標(biāo)功能度量的靈敏度求解

當(dāng)采用梯度類優(yōu)化算法對桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題進行求解時，需要計算目標(biāo)功能度對設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)。

結(jié)合式(14)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，目標(biāo)功能度h*對第k個設(shè)計變量xk的靈敏度可求解為

(15)

(16)

5 數(shù)值算例

5.1 算例1

本文采用移動漸近算法(MMA)對優(yōu)化問題進行求解。如圖3所示，一個桁架結(jié)構(gòu)在下面兩個點A和B固定，在上面中間的點C有一個向右的集中載荷Fc x。假設(shè)材料的彈性模量以及集中力的大小為區(qū)間量。算例1相關(guān)參數(shù)的值列入表1。

圖3 算例1桁架結(jié)構(gòu)

表1 算例1相關(guān)參數(shù)的值

從圖5可以看出，確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化在最終的拓撲優(yōu)化構(gòu)型上有很大的不同，說明了在結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計階段(拓撲優(yōu)化)考慮不確定性影響是必要的。由圖4和表2可知，可靠性優(yōu)化結(jié)果的最終結(jié)構(gòu)體積比確定性優(yōu)化的最終結(jié)構(gòu)體積大(可靠性優(yōu)化為6.31×10-4m3和8.65×10-4m3；確定性優(yōu)化為3.62×10-4m3)，說明要提高結(jié)構(gòu)的可靠性，需要采用更多的材料。另外，確定性優(yōu)化結(jié)果在材料彈性模量、載荷大小以及柔順度許用值為區(qū)間值時計算的實際柔順度可靠度僅為37.53%，而可靠性優(yōu)化結(jié)果的實際柔順度可靠度都能滿足設(shè)定的閾值，證明本文提出方法的有效性，也進一步說明了傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化可能會使結(jié)構(gòu)面臨較大失效風(fēng)險，因此在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中必須考慮不確定性的影響。在文獻[15]第一個算例中，可靠度為90%的優(yōu)化結(jié)果不對稱，這不符合實際情況，因為加載點位于對稱位置且桿件拉壓彈性模量一致，所以得到的結(jié)果理論上是對稱的(文獻[15]確定性優(yōu)化結(jié)果也是對稱的)。本文的可靠性優(yōu)化結(jié)果都是對稱的，與實際相符。推測可能是算法(本文采用MMA算法，文獻[15]采用SQP算法)和轉(zhuǎn)化方法(本文采用功能度量法，文獻[15]采用偏移距離方法)的不同引起的。

圖4 算例1中不同優(yōu)化策略下的結(jié)構(gòu)體積迭代歷程曲線

圖5 算例1中不同優(yōu)化策略下的結(jié)構(gòu)最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型

表2 算例1中不同優(yōu)化策略下的優(yōu)化結(jié)果

5.2 算例2

如圖6所示，底端A和B兩點固定，在底端C點加載一個豎直向下的載荷。表3列舉出了算例2相關(guān)參數(shù)的值。

圖6 算例2中桁架結(jié)構(gòu)

表3 算例2中相關(guān)參數(shù)的值

采用本文提出的方法分別在兩種不確定性大小(α=0.1和α=0.2)下進行可靠性優(yōu)化，并且將確定性優(yōu)化的結(jié)果作為對比，得到的結(jié)果如圖7和表4所示。

圖7 算例2中不同優(yōu)化策略下的結(jié)構(gòu)最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型

表4 算例2中不同優(yōu)化策略下的優(yōu)化結(jié)果

由圖7和表4的結(jié)果可知，當(dāng)不確定性較小時(α=0.1)，可靠性拓撲優(yōu)化結(jié)果與確定性優(yōu)化結(jié)果差別較??；當(dāng)不確定性較大時(α=0.2)，可靠性拓撲優(yōu)化結(jié)果與確定性優(yōu)化結(jié)果有較大的差別。由 表4 可知，可靠性拓撲優(yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)實際柔順度可靠度大于閾值(95%)，證明了提出方法的有效性。另外，可靠性拓撲優(yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)體積要大于確定性拓撲優(yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)體積，并且隨著不確性的增大，結(jié)構(gòu)的體積也相應(yīng)增加(α=0.1：8.59×10-4m3→α=0.2：1.2×10-3m3)。

6 結(jié) 論

本文研究了桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。運用區(qū)間模型來描述結(jié)構(gòu)材料參數(shù)(彈性模量)和載荷大小的不確定性，采用參數(shù)頂點組合法來求解結(jié)構(gòu)柔順度的上下界，運用基于面積比的可靠性指標(biāo)構(gòu)建桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型。針對原來的可靠性約束梯度信息在某些區(qū)域為0的情況，提出了功能度量法，將可靠度約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)功能度量的約束，從而解決了收斂性問題。進一步推導(dǎo)了目標(biāo)功能度量的計算方法及其對設(shè)計變量的靈敏度。采用移動漸近方法(MMA)對優(yōu)化問題進行求解。數(shù)值算例表明，所提功能度量法能夠很好地解決桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。另外，不確定性對結(jié)構(gòu)最終拓撲優(yōu)化構(gòu)型有著較大的影響，在拓撲優(yōu)化中考慮不確定性的影響是十分必要的。

參考文獻(References):

[1] Bends?e M P,Ben-Tal A,Zowe J.Optimization methods for truss geometry and topology design[J].StructuralOptimization,1994,7(3):141-159.

[2] Achtziger W,Bends?e M P.Optimal topology design of discrete structures resisting degradation effects[J].StructuralOptimization,1999,17(1):74-78.

[3] Achtziger W,Stolpe M.Truss topology optimization with discrete design variables—Guaranteed global optimality and benchmark examples[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2007,34(1):1-20.

[4] Guo X,Cheng G D.A new approach for the solution of singular optimum in structural topology optimization[J].ActaMechanicaSinica,1997,13(2):171-178.

[5] 陳建軍,曹一波.基于可靠性的桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計[J].力學(xué)學(xué)報,1998,30(3):277-284.(CHEN Jian-jun,CAO Yi-bo,DUAN Bao -yan.Topology optimization of truss structures based on reliability [J].ActaMechanicaSinica,1998,30(3):277-284.(in Chinese))

[6] Bae K R,Wang S.Reliability-based topology optimization[A].9t hAIAA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization[C].2013.

[7] Kharmanda G,Olhoff N,Mohamed A,et al.Reliabi-lity-based topology optimization[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2004,26(5):295-307.

[8] Jung H S,Cho S.Reliability-based topology optimization of geometrically nonlinear structures with loa-ding and material uncertainties[J].FiniteElementsinAnalysisandDesign,2004,41(3):311-331.

[9] Maute K,Frangopol D M.Reliability-based design of MEMS mechanisms by topology optimization[J].Computers&Structures,2003,81(8-11):813-824.

[10] Ben-Haim Y.A non-probabilistic concept of reliability[J].StructuralSafety,1994,14(4):227-245.

[11] Wang X J,Qiu Z P,Elishakoff I.Non-probabilistic set-theoretic model for structural safety measure[J].ActaMechanica,2008,198(1-2):51-64.

[12] 曹鴻鈞,段寶巖.基于凸集合模型的非概率可靠性研究[J].計算力學(xué)學(xué)報,2005,22(5):546-550.(CAO Hong-jun, DUAN Bao -yan.An approach on the non-probabilistic reliability of structures based on uncertainty convex models[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2005,22(5):546-549,578.(in Chinese))

[13] 羅陽軍,亢 戰(zhàn),蔡 坤.考慮非概率可靠性的結(jié)構(gòu)柔順度拓撲優(yōu)化設(shè)計[J].計算力學(xué)學(xué)報,2011,28(6):821-826.(LUO Yang-jun,KANG Zhan,CAI Kun.A compliance based topology optimization design of structures considering non-probabilistic reliability[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2011,28(6):821-826.(in Chinese))

[14] 亢 戰(zhàn),羅陽軍.桁架結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓撲優(yōu)化[J].計算力學(xué)學(xué)報,2008,25(5):589-594.(KANG Zhan,LUO Yang-jun.Topology optimization of truss structures for non-probabilistic reliability[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2008,25(5):589-594.(in Chinese))

[15] Wang L,Liu Y S,Yang Y W.Truss layout design under non-probabilistic reliability-based topology optimization (NRBTO) framework with interval uncertainties[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2019,119(12):1307-1324.