基于深度學(xué)習(xí)的跨分辨率結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法

(北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部，北京 100124)

1 引 言

拓?fù)鋬?yōu)化是指在給定邊界條件下，確定設(shè)計(jì)域內(nèi)材料的最優(yōu)分布，從而在滿足約束的情況下使結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最佳的一種設(shè)計(jì)方法。相比尺寸和形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)具備更多的設(shè)計(jì)自由度，在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用潛力更大，公認(rèn)其為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題。傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法主要包含均勻化方法(Homogenization Method)[1,2]、變厚度法[3]、變密度法SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)[4,5]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法ESO(Evolutionary Structural Optimization method)[6,7]、水平集法(Level Set method)[8]、移動組件法MMC(Moving Morphable Component)[9]和獨(dú)立連續(xù)映射法ICM(Independent Continuous Mapping Method)[10,11]等。

傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法可以根據(jù)約束條件和優(yōu)化目標(biāo)等來設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型，使結(jié)構(gòu)滿足設(shè)計(jì)需要。但是，隨著結(jié)構(gòu)單元數(shù)量增加，拓?fù)鋬?yōu)化消耗的時間成本顯著增加，這使得精細(xì)化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)受到了限制。利用機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)等智能算法減少傳統(tǒng)方法的計(jì)算時間，提高拓?fù)鋬?yōu)化效率成為當(dāng)前結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究的熱點(diǎn)之一。

相比機(jī)器學(xué)習(xí)算法，深度學(xué)習(xí)算法擁有更多的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)，通過對數(shù)據(jù)的反復(fù)學(xué)習(xí)，可以建立輸入和輸出數(shù)據(jù)之間的高維映射。這種隱式映射關(guān)系計(jì)算效率高且泛化能力強(qiáng)，將深度學(xué)習(xí)算法和傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)精細(xì)、高效和智能的拓?fù)鋬?yōu)化受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。利用深度學(xué)習(xí)加速拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)可以分為同分辨率和跨分辨率拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

同分辨率拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是指在訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)模型中，輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)保持相同維度，即利用深度學(xué)習(xí)算法代替迭代計(jì)算過程，實(shí)現(xiàn)對拓?fù)鋬?yōu)化的加速設(shè)計(jì)。Sosnovik等[12]利用中間構(gòu)型作為輸入，使用U-net網(wǎng)絡(luò)模型建立中間構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對SIMP方法的加速設(shè)計(jì)。Lin等[13]利用相似方法解決了傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。Nikos等[14]將深度置信網(wǎng)絡(luò)(deep belief network)嵌入SIMP方法中，網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的結(jié)果再導(dǎo)入SIMP方法，進(jìn)行最終優(yōu)化，提高了計(jì)算的精度。同分辨率拓?fù)鋬?yōu)化方法在一定程度上提高了優(yōu)化計(jì)算效率，但是未能實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的精細(xì)化設(shè)計(jì)。

為了進(jìn)一步精細(xì)化拓?fù)錁?gòu)型，提出跨分辨率拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)?？绶直媛释?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是利用低分辨率邊界條件作為輸入，借助深度學(xué)習(xí)模型，實(shí)現(xiàn)高分辨率結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。Yu等[15]利用卷積自編碼網(wǎng)絡(luò)和生成對抗式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合，完成跨分辨率設(shè)計(jì)。其中，卷積自編碼網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同分辨率拓?fù)錁?gòu)型預(yù)測，生成對抗式網(wǎng)絡(luò)完成結(jié)構(gòu)精細(xì)化設(shè)計(jì)。Li等[16]改變網(wǎng)絡(luò)組成，利用生成對抗式網(wǎng)絡(luò)生成同分辨率的優(yōu)化構(gòu)型，進(jìn)而利用超分辨率生成對抗式網(wǎng)絡(luò)完成高分辨率結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)?？绶直媛释?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法不僅提高了傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)效率，而且提高了優(yōu)化構(gòu)型設(shè)計(jì)精度。但是多網(wǎng)絡(luò)耦合的方法提高了數(shù)據(jù)集制作和網(wǎng)絡(luò)搭建的復(fù)雜度，并且網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)構(gòu)的誤差會疊加。

為了克服多網(wǎng)絡(luò)帶來的設(shè)計(jì)問題，本文基于CGAN(Conditional Generative and Adversarial Network)設(shè)計(jì)單一網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)跨精度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。利用ICM方法建立數(shù)據(jù)集，訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)模型。該方法避免組合網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的復(fù)雜性，且保證了生成結(jié)構(gòu)的精確度。研究結(jié)果產(chǎn)生了一種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的加速設(shè)計(jì)，使精細(xì)化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)更加高效和智能。

2 基于ICM方法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立及求解

ICM方法提出了獨(dú)立連續(xù)拓?fù)渥兞康母拍詈酮?dú)立連續(xù)映射方法，將拓?fù)渥兞繌牟牧虾兔娣e厚度等尺寸優(yōu)化或形狀優(yōu)化的變量中抽取出來，用獨(dú)立于單元具體物理參數(shù)的變量來表征單元的有和無，利于拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立。同時引入過濾函數(shù)，進(jìn)行參數(shù)識別和設(shè)計(jì)變量的離散。ICM方法適合任何目標(biāo)函數(shù)，但通常以結(jié)構(gòu)的輕量化作為目標(biāo)函數(shù)，將力學(xué)響應(yīng)量或特征參數(shù)等作為約束條件，利用對偶序列二次規(guī)劃方法進(jìn)行優(yōu)化模型求解，減少了約束數(shù)目，降低了求解規(guī)模。基于上述理論，其數(shù)學(xué)模型可以表示為

(1)

在拓?fù)鋬?yōu)化模型中,目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為包含拓?fù)渥兞康碾[式函數(shù)，求解計(jì)算比較復(fù)雜。將優(yōu)化模型(1)的約束條件和目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一階和二階泰勒展開，其表達(dá)式為

(2)

(j=0,…,J) (3)

將式(2,3)代入式(1)，優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為

(4)

由于優(yōu)化結(jié)果不受常數(shù)項(xiàng)的影響，所以在求解過程中省略目標(biāo)函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)。模型中，拓?fù)鋬?yōu)化方程的系數(shù)分別為

(5)

為了減少計(jì)算規(guī)模并提高模型計(jì)算效率，引入對偶理論將二次規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為對偶模型，針對建立的二次規(guī)劃模型(4)，其對偶模型可以表示為

(6)

(7)

對于拓?fù)鋬?yōu)化模型(4)，其設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)需要滿足的約束條件為

‖x(κ + 1)-x(κ )‖/‖x(κ )‖≤ε1

(8)

ΔO=|(O(κ + 1)-Oκ)/Oκ|≤ε2

(9)

式中ε1和ε2為設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)需要滿足的收斂精度。迭代完成后，將連續(xù)的拓?fù)渥兞窟M(jìn)行離散化，實(shí)現(xiàn)從連續(xù)模型到離散模型的轉(zhuǎn)化。

2.2 位移約束的顯式化

為說明ICM方法與深度學(xué)習(xí)理論的結(jié)合，本文建立了以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)允許位移為約束的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型。

(10)

(11)

由莫爾定理，在指定方向上結(jié)構(gòu)在任意單元節(jié)點(diǎn)的廣義位移為

(12)

(13)

根據(jù)整體剛度矩陣方程，式(13)可以轉(zhuǎn)化為

(14)

式中ki為i單元的剛度矩陣。針對各向同性材料，設(shè)計(jì)變量和位移約束關(guān)系的顯式化為

(15)

式中cj i為位移約束方程系數(shù)，其表達(dá)式為

(16)

將式(16)代入式(10)，得到位移約束下的數(shù)學(xué)模型為

(17)

利用2.1節(jié)的理論對拓?fù)鋬?yōu)化模型(17)進(jìn)行模型求解，實(shí)現(xiàn)位移約束下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

2.3 基于ICM方法的優(yōu)化算例

利用上述理論，以短懸臂梁為基結(jié)構(gòu)，寬高均為1 m。材料的弾性模型為1 GPa，泊松比為0.3。分別對其進(jìn)行32×32和64×64的單元劃分，對應(yīng)低分辨率結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和高分辨率結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。位移約束值均設(shè)置為57.3 mm。利用基于ICM方法的位移約束拓?fù)鋬?yōu)化程序[17]完成結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

通過優(yōu)化計(jì)算，分別獲得了不同分辨率下的拓?fù)錁?gòu)型，列入表1。當(dāng)單元數(shù)M=32時，優(yōu)化構(gòu)型的邊緣表現(xiàn)出明顯的鋸齒結(jié)構(gòu)；單元數(shù)M=64時，結(jié)構(gòu)進(jìn)一步細(xì)化，鋸齒邊緣明顯減輕，優(yōu)化構(gòu)型質(zhì)量更高。

表1 ICM方法優(yōu)化構(gòu)型

理想情況下，單元劃分越精細(xì)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)也會更加準(zhǔn)確。兩種單元數(shù)量下優(yōu)化計(jì)算的時間如圖1所示，當(dāng)M=32時，迭代計(jì)算時間為3.96 s；M=64時，迭代計(jì)算消耗的時間為28.73 s?？梢?，隨著單元數(shù)目的進(jìn)一步擴(kuò)大，消耗的時間呈指數(shù)型增加。

圖1 不同單元數(shù)量所消耗的計(jì)算時間

ICM方法消耗的時間主要在于每次迭代計(jì)算都要進(jìn)行有限元分析，并且隨著單元數(shù)增加，有限元分析消耗的時間也隨之增加，導(dǎo)致計(jì)算效率低下。為了減少ICM方法在迭代過程中消耗的時間，提高ICM方法計(jì)算效率，引入CGAN深度學(xué)習(xí)算法，代替?zhèn)鹘y(tǒng)計(jì)算過程中部分迭代步數(shù)，并實(shí)現(xiàn)由低分辨率到高分辨率的跨精度加速設(shè)計(jì)。

3 深度學(xué)習(xí)模型建立

3.1 CGAN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

為了實(shí)現(xiàn)跨精度拓?fù)鋬?yōu)化加速設(shè)計(jì)，將CGAN網(wǎng)絡(luò)引入到拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過程。CGAN網(wǎng)絡(luò)模型屬于無監(jiān)督學(xué)習(xí)，在結(jié)構(gòu)上由生成器和判別器組成。生成器利用輸入的低分辨率中間構(gòu)型為條件預(yù)測高分辨率構(gòu)型；判別器通過判斷生成器預(yù)測的構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型是否一致，實(shí)現(xiàn)對生成器的動態(tài)訓(xùn)練。當(dāng)判別器無法區(qū)分預(yù)測構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型時，生成器模型訓(xùn)練完成，實(shí)現(xiàn)跨分辨率優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2 生成器模型

生成器網(wǎng)絡(luò)模型主要由卷積層和反卷積層組成，卷積層主要通過卷積核提取低分辨率中間構(gòu)型的重要特征，實(shí)現(xiàn)維度降低。反卷積層是利用卷積層提取特征數(shù)據(jù)，利用反卷積計(jì)算進(jìn)行特征重組和結(jié)構(gòu)重建，以達(dá)到結(jié)構(gòu)預(yù)測目的。為了實(shí)現(xiàn)跨分辨率結(jié)構(gòu)預(yù)測，反卷積層輸出維度為卷積層輸入維度的4倍。

如圖2所示，生成器輸入為32×32像素圖片，這與低分辨率構(gòu)型維度一致。隨著卷積網(wǎng)絡(luò)層數(shù)增加，特征層維數(shù)依次為32-32-16-8-4-2-1。隨著特征層維數(shù)的減小，特征層層數(shù)不斷增加，依次為64-64-128-256-512-512-512。這些低維特征層，將作為優(yōu)化構(gòu)型重構(gòu)重要特征。與卷積層結(jié)構(gòu)相反，反卷積層特征維數(shù)不斷增加，其變化規(guī)律為1-2-4-8-16-32-32；特征層層數(shù)為1024-1024-1024-1024-512-256-128。反卷積層和卷積層之間存在跳躍連接，所以反卷積層中，特征層數(shù)是對應(yīng)卷積層數(shù)的兩倍。跳躍連接使卷積層中的信息直接傳遞給反卷積層。這種傳遞使得反卷積層獲得更多的特征信息，在一定程度上提高了預(yù)測構(gòu)型的精度。在反卷積計(jì)算之后，還跟隨著三個卷積層，用于提高預(yù)測結(jié)構(gòu)維度。

圖2 生成器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3.3 判別器模型

判別器主要由卷積層組成，基于one-hot編碼，對生成器生成的結(jié)構(gòu)進(jìn)行評估。如圖3所示，判別器由六個卷積層構(gòu)成，這些卷積層用來提取優(yōu)化構(gòu)型和預(yù)測構(gòu)型的特征，并輸出對應(yīng)的概率，而后反向訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。前五層卷積計(jì)算中都緊跟著正則化層和激活函數(shù)層(Leaky ReLU),Leaky ReLU激活函數(shù)使得負(fù)半軸信息不會完全丟失，提高了網(wǎng)絡(luò)魯棒性。 最后的一個卷積層后不再使用正則化層，并且使用Sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)。

圖3 判別器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3.4 模型的訓(xùn)練與評估

在CGAN模型訓(xùn)練過程中，主要包含生成器損失和監(jiān)視器損失，這些損失用于計(jì)算生成器和判別器的誤差，利用反向傳播算法優(yōu)化權(quán)重。

生成器損失是用來提高監(jiān)視器對預(yù)測構(gòu)型的評估概率，其由交叉熵?fù)p失(BCE loss)和平均絕對損失(MAE)兩部分組成。 交叉熵?fù)p失函數(shù)可以表示為

(18)

絕對損失函數(shù)是用來衡量預(yù)測構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型的差異，其公式為

(19)

式中y為優(yōu)化構(gòu)型。所以，生成器的整體損失為

(20)

式中λ為常系數(shù)，一般取值為100。

判別器損失是一個標(biāo)準(zhǔn)的二分類交叉熵?fù)p失函數(shù)，其公式為

(21)

模型完成訓(xùn)練后，將預(yù)訓(xùn)練模型用來預(yù)測高分辨率優(yōu)化構(gòu)型。引入感知哈希算法(Perceptual hashing algorithm)，用于評估預(yù)測構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型的相似度。首先，將預(yù)測構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型中所有像素的灰度值進(jìn)行均值計(jì)算，獲得灰度均值(Havg)， 其公式為

(22)

式中Pi j為灰度圖的像素值。然后，將圖中所有的像素值與均值作比較，如果大于均值，哈希值為1，相反，哈希值為0，其公式為

(23)

式中Hi j為哈希值。兩個結(jié)構(gòu)的相似度計(jì)算結(jié)果可表示為

(24)

4 數(shù)值算例

跨分辨率拓?fù)鋬?yōu)化加速設(shè)計(jì)方法是利用ICM方法和CGAN網(wǎng)絡(luò)組合形成的耦合算法。首先，利用ICM方法建立拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)集包含初始低分辨率中間構(gòu)型和高分辨率優(yōu)化構(gòu)型；其次，搭建基于CGAN的深度學(xué)習(xí)模型，在數(shù)據(jù)樣本訓(xùn)練下，獲得預(yù)訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)模型；最后，將低分辨率中間構(gòu)型輸入預(yù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)直接生成優(yōu)化結(jié)構(gòu)，完成優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖4展示了利用CGAN模型進(jìn)行跨分辨率加速設(shè)計(jì)的流程。

圖4 耦合算法流程

通過利用基于ICM方法的位移約束輕量化拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算程序，得到1000個低分辨率的中間構(gòu)型和對應(yīng)的高分辨率優(yōu)化構(gòu)型，二者組成含有1000個樣本的數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集和測試集，其比率為7:3。對CGAN模型超參數(shù)進(jìn)行設(shè)定,生成器和判別器模型的學(xué)習(xí)率均為0.0001，小批量數(shù)據(jù)設(shè)置為2，總世代循環(huán)次數(shù)Epoch=200，訓(xùn)練模型所使用的優(yōu)化器均為ADAM優(yōu)化器。

經(jīng)過數(shù)據(jù)集準(zhǔn)備和模型配置，網(wǎng)絡(luò)模型完成訓(xùn)練過程。圖5展示了網(wǎng)絡(luò)的損失變化趨勢和預(yù)測構(gòu)型的精度趨勢。當(dāng)Epoch≤25時，網(wǎng)絡(luò)整體損失快速下降；當(dāng)Epoch>25時，網(wǎng)絡(luò)的損失趨于穩(wěn)定；損失曲線表明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有良好的收斂性。訓(xùn)練過程利用感知哈希算法對網(wǎng)絡(luò)預(yù)測構(gòu)型進(jìn)行評估。當(dāng)Epoch≤40時，預(yù)測結(jié)構(gòu)與優(yōu)化構(gòu)型的相似度迅速增加；當(dāng)Epoch>40時，逐漸趨于穩(wěn)定。表2展示了不同訓(xùn)練階段下，對跨分辨率結(jié)構(gòu)的預(yù)測結(jié)果。從構(gòu)型結(jié)構(gòu)上分析，當(dāng)Epoch=0時，網(wǎng)絡(luò)為初始化權(quán)重，所以生成的結(jié)構(gòu)為隨機(jī)噪音；當(dāng)Epoch<40時，網(wǎng)絡(luò)損失快速收斂，預(yù)測的構(gòu)型也趨于目標(biāo)構(gòu)型；當(dāng)Epoch≥40時，預(yù)測構(gòu)型與目標(biāo)構(gòu)型已經(jīng)非常相似。訓(xùn)練過程中預(yù)測構(gòu)型、相似度和網(wǎng)絡(luò)損失曲線的趨勢基本保持一致。

圖5 網(wǎng)絡(luò)的損失曲線

針對預(yù)訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，選取50個隨機(jī)低分辨率中間構(gòu)型來測試網(wǎng)絡(luò)性能。這些中間構(gòu)型獨(dú)立于訓(xùn)練集和測試集。將這些迭代計(jì)算一次構(gòu)型輸入到網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)計(jì)算消耗時間非常微小，平均時間為0.005 s。如表2所示，根據(jù)不同中間構(gòu)型，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測出跨精度優(yōu)化構(gòu)型，預(yù)測構(gòu)型和優(yōu)化構(gòu)型差異非常微小。

表2 訓(xùn)練過程中的預(yù)測構(gòu)型Tab.2 Predicted configurations in the training process

網(wǎng)絡(luò)加速設(shè)計(jì)的預(yù)測構(gòu)型相似度和計(jì)算時間可以進(jìn)一步評估。針對表3的預(yù)測構(gòu)型，其結(jié)構(gòu)相似度和計(jì)算時間列入表4?？梢钥闯?，利用CGAN網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的優(yōu)化構(gòu)型，其平均精度為 95.20%。在保證構(gòu)型精度的前提下，利用網(wǎng)絡(luò)加速實(shí)現(xiàn)高分辨率構(gòu)型預(yù)測消耗的平均時間為0.071 s，其中包含了ICM方法迭代計(jì)算一次的時間和深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的時間。在計(jì)算效率上，跨分辨率方法使用時間不足ICM方法的1%。仿真結(jié)果表明，利用CGAN網(wǎng)絡(luò)可以高效準(zhǔn)確地完成高精度優(yōu)化構(gòu)型的計(jì)算，提高了ICM方法的計(jì)算效率。

表3 利用網(wǎng)絡(luò)預(yù)測優(yōu)化構(gòu)型

表4 計(jì)算時間和精度分析

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于CGAN網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)模型實(shí)現(xiàn)跨精度拓?fù)鋬?yōu)化加速設(shè)計(jì)的方法。利用ICM方法建立的位移約束拓?fù)鋬?yōu)化模型獲得了跨分辨率數(shù)據(jù)集，利用數(shù)據(jù)集訓(xùn)練CGAN網(wǎng)絡(luò)，獲得了預(yù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)跨分辨率拓?fù)錁?gòu)型的預(yù)測。數(shù)值算例仿真結(jié)果表明，在保證結(jié)構(gòu)精度前提下，利用深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)可以大幅提高拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算效率。該研究方法為高精度和高效率拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種參考。此外，將傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合的思路，對于不同約束條件和不同結(jié)構(gòu)類型的拓?fù)鋬?yōu)化問題同樣適用。

參考文獻(xiàn)(References):

[1] Hassani B,Hinton E.A review of homogenization and topology optimization II—Analytical and numerical solution of homogenization equations[J].Computers&Structures,1998,69(6):719-738.

[2] Hassani B,Hinton E.A review of homogenization and topology optimization III—Topology optimization using optimality criteria[J].Computers&Structures,1998,69(6):739-756.

[3] 王 健,程耿東.應(yīng)力約束下薄板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),1997,18(4):37-42.(WANG Jian,CHENG Geng-dong.Optimal topology design of thin plate with stress constraints[J].ActaMechanicaSolidaSinica,1997,18(4):37-42.(in Chinese))

[4] Sigmund O.A 99 line topology optimization code written in Matlab[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2001,21(2):120-127.

[5] Andreassen E,Clausen A,Schevenels M,et al.Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2011,43(1):1-16.

[6] Xia L,Zhang L,Xia Q,et al.Stress-based topolo -gyoptimization using bi-directional evolutionary structural optimization method[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,2018,333:356-370.

[7] Yang H,Ma X W,Jiao F,et al.Preform optimal design of H-shaped forging based on bi-directional evolutionary structural optimization[J].TheInternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology,2019,101(1-4):1-8.

[8] Wang M Y,Wang X M,Guo D M.A level set method for structural topology optimization[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,2003,192(1-2):227-246.

[9] Zhang W S,Chen J S,Zhu X F,et al.Explicit three dimensional topology optimization via Moving Morphable Void (MMV) approach[J].ComputerMe-thodsinAppliedMechanicsandEngineering,2017,322:590-614.

[10] 隋允康,葉紅玲.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的ICM方法[M].北京:科學(xué)出版社,2013.(SUI Yun-kang,YE Hong-ling.ContinuumTopologyOptimizationMethodsICM[M].Beijing:Science Press,2013.(in Chinese))

[11] Ye H L,Wang W W,Chen N,et al.Plate/shell structure topology optimization of orthotropic material for buckling problem based on independent continuous topological variables[J].ActaMechanicaSinica,2017,33(5):899-911.

[12] Sosnovik I,Oseledets I.Neural networks for topology optimization[J].RussianJournalofNumericalAnalysisandMathematicalModelling,2019,34(4):215-223.

[13] Lin Q Y,Hong J,Liu Z,et al.Investigation into the topology optimization for conductive heat transfer based on deep learning approach[J].InternationalCommunicationsinHeatandMassTransfer,2018,97:103-109.

[14] Kallioras N A,Kazakis G,Lagaros N D.Accelerated topology optimization by means of deep learning[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2020,62(3):1185-1212.

[15] Yu Y,Hur T,Jung J,et al.Deep learning for determining a near-optimal topological design without any iteration[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2019,59(3):787-799.

[16] Li B T,Huang C J,Li X,et al.Non-iterative struc-tural topology optimization using deep learning[J].Computer-AidedDesign,2019,115:172-180.

[17] Yi G L,Sui Y K.An adaptive approach to adjust constraint bounds and its application in structural topology optimization[J].JournalofOptimizationTheory&Applications,2016,169(2):656-670.