結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化局部性能約束下輕量化問題的互逆規(guī)劃解法

隋允康， 彭細(xì)榮*2， 葉紅玲， 李宗翰

(1.北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部，北京 100022; 2.湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，益陽 413000)

1 引 言

錢令希[1]指出力學(xué)性能約束可劃分為局部性約束和整體性約束，這是就截面層次優(yōu)化的劃分，同樣也適用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化層次[2-5]。

力學(xué)性能局部性與整體性的區(qū)別直接影響建模與求解的差別。局部性力學(xué)性能約束下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，出現(xiàn)了建模困難。因約束太多，其個(gè)數(shù)是單元或子域的個(gè)數(shù)與載荷工況的乘積。不管應(yīng)力和局部穩(wěn)定還是疲勞壽命約束，相關(guān)性能在每個(gè)單元或子域上都必須滿足。而整體性力學(xué)性能約束，如位移或頻率約束，約束數(shù)目相比局部性能約束少很多，相應(yīng)的敏度計(jì)算量也因?yàn)楦鞣N處理如采用伴隨法而變得比局部性能約束少很多。

局部性能與整體性能的本質(zhì)區(qū)別在于單元對于性能的作用不同，局部性約束要求在所有單元里相關(guān)的性能都不能違背，故稱為單元滿足型；整體性約束只要求結(jié)構(gòu)總體不能違背相關(guān)的性能，故稱為性能的單元貢獻(xiàn)型。為了克服局部性能約束優(yōu)化問題的困難，以往研究已提出過分部[1,2-5]、化整[3-5]及集成[2,3,9-13]3種解法，分別簡稱為P解法(Partition approach)、G解法(Globalization approach)和I解法(Integration approach)。本文將闡述與之相關(guān)新提出的3種交融(Blending)即B解法,分部-集成(Partition-Integration approach)即 P -I 解法、化整-集成(Globalization-Integration approach)即G -I解法以及集成-集成(Integration-Integration approach) 即I -I解法。

2 局部性能約束優(yōu)化問題四種解法的演化

2.1 P解法

在Schmit[6]奠定結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為獨(dú)立學(xué)科基礎(chǔ)之前，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的滿應(yīng)力準(zhǔn)則其實(shí)就是分部優(yōu)化解法。Shanley等[7,8]提出的同步失效準(zhǔn)則，為解決航空結(jié)構(gòu)受壓構(gòu)件設(shè)計(jì)需要確定每個(gè)截面一組尺寸集，本質(zhì)上還是分部優(yōu)化解法。文獻(xiàn)[1]除了敘述桁架滿應(yīng)力設(shè)計(jì)，還敘述了鋼框架和鋼筋混凝土框架的構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)，也歸于分部優(yōu)化解法。分部優(yōu)化解法的前提是在超靜定結(jié)構(gòu)中引進(jìn)內(nèi)力暫時(shí)不變的處理，或者說引入了每輪設(shè)計(jì)中結(jié)構(gòu)靜定化假設(shè)。文獻(xiàn)[2-5]在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的一系列研究中，也沿用了結(jié)構(gòu)靜定化假設(shè)。

2.2 G解法

能否在建模時(shí)把各單元的相互關(guān)聯(lián)和影響考慮進(jìn)去？該想法導(dǎo)致產(chǎn)生了應(yīng)力全局化方法，即化整優(yōu)化方法[3-5]。

2.3 I解法

Yang等[9]最先提出了用K-S函數(shù)將眾多應(yīng)力約束集成為一個(gè)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10,11]也采用凝聚函數(shù)包括K-S函數(shù)集成應(yīng)力約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究，并作了詳細(xì)闡述[2,3]。Paris等[12]及Luo等[13]先后引用K-S函數(shù)將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)力約束集成化。將眾多約束化為一個(gè)，是化整優(yōu)化方法和集成優(yōu)化方法的共性，但是前者借助于力學(xué)原理，后者則借助于數(shù)學(xué)公式。

2.4 B解法

B解法是新提出的交融優(yōu)化方法，細(xì)分為3種(P -I，G -I和I -I)解法，皆植根于互逆規(guī)劃的定理2[14,15]。3種交融優(yōu)化方法在每一次迭代求解中，都包括單目標(biāo)方和多目標(biāo)方兩部分，交替求解局部性約束的優(yōu)化模型，較之局部性約束的P，G和I解法，3種B解法分別提高了求解效率。

3 疲勞性能的分部特點(diǎn)和化整變換

3.1 疲勞性能約束同應(yīng)力約束的類比

疲勞約束如同應(yīng)力約束，都屬于單元性能滿足型約束，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型表示為

(1)

若是靜定結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力不隨設(shè)計(jì)變量變化而改變，同應(yīng)力約束問題類似，可求解N個(gè)單元疲勞壽命子問題，求解后Li l(ti)不變，一次就求得結(jié)果。連續(xù)體屬于超靜定結(jié)構(gòu)，不可能像靜定結(jié)構(gòu)那樣結(jié)構(gòu)分析一次就得到最優(yōu)解，但是可以借助靜定化假設(shè)，迭代逼近式(1)的整體最優(yōu)解。仿滿應(yīng)力準(zhǔn)則，可以稱此為滿疲勞設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

3.2 從單元疲勞壽命化整出結(jié)構(gòu)疲勞壽命

既然應(yīng)力約束優(yōu)化可借助應(yīng)變能化整為全局約束，那么對于疲勞約束，也能做類似的工作。為此，考慮循環(huán)載荷下的應(yīng)力壽命S -N曲線，按巴士昆(Basquin)公式，有

σ=AL- m

(2)

式中σ為疲勞循環(huán)下受拉實(shí)驗(yàn)桿的材料極限應(yīng)力，L為對應(yīng)的疲勞壽命，A與m為材料給定的相關(guān)量，皆為正數(shù)。

由式(2)可推得能量的表達(dá)式為

(3)

式中e為實(shí)驗(yàn)桿的應(yīng)變能，v為桿的體積，E為楊氏模量。

把式(3)推廣到單元復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的疲勞問題，可以得到

(4)

為了推導(dǎo)出疲勞約束全局化的公式，須把式(4)用于結(jié)構(gòu)疲勞問題的單元上，稍加整理，然后求和可以得到結(jié)構(gòu)疲勞壽命的表達(dá)式為

(5)

式中ei l與Li l分別為l工況下i單元的單元應(yīng)變能與單元疲勞壽命，vi為i單元體積。右邊表示l工況下i單元的壽命之和，故可以稱為疲勞載荷l工況下的結(jié)構(gòu)壽命。

3.3 疲勞過濾函數(shù)及其在疲勞約束顯式化中的作用

沿襲以往的研究，基于ICM方法，利用不同的過濾函數(shù)，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型近似顯式化。為此，類比對應(yīng)力約束的處理措施[3-5]，給出疲勞約束對應(yīng)的有關(guān)公式。

在應(yīng)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化中，涉及到P解法、G解法和I解法，當(dāng)中相應(yīng)的過濾函數(shù)有不同的選擇。

P解法的應(yīng)力約束若取應(yīng)力為約束[3,4]，有

(6)

P解法的疲勞約束，類比應(yīng)力約束式(6)得

(7)

若取應(yīng)變能表示P解法的應(yīng)力約束，單元應(yīng)力約束和全局化的結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束可表示為

(8a)

(8b)

式(8a)左端為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，其單元應(yīng)變能為

(9)

式中σi l，εi l與Pi l為l載荷工況下i單元的應(yīng)力、應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)力向量，Ki與Ωi分別為i單元的剛度矩陣及子域。

(10)

(11)

(12)

至此，將式(12)代入式(5)的第i項(xiàng)得

(13)

于是，得到G解法疲勞性能化整之后全局化的結(jié)構(gòu)壽命約束為

(14)

3.4 疲勞約束與應(yīng)力約束的統(tǒng)一規(guī)格

為了疲勞約束優(yōu)化問題的求解與應(yīng)力約束優(yōu)化問題的求解一致，引入了倒壽命的概念，

I=1/L

(15)

在倒壽命概念下，由式(7，13，14)得

(16a)

(16b)

將式(12)代入式(8)得

(17a)

(17b)

式(16,17)表明疲勞與應(yīng)力統(tǒng)一了約束規(guī)格。

順便歸納一下過濾函數(shù)的取法,(1) 應(yīng)力約束時(shí)，P解法和I解法皆按式(6,17a)??；G解法按 式(17b)取。(2) 疲勞約束時(shí)，P解法和I解法按 式(16a)?。籊解法按式 (16b)取。

4 局部性能約束單目標(biāo)模型三種解法

本節(jié)補(bǔ)充和完整了已有的局部性能約束解法，屬于單目標(biāo)模型分別為分部、化整和集成解法三種，下面分別用P模型、G模型和I模型表示。

4.1 P解法(Partition approach)

(18)

式中性能符號Ψ為應(yīng)力或疲勞壽命，當(dāng)為應(yīng)力時(shí)，按式(6)或式(17a)??；當(dāng)為疲勞壽命時(shí)，按式(16a)取。依靜定化假設(shè)求得

(19)

式(19)尚需按變量的上下限予以修正。

4.2 G解法(Globalization approach)

(20)

其中性能符號Ψ分別由式(17b)或式(16b)取得。可采用DSQP或DP -EM方法[16]求解。

4.3 I解法(Integration approach)

(21)

(22)

(23)

接著，將式(21)轉(zhuǎn)化到x空間里，通過目標(biāo)二階近似，用Lagrange乘子法求得顯式解，迭代逼近，得

(24)

回代到t空間里得式(21)的解。篇幅所限，詳細(xì)推導(dǎo)過程從略。

5 局部性能約束的單目標(biāo)與多目標(biāo)模型交替迭代的三種交融解法

5.1 三種交融解法

本節(jié)突破和開拓出了局部性能約束的新解法，屬于單目標(biāo)與多目標(biāo)模型交替迭代的交融解法，共三種：(1) P -I 解法(Partition-Integration approach)； (2) G -I 解法(Globalization-Integration approach)； (3) I -I 解法(Integration-Integration approach)。

標(biāo)識三種解法的前一個(gè)字母，代表第4節(jié)的三種單目標(biāo)模型；后一個(gè)字母，代表第5.3節(jié)即將介紹的多目標(biāo)的集成模型，唯有一種。

5.2 交融解法的迭代尋優(yōu)算法

(1) 迭代次數(shù)賦初值ν=1。

(2) 實(shí)施模塊1,即進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。

(3) 實(shí)施模塊2,建立4.1～4.3三種模型之一，求解得最優(yōu)重量W*。

(6) 結(jié)束迭代。

5.3 交融解法中的多目標(biāo)集成模型

多目標(biāo)模型集成模型可寫為

(25)

式中目標(biāo)函數(shù)的含義與第4.1節(jié)P模型的約束相同，此處不再贅述。用Lagrange乘子法推導(dǎo)出規(guī)劃(25)的顯式解，

(26)

迭代求解中，當(dāng)t(v + 1)與t(v )充分接近后收斂，每次小循環(huán)迭代都用0≤ti≤1修改迭代解。限于篇幅，具體推導(dǎo)從略。

6 數(shù)值算例

6.1 MBB梁的應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化

基結(jié)構(gòu)是寬為300 mm、高為50 mm簡支梁，集中載荷F=200 N作用于跨中頂點(diǎn)，因?qū)ΨQ性取一半結(jié)構(gòu)和一半載荷進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算簡圖和支座約束如圖1所示，采用150×50網(wǎng)格。彈性模量E= 2.1×105MPa，泊松比為0.3。為避免應(yīng)力集中，F(xiàn)分散作用在相鄰的4個(gè)結(jié)點(diǎn)上，右下角豎向約束也分散在2個(gè)結(jié)點(diǎn)上。許用應(yīng)力[σ]=100 MPa。

圖1 MBB梁問題取一半結(jié)構(gòu)的分析及優(yōu)化模型

本算例分別以單純集成方法(I解法)及集成-集成交融方法(I -I 解法)求解應(yīng)力約束體積極小化問題。I解法經(jīng)過61次迭代收斂，最優(yōu)體積比為 0.548，最大Mises應(yīng)力為100.373 MPa。I -I 解法經(jīng)過47次迭代收斂，最優(yōu)體積比為0.553，最大Mises應(yīng)力為99.900 MPa。兩種方法得到的最優(yōu)拓?fù)淙鐖D2所示，對應(yīng)的Mises應(yīng)力分布如圖3所示，目標(biāo)及約束的迭代歷史曲線對比如圖4所示。相比I解法，I -I解法的迭代次數(shù)減少了14次，收斂更快。

圖2 單純集成方法與集成-集成交融方法得到的最優(yōu)拓?fù)?/p>

圖3 單純集成方法與集成-集成交融方法的最優(yōu)時(shí)Mises應(yīng)力分布

圖4 集成方法與集成-集成交融方法優(yōu)化過程目標(biāo)及約束對比

6.2 兩端固支梁的應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化

如圖5所示，基結(jié)構(gòu)尺寸為120 mm×60 mm×1 mm的平面體，采用200×100網(wǎng)格。材料彈性模量為E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3。左右邊界固定。工況1,集中載荷F1=300 N作用于上邊界中點(diǎn)；工況2, 集中載荷F2=300 N作用于下邊界中點(diǎn)。劃分為200×100個(gè)矩形單元。應(yīng)力約束為100 MPa。

圖5 兩工況算例分析及優(yōu)化的模型

I解法經(jīng)過64次迭代收斂，最優(yōu)體積比為 0.170，最大Mises應(yīng)力為102.590 MPa。I -I 解法經(jīng)過57次迭代收斂，最優(yōu)體積比為0.142，最大Mises應(yīng)力為96.58 MPa。兩種方法得到的最優(yōu)拓?fù)淙鐖D6所示，對應(yīng)的兩個(gè)工況下的Mises應(yīng)力分布如圖7和圖8所示，目標(biāo)及約束的迭代歷史曲線對比如圖9所示。經(jīng)對比可以看出，兩種方法得到的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型不僅相似，對應(yīng)的Mises應(yīng)力也是相似的。I -I 解法得到的最優(yōu)體積比略小。相比I解法，I -I 解法的迭代次數(shù)減少了7次，收斂 更快。

圖6 集成方法與集成-集成交融方法得到的最優(yōu)拓?fù)?/p>

圖7 集成方法與集成-集成交融方法的最優(yōu)時(shí)工況1的Mises應(yīng)力分布

圖8 集成方法與集成-集成交融方法的最優(yōu)時(shí)工況2的Mises應(yīng)力分布

圖9 集成方法與集成-集成交融方法優(yōu)化過程目標(biāo)及約束對比

6.3 五次超靜定梁的疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化

如圖10所示，材料性能為E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3，材料對應(yīng)于循環(huán)次數(shù)1.0×106的疲勞極限為σs=250 MPa，基結(jié)構(gòu)為 800 mm×200 mm×10 mm的平面體，劃分為400×100個(gè)矩形單元?；Y(jié)構(gòu)的四個(gè)角點(diǎn)皆為雙向約束鉸支座。工況為正弦形式循環(huán)載荷F=21000 N且均值為0，相位角為0，作用于圖10基結(jié)構(gòu)的中心點(diǎn)，為了避免應(yīng)力集中將荷載施加在五個(gè)節(jié)點(diǎn)上。疲勞壽命約束為大于或等于1.0×105次。Basquin公式中常數(shù)值取m=0.10，A=995.3 MPa。

圖10 五次超靜定梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型

Fig.10 Model of structure for analysis and optimization of the statically indeterminate beam

本算例分別以單純分部方法(P解法)及分部-集成交融方法(P -I 解法)求解疲勞壽命約束體積極小化問題。P解法經(jīng)過36次迭代收斂，最優(yōu)體積比為0.488，最大疲勞壽命為99141次。P -I 解法經(jīng)過26次迭代收斂，最優(yōu)體積比為0.483，最大疲勞壽命為100675次。兩種方法得到的最優(yōu)拓?fù)淙?圖11 所示，對應(yīng)的疲勞壽命以10為底的對數(shù)分布如圖12所示，目標(biāo)及約束的迭代歷史曲線對比如 圖13 所示。相比P解法，P -I 解法的迭代次數(shù)減少了10次，收斂更快。

圖11 單純分部方法與分部-集成交融方法得到的最優(yōu)拓?fù)?/p>

圖12 分部方法與分部-集成交融方法的最優(yōu)時(shí)疲勞壽命分布

圖13 分部方法與分部-集成交融方法優(yōu)化過程目標(biāo)及約束對比

7 結(jié) 論

類比對應(yīng)力約束的處理措施，給出疲勞約束對應(yīng)的過濾函數(shù)。仿應(yīng)力約束問題的滿應(yīng)力準(zhǔn)則，介紹了滿疲勞設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。仿應(yīng)力約束問題的化整方法的全局化應(yīng)力約束，給出了疲勞約束化整方法的全局化疲勞約束?；诘箟勖母拍?，實(shí)現(xiàn)了疲勞約束與應(yīng)力約束的規(guī)格統(tǒng)一。對結(jié)構(gòu)疲勞約束與應(yīng)力約束的局部性能約束問題，梳理了3種單目標(biāo)優(yōu)化方法，闡述了新提出的由單目標(biāo)與多目標(biāo)交替迭代的3種交融優(yōu)化方法。數(shù)值算例表明，交融解法的求解效率，比單目標(biāo)解法更加有效，這是每次結(jié)構(gòu)分析之后做了兩次尋優(yōu)的必然結(jié)果。

致謝:碩士生張譯文同學(xué)參加了算例計(jì)算。

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