雙絕對(duì)值一次函數(shù)的作圖及應(yīng)用

甘肅省白銀市平川中學(xué)(730700)李映林

“不等式選講”是部分省份高考數(shù)學(xué)選考的內(nèi)容之一,近幾年考查的重點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法與最值,以及不等式的證明.

而在絕對(duì)值不等式的解法及最值中,雙絕對(duì)值一次函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|頻頻“登場(chǎng)”,是當(dāng)之無愧的不等式選考命題的“網(wǎng)紅”.

一般地,關(guān)于解f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|≥(≤)C(其中C為常數(shù))型不等式的通法是零點(diǎn)分段法; 求函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|最值的方法主要由兩種,其一仍然是零點(diǎn)分段法;其二是絕對(duì)值(三角)不等式法.

我們?nèi)裟軓恼w上掌控函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|的圖象, 然后再靈活地綜合上述方法, 數(shù)形結(jié)合,就可以達(dá)到事半功倍的效果.

一、函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|圖象總述

為了行文方便,在函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|中,我們不妨設(shè)k1/=k2,x1＜x2.

口訣粗分三類詳為八,系和為零臺(tái)階型,系和為正是V型,系和為負(fù)是Λ 型.

說明1口訣中的“系和”是指k1+k2.

圖1

說明2這里V 型和Λ 型是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的形象表述.

說明38 個(gè)圖像中左折點(diǎn)(x1,f(x1))與右折點(diǎn)(x2,f(x2))的高低問題.規(guī)律是: 系數(shù)大的折點(diǎn), 位置低;系數(shù)相等,折點(diǎn)高度相同.可總結(jié)為: 系大點(diǎn)低等同高.

筆者認(rèn)為: 實(shí)際操作時(shí), 通過比較f(x1)與f(x2)的大小,來判定兩個(gè)折點(diǎn)位置的高低,比采用上述規(guī)律的方法更加方便簡(jiǎn)捷.

二、函數(shù)f(x)= k1|x-x1|+k2|x-x2|圖象的畫法——四點(diǎn)三線法

由零點(diǎn)分段法可得

從而函數(shù)f(x)的圖象是由三段直線型的折線構(gòu)成的.所以有如下畫法——四點(diǎn)三線法

第一步: 描出四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

圖2

第一個(gè)點(diǎn)是左折 點(diǎn)A1(x1,f(x1));第二個(gè)點(diǎn)是右折點(diǎn)A2(x2,f(x2)); 第三個(gè)點(diǎn)是左輔助點(diǎn)A3(x3,f(x3)),該點(diǎn)必須在左折點(diǎn)A1的左側(cè),只需x3＜x1即可.第四個(gè)點(diǎn)是右輔助點(diǎn)A4(x4,f(x4)),該點(diǎn)必須在右折點(diǎn)A2的右側(cè),只需x2＜x4即可.

第二步: 連成三段線.

從左到右,依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4,即可成圖.

例1(2020年高考全國Ⅰ卷理科第23 題第一問)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像

分析(1)因系數(shù)和k1+k2= 3-2＞0, 故圖像是V型;(2)易得左折點(diǎn)右折點(diǎn)A2(1,4); 左輔助點(diǎn)不妨取A3(-1,-2), 右輔助點(diǎn)不妨取A4(2,5);依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4成圖.

解因f(x)=作出圖象,如圖3 所示.

圖3

例2(2016年高考全國Ⅰ卷理科第24 題第一問)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)畫出y=f(x)的圖像.

分析(1)因系數(shù)和k1+k2= 1-2＜0,故圖像是Λ型.(2)易得左折點(diǎn)A1(-1,-5);右折點(diǎn)左輔助點(diǎn)不妨取A3(-2,-6),右輔助點(diǎn)不妨取A4(2,2).依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4成圖.

解因f(x)=作出圖象,如圖4 所示.

圖4

三、圖象的應(yīng)用

在處理與雙絕對(duì)值一次函數(shù)函數(shù)f(x)相關(guān)的不等式、最值等問題時(shí),借助其的圖像,使代數(shù)問題幾何化,即直觀簡(jiǎn)潔,又通俗易懂,具有“一目了然”的優(yōu)勢(shì),不失為是一種較好的方法.

例3(2017年高考全國Ⅲ卷理科第23 題第一問)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1 的解集;

分析(1)因系數(shù)和k1+k2= 0,故圖像是臺(tái)階型.(2)易得左折點(diǎn)A1(-1,-3); 右折點(diǎn)A2(2,3),左輔助點(diǎn)不妨取A3(-2,-3),右輔助點(diǎn)不妨取A4(3,3),然后依次連線成圖.

解因f(x)=故函數(shù)f(x)的圖像如圖5 所示.故所求解集為[1,+∞).

圖5

例4(2014年高考安徽卷理科第9 題)若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為

A.5 或8 B.-1 或5 C.-1 或-4 D.-4 或8

解法1該題解法甚多,被大多數(shù)考生采用解法是零點(diǎn)分段法,但操作量較大.現(xiàn)抄錄如下:

(ⅰ)當(dāng)a ＜2 時(shí),f(x)=易得f(x)在(-∞,-上單調(diào)遞減, 在,+∞)上單調(diào)遞增, 故f(x)mⅰn=f(-1|= 3,a=-4 或a=8(舍)

(ⅱ)當(dāng)a=2 時(shí),f(x)=3|x+1|≥0,與題意不符,舍去.

(ⅲ)當(dāng)a ＞2 時(shí),f(x)=易得f(x)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增, 故f(x)mⅰn=f= 3,a= 8 或a=-4(舍).

綜上,a=-4 或a=8.所以選D.

解法2由上述給出的上絕對(duì)值一次函數(shù)圖像作法——四點(diǎn)三線法, 可知函數(shù)f(x)的最值, 來自于左右兩個(gè)折點(diǎn).所以f(x)mⅰn== 3, 從而或解得a ∈?或a=-4 或a= 8.所以選D.

例5(2020年高考全國Ⅰ卷理科第23 題第二問)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(2)求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.

分析(1)將函數(shù)f(x)的圖象(見例1 圖3)向左平移1個(gè)單位,可得函數(shù)f(x+1)的圖象,如圖5 所示.(2)求出交點(diǎn)由圖6 可得所求解集為

圖6

例6(2018年高考全國Ⅲ卷理科第23 題)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像.

(2)當(dāng)x ∈[0,+∞)時(shí),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

分析(1.1)因系數(shù)和k1+k2=2+1＞0,故圖像是V型.(1.2)易得左折點(diǎn)右折點(diǎn)A2(1,3),左輔助點(diǎn)不妨取A3(-1,3),右輔助點(diǎn)不妨取A4(2,6),然后依次連線成圖.

解因f(x)=故函數(shù)f(x)的圖像如圖7 所示.

圖7

分析(2.1)在圖7 中的右半面,動(dòng)直線y=ax+b,只需不低于函數(shù)f(x)的圖像即可.即動(dòng)直線y=ax+b的斜率a不小于直線y=3x的斜率3,且其y軸上的截距b不小于2 即可.

解由圖7 可得:a≥3,b≥2,當(dāng)a= 3,b= 2 時(shí),a+b取最小值為5.

雙絕對(duì)值一次函數(shù)f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|,在高考中,命題形式單一、穩(wěn)定,解題的思路比較固定,對(duì)選考不等式選講的同學(xué)們而言,是個(gè)重要的得分點(diǎn),所以要加深理解,重點(diǎn)突破.而掌握函數(shù)f(x)圖像的總規(guī)律,及用四點(diǎn)三線法快速準(zhǔn)確地畫出其簡(jiǎn)圖,是順利解決問題的關(guān)鍵所在.