基于某葉型的任意中弧線葉型造型方法研究

劉才麗

（中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，中小型航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉輪機(jī)械湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南株洲 412002）

為適應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)高推重比的發(fā)展目標(biāo)，壓氣機(jī)的級(jí)壓比和負(fù)荷不斷提高，高負(fù)荷風(fēng)扇是一個(gè)重要的發(fā)展方向。高負(fù)荷風(fēng)扇壓氣機(jī)的主要特點(diǎn)之一就是葉型負(fù)荷大，包括進(jìn)口馬赫數(shù)高、葉型彎角大，常規(guī)葉型如雙圓弧、多圓弧葉型已很難適應(yīng)新的要求。

任意中弧線葉型是高負(fù)荷風(fēng)扇壓氣機(jī)采用的造型方法之一，國內(nèi)外開展了一系列的設(shè)計(jì)研究工作。Frost G R等人開發(fā)出了任意中弧線葉型葉片造型程序[1]，該方法建立在通流計(jì)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)流線曲率法氣動(dòng)設(shè)計(jì)計(jì)算得到的氣流角，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)的攻角、落后角來確定葉型的中弧線。再將厚度分布疊加到中弧線上，得到葉型的坐標(biāo)。北航的桂幸民老師[2]對(duì)Frost G R等人的方法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，使其能同時(shí)適用于軸流、斜流和離心壓氣機(jī)葉片的設(shè)計(jì)。

已有的任意中弧線造型方法均是基于通流計(jì)算的結(jié)果，利用通流計(jì)算的結(jié)果得到中弧線的表達(dá)式，通流計(jì)算程序非常復(fù)雜。由于任意中弧線葉型造型方法的唯一特點(diǎn)體現(xiàn)在中弧線面的形成上，它的中弧線由多段多項(xiàng)式構(gòu)成，因此作者考慮利用已有的性能較好的葉型，對(duì)其中弧線進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到類似此葉型的任意中弧線葉型的中弧線公式。此方法不再需要進(jìn)行通流計(jì)算，因而造型方法相對(duì)簡便。利用此方法可以進(jìn)行已有葉型的改進(jìn)設(shè)計(jì)研究。文中將以外文文獻(xiàn)給出的某兩級(jí)軸流風(fēng)扇和某離心葉輪為例，進(jìn)行任意中弧線葉型造型方法研究。

1.確定方法

1.1 設(shè)計(jì)思路

本文設(shè)計(jì)方法的總體思路是通過對(duì)已有某葉型的中弧線曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到任意中弧線葉型中弧線的表達(dá)式；對(duì)原有的厚度曲線進(jìn)行變換，得到任意中弧線葉型厚度分布表達(dá)式；再將厚度分布疊加到中弧線上，得到基元葉型的表達(dá)式。

對(duì)中弧線的變換主要是對(duì)中弧線直接求導(dǎo)，得到沿弦線各站位的幾何構(gòu)造角分布。將幾何構(gòu)造角代入到任意中弧線葉型中弧線表達(dá)式中，同時(shí)利用邊界條件，求出表達(dá)式中的未知系數(shù)，得到中弧線表達(dá)式。

對(duì)厚度曲線的變換主要是通過分析厚度曲線，得到最大厚度點(diǎn)的X坐標(biāo)以及最大厚度值。再利用前后緣的半徑值，同時(shí)利用邊界條件，最終求得任意中弧線葉型厚度分布的表達(dá)式。

在早期的葉型設(shè)計(jì)中，葉型頭部幾乎全部采用圓形頭部的設(shè)計(jì)，經(jīng)過長期的研究發(fā)現(xiàn)，橢圓形頭部比圓形頭部有更好的性能。因此，作者給出一種橢圓形頭部設(shè)計(jì)方法，并將此方法加入到任意中弧線葉型設(shè)計(jì)方法中，使得此任意中弧線葉型設(shè)計(jì)方法擁有更好的性能。

1.2 確定方法

由確定方案的思路可知，任意中弧線葉型設(shè)計(jì)方法主要包括3部分，分別是中弧線、厚度分布以及橢圓形頭部，下面將分別進(jìn)行介紹。

1.2.1 中弧線

本文中所用的任意中弧線葉型采用多段四次多項(xiàng)式中弧線，四次多項(xiàng)式解析表達(dá)式如下：

每一段的方程有5個(gè)未知系數(shù)，因此需要5個(gè)邊界條件來確定這5個(gè)未知系數(shù)的值。首先，規(guī)定各中弧線段兩端的二階導(dǎo)數(shù)為零。

第一個(gè)中弧線段兩端的邊界條件如下：

第二個(gè)中弧線段兩端的邊界條件如下：

第三段，第四段……，都和第二段的邊界條件一致。

由公式（2）和公式（3）可知，公式（2）是公式（3）的特例，區(qū)別在于：第一段中y1=0是一個(gè)給定的值，而后面各段中的y1是由前面一段四次多項(xiàng)式計(jì)算出來的值。

公式中的x1、x2由設(shè)計(jì)者確定，北航的桂幸民[2]認(rèn)為，生成任意中弧線葉型的時(shí)候，葉片的前緣和后緣必須有一個(gè)計(jì)算站，除此之外，葉片排的內(nèi)部應(yīng)該再另外加上4個(gè)計(jì)算站，所以，一般應(yīng)有6個(gè)計(jì)算站。這里，采用桂幸民的方法，中弧線由6個(gè)計(jì)算站組成，即將葉片的中弧線等分成5段。

同時(shí)，設(shè)計(jì)者需在每段的首尾處給定正切值tanβk1和tanβk2，各個(gè)β值由對(duì)原有葉型的中弧線求導(dǎo)得來。

由于公式（2）是公式（3）特例，因此，這里只需對(duì)公式（3）求解即可。將邊界條件（3）帶入到方程（1）中求解，求解的結(jié)果如下：

從第一段開始，當(dāng)求出本段多項(xiàng)式的系數(shù)a，b，c，d，e后，將系數(shù)帶回公式（1），求得本段末尾處的y值，并將這個(gè)值作為下一段的邊界條件。

1.2.2 厚度分布

本文中所用的任意中弧線葉型厚度分布采用兩段三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)。第一段樣條函數(shù)用于定義前緣至最大厚度點(diǎn)，第二個(gè)樣條函數(shù)用于定義最大厚度點(diǎn)至尾緣。在相交點(diǎn)，兩方程的厚度、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)值均相等。現(xiàn)在的壓氣機(jī)葉片一般都在高馬赫數(shù)工況下工作，最大厚度點(diǎn)一般都在50%弦長以后，為防止前緣處的厚度分布發(fā)生負(fù)曲率，令前緣處二階導(dǎo)數(shù)為零。前緣厚度等于前小圓半徑，尾緣厚度等于尾緣半徑。

兩段三次多項(xiàng)式厚度分布曲線，每段需要4個(gè)邊界條件來求解4個(gè)未知系數(shù)。每段給定的邊界條件如下：

第一段：

第二段：

注意，這里y代表基元葉型的半厚度，T代表最大厚度，參數(shù)z代表最大厚度點(diǎn)在中弧線上的位置。

第一段厚度分布曲線，用簡單的三次多項(xiàng)式來表示：

將邊界條件公式（5）代入到方程（7），4個(gè)未知系數(shù)解出如下：

并且可以求得當(dāng)x=Z時(shí)：

對(duì)第二段厚度分布曲線，用另一個(gè)三次多項(xiàng)式表示如下：

將邊界條件公式（6）、（9）代入到方程（10），求得4個(gè)未知系數(shù)為：

因?yàn)閮啥魏穸确植记€的方程均是三次多項(xiàng)式，所以，方程中有可能存在拐點(diǎn)。第一段厚度分布曲線，其中一個(gè)邊界條件是令前緣處的二階導(dǎo)數(shù)為零，所以，從前緣點(diǎn)到最大厚度點(diǎn)這一部分不存在拐點(diǎn)。對(duì)于第二段厚度分布曲線，存在一個(gè)最小值Z（最大厚度點(diǎn)位置），使得方程的拐點(diǎn)不出現(xiàn)在葉片表面上。給出Z最小為：

當(dāng)前、后緣厚度相等時(shí)Zmin=0.5。隨著后緣同前緣厚度比的增加，Zmin也逐漸加大。

1.2.3 橢圓頭部

本文所用的任意中弧線葉型厚度分布采用橢圓形頭部設(shè)計(jì)。

如圖1所示，其中，O點(diǎn)是中弧線前緣點(diǎn)，直線F1F2是中弧線在前緣點(diǎn)的切線，線段de與直線F1F2垂直，將de方向作為橢圓的縱半軸，直線F1F2方向作為橢圓的長半軸。F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。O點(diǎn)的坐標(biāo)是（x0，y0）；葉片長半軸、短半軸a/b=const.

圖1 橢圓形頭部

直線F1F2與橫坐標(biāo)的夾角為α。那么：

F1、F2的坐標(biāo)為：

位于橢圓上任意一點(diǎn)M（x，y），由橢圓的定義可知，M點(diǎn)距兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a,所以有

約簡之后則有：

對(duì)一個(gè)單獨(dú)的變量x，這是一個(gè)一元二次方程mx2+nx+p=0，求解一元二次方程得到：

式（20）為最終求解得到的橢圓的表達(dá)式。

2.算例分析

利用以上介紹的任意中弧線葉型造型方法，對(duì)某兩級(jí)軸流風(fēng)扇和某離心葉輪進(jìn)行造型分析。

2.1 兩級(jí)軸流風(fēng)扇

首先分析某兩級(jí)軸流風(fēng)扇，造型對(duì)象為國外發(fā)表的某兩級(jí)風(fēng)扇[3]。風(fēng)扇的設(shè)計(jì)點(diǎn)流量為83.55kg/s，設(shè)計(jì)壓比2.8，設(shè)計(jì)點(diǎn)絕熱效率83.9%。風(fēng)扇轉(zhuǎn)子葉片和靜子葉片均采用多圓弧葉型設(shè)計(jì)。

采用以上介紹的任意中弧線葉型造型方法，對(duì)此風(fēng)扇再造型，最終得到的任意中弧線葉型再造型風(fēng)扇如圖2所示。

圖2 任意中弧線葉型再造型風(fēng)扇

用NUMECA軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表1所示，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與原風(fēng)扇性能進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如下。

表1 原風(fēng)扇和任意中弧線再造型風(fēng)扇性能對(duì)比

從表1可看出，任意中弧線葉型再造型風(fēng)扇相比原風(fēng)扇效率和裕度均有提高。

2.2 離心葉輪

為驗(yàn)證此任意中弧線葉型造型方法同樣適用于離心葉輪，現(xiàn)對(duì)NASA報(bào)告[4]上給出的某低速離心葉輪進(jìn)行造型分析。

最終得到的任意中弧線葉型再造型離心葉輪如圖3所示。

圖3 任意中弧線葉型再造型離心葉輪

用NUMECA軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表2所示，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與原始的離心葉輪性能進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如下。

表2 離心葉輪和任意中弧線再造型葉輪性能對(duì)比

從表2可看出，任意中弧線葉型再造型離心葉輪相比原葉輪壓比和效率均有提高。

3.結(jié)論

本文提到的任意中弧線葉型造型方法適用于已知葉型數(shù)據(jù)的情況，工程上可以用于已有葉型數(shù)據(jù)的改進(jìn)設(shè)計(jì)研究。由文中可知，這種造型方法對(duì)于軸流和離心壓氣機(jī)均適用，再造型葉片性能相比原葉片性能均有提高。給出的任意中弧線葉型造型方法，為更好地研究任意中弧線葉型的性能提供基礎(chǔ)。