數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程圖論的課程思政探索與實(shí)踐

史永堂， 雷 輝， 李佳傲

(1.南開(kāi)大學(xué) 組合數(shù)學(xué)中心，天津300071； 2.南開(kāi)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津300071； 3.南開(kāi)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300071)

1 引 言

立德樹(shù)人是新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義教育理論體系的重要組成部分，把立德樹(shù)人作為高等教育的根本任務(wù)，是適應(yīng)新時(shí)代、新形勢(shì)的需要.全面推進(jìn)課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措，高等學(xué)校應(yīng)深化課程思政改革，充分發(fā)揮各門(mén)課程的育人功能，實(shí)現(xiàn)全員、全過(guò)程、全方位育人的教育目標(biāo)，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量.教師始終處在教育教學(xué)、課程建設(shè)、育人育才的第一線(xiàn)，是課程思政落實(shí)落地的關(guān)鍵所在，要充分挖掘梳理所授課程中的思政元素，促進(jìn)思政資源與人才培養(yǎng)各環(huán)節(jié)的有機(jī)融合，使思想政治教育貫穿于教育教學(xué)的全過(guò)程.目前不少學(xué)者和教師已將課程思政融入到大學(xué)課程的教學(xué)中[1-9].例如，于歆杰結(jié)合負(fù)責(zé)的“電路原理”課程，從如何立德樹(shù)人，開(kāi)展價(jià)值塑造同時(shí)進(jìn)行能力培養(yǎng)等不同層面加以闡釋了理工科核心課中的課程思政為什么做怎么做[1].吳慧卓以高等數(shù)學(xué)課為例，闡述了課程思政的內(nèi)涵，探索了如何以知識(shí)為載體，將傳授知識(shí)與立德樹(shù)人相融合的有效方法，為新時(shí)期在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施課程思政提供一定的參考[2].陳航分享了在全方位育人導(dǎo)向下，將思想政治教育元素融入微分幾何課程教學(xué)過(guò)程的探索和實(shí)踐[3].彭雙階和徐章韜從師德建設(shè)、課程思政教育元素挖掘、尋找不同課程的思政切入點(diǎn)、更新教學(xué)手段等方面，探討了在課堂教學(xué)中落實(shí)課程思政的有效路徑[4].公徐路以離散數(shù)學(xué)課程的思政教育為出發(fā)點(diǎn)，從“課程思政”的含義、開(kāi)展“課程思政”的必要性、可行性以及實(shí)施方案四個(gè)方面進(jìn)行了分析，同時(shí)結(jié)合具體的成果形式，為離散數(shù)學(xué)的“課程思政”課堂教學(xué)提供了素材[5].俞能福和閔杰分析了現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上研究如何創(chuàng)新教學(xué)理念，挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，構(gòu)建基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)內(nèi)容與教育方式，把高等數(shù)學(xué)教育提高到數(shù)學(xué)文化教育的層面，以起到高等數(shù)學(xué)教育的價(jià)值引領(lǐng)作用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)傳授和文化育人的有機(jī)結(jié)合[6].

筆者自2009年至今一直講授研究生專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課——圖論課程，圖論作為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是一門(mén)有著悠久歷史而又應(yīng)用非常廣泛的課程，其中既有四色問(wèn)題、拉姆齊理論等重要的理論問(wèn)題，也有中國(guó)郵遞員問(wèn)題、貨郎擔(dān)問(wèn)題等經(jīng)典的應(yīng)用問(wèn)題，近年來(lái)更是在機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)安全等新興領(lǐng)域有著豐富的交叉應(yīng)用.新時(shí)代的大學(xué)教育更加關(guān)注專(zhuān)業(yè)教育和拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，在教學(xué)實(shí)踐中，筆者初步探索了將思政元素引入課堂教學(xué)的方法，重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生不僅掌握扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)理論，具備認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且還要有探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的科學(xué)精神，樹(shù)立正確的人生觀、世界觀和價(jià)值觀，爭(zhēng)做德才兼?zhèn)涞母邔哟稳瞬?

2 思政元素與教學(xué)內(nèi)容的融合

南開(kāi)大學(xué)是教育部直屬重點(diǎn)綜合性大學(xué)，2019年習(xí)近平總書(shū)記視察南開(kāi)大學(xué)，高度肯定南開(kāi)師生的愛(ài)國(guó)情懷.南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科創(chuàng)建百年來(lái)，堅(jiān)持立德樹(shù)人根本任務(wù)，秉承陳省身先生“立足南開(kāi)、面向全國(guó)、放眼世界”的宗旨，以培養(yǎng)具有家國(guó)情懷、世界一流的數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才為目標(biāo)，著力構(gòu)建全員全程全方位育人大格局.課程思政的關(guān)鍵是挖掘梳理課程中的思政元素，將思政元素與教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)傳授有機(jī)地結(jié)合起來(lái).下面筆者將以研究生圖論課程為例，來(lái)介紹在數(shù)學(xué)教學(xué)中課程思政方面的探索.以課程的教學(xué)大綱、教學(xué)內(nèi)容為抓手，把馬克思主義哲學(xué)原理的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.1 唯物辯證法在數(shù)學(xué)問(wèn)題研究中的應(yīng)用

唯物辯證法是馬克思主義哲學(xué)的核心組成部分，是一套世界觀、認(rèn)識(shí)論和方法論的思想體系.唯物辯證法對(duì)教育科學(xué)研究具有重大的指導(dǎo)意義，數(shù)學(xué)與唯物辯證法之間有著內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透辯證法思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用辯證的思想組建認(rèn)知結(jié)構(gòu)、解決問(wèn)題、開(kāi)展研究，是提高課堂教學(xué)效率的有效途徑.將圍繞唯物辯證法的三個(gè)核心觀點(diǎn)展開(kāi)討論，即認(rèn)識(shí)源于實(shí)踐、對(duì)立統(tǒng)一、普遍聯(lián)系.

2.1.1 數(shù)學(xué)方法源于實(shí)踐，并指導(dǎo)于實(shí)踐

馬克思主義認(rèn)識(shí)論告訴我們，實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)和源泉，又是推動(dòng)認(rèn)識(shí)發(fā)展的動(dòng)力.正如恩格斯所闡述的“科學(xué)的發(fā)生和發(fā)展一開(kāi)始就是由生產(chǎn)決定的”，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展源于實(shí)踐，同時(shí)又指導(dǎo)于實(shí)踐，著名的數(shù)學(xué)大師華羅庚先生，把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于實(shí)際，篩選出以提高工作效率為目標(biāo)的優(yōu)選法和統(tǒng)籌法，取得顯著經(jīng)濟(jì)效益.

圖論的產(chǎn)生和發(fā)展也是源于實(shí)踐的.人們將哥尼斯堡七橋問(wèn)題看作是圖論的起源.

案例是否能從四塊陸地中的任一塊開(kāi)始，通過(guò)每座橋恰好一次再回到起點(diǎn)？

圖1 哥尼斯堡七橋問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題示意圖

教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生明白很多數(shù)學(xué)方法都源于實(shí)踐，然后又指導(dǎo)于實(shí)踐，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

1847年德國(guó)的基爾霍夫?qū)?shù)的概念和理論應(yīng)用于工程技術(shù)的電網(wǎng)絡(luò)方程組的研究，上世紀(jì)三十年代以來(lái)，由于生產(chǎn)管理、軍事、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)和通訊網(wǎng)絡(luò)等方面大量問(wèn)題的出現(xiàn)，大大促進(jìn)了圖論的發(fā)展.特別是近幾十年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，大量大規(guī)模的實(shí)際問(wèn)題得以求解，其中電網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、電路設(shè)計(jì)等問(wèn)題中都涉及到圖論的問(wèn)題.這些問(wèn)題的求解極大地促進(jìn)了圖論的發(fā)展，以及不同分支、理論的產(chǎn)生，如算法圖論、代數(shù)圖論、極值圖論，以及匹配理論、網(wǎng)絡(luò)流理論、有向圖理論等.這些都是認(rèn)識(shí)和發(fā)展源于實(shí)踐的真實(shí)體現(xiàn).

2.1.2 研究問(wèn)題的方法存在著對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系

馬克思主義的哲學(xué)認(rèn)為，“對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是宇宙的根本規(guī)律”，數(shù)學(xué)和圖論中處處都存在著對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，比如有限圖與無(wú)限圖、無(wú)向圖與有向圖、子圖與母圖、頂點(diǎn)染色與邊染色、獨(dú)立集與團(tuán)、單色子圖與彩虹子圖等等.這些看似對(duì)立矛盾的關(guān)系，實(shí)則是統(tǒng)一的，是可以相互轉(zhuǎn)化的.比如，無(wú)向圖通過(guò)添加方向可以變?yōu)橛邢驁D，獨(dú)立集在補(bǔ)圖中是團(tuán)，等等.正如恩格斯所說(shuō)：“這種從一個(gè)形式到另一個(gè)相反形式的轉(zhuǎn)變，并不是一種無(wú)聊的游戲，它是數(shù)學(xué)科學(xué)的最有力的杠桿之一.”總之，它們之間是彼此對(duì)立統(tǒng)一、相互依存、相互區(qū)別的.另外，研究方法上也是對(duì)立統(tǒng)一的，部分與整體的統(tǒng)一是數(shù)學(xué)中極為常見(jiàn)的.在講授過(guò)程中，總是由點(diǎn)到線(xiàn)，由線(xiàn)到面，逐步講解，比如講解基本概念時(shí)，先講一般圖的概念，再講超圖的概念；在講解匹配理論時(shí)，先講二部圖的匹配，然后是一般圖的匹配；在介紹拉姆齊理論時(shí)，先介紹對(duì)角拉姆齊數(shù)，再介紹一般拉姆齊數(shù)；在介紹圖蘭定理時(shí)，先講限制三角形的極值問(wèn)題，再講限制一般團(tuán)的極值問(wèn)題；等等.

2.1.3 數(shù)學(xué)知識(shí)之間及與其他學(xué)科之間都存在著普遍聯(lián)系

唯物辯證法認(rèn)為，世界上一切事物都處在普遍聯(lián)系中，這一觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中也得到了充分的體現(xiàn).首先，數(shù)學(xué)的知識(shí)之間是相互聯(lián)系的.其次，圖論與其他眾多學(xué)科之間也是相互聯(lián)系、交叉應(yīng)用的，可以說(shuō)圖論是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中應(yīng)用性非常廣的一門(mén)學(xué)科，在運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼理論、化學(xué)、生物信息、統(tǒng)計(jì)物理、人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)等領(lǐng)域都有著非常深刻的應(yīng)用.

以圖論為例，知識(shí)點(diǎn)之間是相互聯(lián)系的，是由淺入深、循序漸進(jìn)的，先講樹(shù)，其次是連通性，再到匹配和獨(dú)立集、歐拉環(huán)游和哈密爾頓圈，然后是頂點(diǎn)染色和邊染色，最后是拉姆齊理論和圖蘭理論.另外，在同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講授過(guò)程中，也是按照概念、例子、命題、定理、證明、推廣的順序循序漸進(jìn)地進(jìn)行的.又比如在講授樹(shù)和連通性時(shí)，會(huì)涉及到最短路問(wèn)題和最小生成樹(shù)問(wèn)題，這是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和算法設(shè)計(jì)中的基礎(chǔ)問(wèn)題；在講授匹配理論時(shí)，講到最大匹配算法以及最大流算法，這是離散優(yōu)化中的一個(gè)核心算法；在講到歐拉環(huán)游和哈密爾頓圈時(shí)，會(huì)提到中國(guó)郵遞員問(wèn)題和貨郎擔(dān)問(wèn)題，這兩個(gè)問(wèn)題在很多領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用；在講到拉姆齊理論和圖蘭理論時(shí)，會(huì)講到圖編碼的設(shè)計(jì)；等等.再次，圖論與數(shù)學(xué)其他分支也有著非常緊密的聯(lián)系，比如圖論與代數(shù)結(jié)合，產(chǎn)生了代數(shù)圖論；與概率結(jié)合，產(chǎn)生了隨機(jī)圖論和概率方法；與拓?fù)浣Y(jié)合，產(chǎn)生了拓?fù)鋱D論；與算法理論結(jié)合，產(chǎn)生了算法圖論；等等.

表1 唯物辯證法與課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)

2.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中的體現(xiàn)

學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)前育人育才的目標(biāo)和方向，課程教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)養(yǎng)成的主要載體.與其他理工科的學(xué)科一樣，在數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂教學(xué)中，首先要注重學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng).科學(xué)精神是科學(xué)的靈魂，就是實(shí)事求是，求真務(wù)實(shí)，開(kāi)拓創(chuàng)新的理性精神.我們主要通過(guò)對(duì)著名數(shù)學(xué)家事跡的講解，將數(shù)學(xué)家精神和科學(xué)奉獻(xiàn)融入到教學(xué)內(nèi)容中，讓學(xué)生秉持科研誠(chéng)信和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，鼓勵(lì)他們大膽質(zhì)疑、不懼失敗、勇于探索.其次是學(xué)生情操品格的培養(yǎng)，新時(shí)代的高等教育更加關(guān)注專(zhuān)業(yè)教育，而專(zhuān)業(yè)教育更加注重情操品格的培養(yǎng).我們挖掘課程中的中國(guó)元素、中國(guó)貢獻(xiàn)，培養(yǎng)他們的愛(ài)國(guó)情懷；通過(guò)對(duì)課程中難點(diǎn)的詳細(xì)解析，鼓勵(lì)學(xué)生不畏艱難、勇攀高峰，做頂天立地的研究.然后是對(duì)學(xué)生基本能力的培養(yǎng)和關(guān)注.

表2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與課程內(nèi)容

2.2.1 通過(guò)案例培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神

科研誠(chéng)信、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神是每個(gè)學(xué)科都要堅(jiān)守的科學(xué)精神，對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科來(lái)講，更是如此，這需要貫穿于課程講授的全過(guò)程.在課程內(nèi)容的安排上，每一章的理論內(nèi)容之后，都會(huì)有相應(yīng)的應(yīng)用問(wèn)題介紹.在理論部分，每個(gè)結(jié)果的證明推理，都力求嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)誤；應(yīng)用部分側(cè)重算法設(shè)計(jì)，讓學(xué)生依據(jù)現(xiàn)有的算法，做數(shù)據(jù)分析和編程實(shí)現(xiàn)，整個(gè)過(guò)程中，都要強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的真實(shí)可靠、程序的邏輯嚴(yán)密.

批判和懷疑、創(chuàng)造和探索的精神是科學(xué)精神的一個(gè)突出方面.

案例1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以證明呢？

講授過(guò)程中，介紹著名數(shù)學(xué)難題四色問(wèn)題的發(fā)展歷史，以及近150年的攻克過(guò)程，讓學(xué)生深刻體會(huì)到做學(xué)問(wèn)做研究就是要堅(jiān)持大膽質(zhì)疑、不懼失敗、追求真理，只有這樣才能有創(chuàng)新，才能有所突破.

數(shù)學(xué)家精神和科學(xué)奉獻(xiàn)是科學(xué)精神的一個(gè)重要方面.舉例來(lái)講，在講解歐拉環(huán)游和哈密爾圈章節(jié)時(shí)，著重介紹歐拉、哈密爾頓等世界各國(guó)大數(shù)學(xué)家、圖論學(xué)家的事跡，介紹他們對(duì)圖論學(xué)科、乃至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的貢獻(xiàn)；同時(shí)介紹“中國(guó)郵遞員問(wèn)題”“旅行售貨商問(wèn)題”等經(jīng)典問(wèn)題的研究，特別會(huì)介紹到我國(guó)學(xué)者管梅谷先生的先進(jìn)事跡.通過(guò)講授這些著名數(shù)學(xué)家的事跡和他們的學(xué)術(shù)成就，讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)家的精神所在，感受到數(shù)學(xué)人的科學(xué)奉獻(xiàn).

2.2.2 通過(guò)事跡培養(yǎng)學(xué)生的情操品格

情操品格的培養(yǎng)，首先是愛(ài)國(guó)情懷的培養(yǎng).南開(kāi)大學(xué)是一所具有愛(ài)國(guó)主義傳統(tǒng)的學(xué)校.習(xí)近平總書(shū)記在2018年9月召開(kāi)的全國(guó)教育大會(huì)上提到了南開(kāi)大學(xué)老校長(zhǎng)張伯苓先生的“愛(ài)國(guó)三問(wèn)”，2019年1月17日，習(xí)近平總書(shū)記視察南開(kāi)大學(xué)時(shí)，充分肯定了南開(kāi)百年“愛(ài)國(guó)奮斗”的育人傳統(tǒng)和辦學(xué)理念，他指出：“南開(kāi)大學(xué)具有光榮的愛(ài)國(guó)主義傳統(tǒng)，這是南開(kāi)的魂.當(dāng)年開(kāi)辦南開(kāi)大學(xué)，就是為了中華民族站起來(lái)去培養(yǎng)人才的.”

本課程的第一課主要講授圖論的發(fā)展歷史，結(jié)合習(xí)總書(shū)記的講話(huà)精神，以及南開(kāi)的愛(ài)國(guó)傳統(tǒng)和大數(shù)學(xué)家陳省身先生的事跡[10]，陳先生是一流的數(shù)學(xué)大師，他認(rèn)為數(shù)學(xué)是好玩的，數(shù)學(xué)是美的.

圖2 習(xí)總書(shū)記視察南開(kāi)和陳省身先生的“數(shù)學(xué)好玩”

通過(guò)這些事跡突出介紹我們國(guó)家圖論發(fā)展的現(xiàn)狀以及我國(guó)老一輩圖論學(xué)家的主要貢獻(xiàn)，展示中國(guó)元素、中國(guó)貢獻(xiàn)，以引發(fā)學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情；另一方面，還要讓學(xué)生意識(shí)到，離陳省身先生提到的“數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)”還有一定的距離，與一些數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)相比，還有一定的差距，從而鼓勵(lì)學(xué)生奮起直追，具有勇于趕超世界前沿的精神.

不畏艱難、勇攀高峰、探索未知、堅(jiān)持創(chuàng)新是優(yōu)秀情操品德的一個(gè)核心方面.注重課程脈絡(luò)的梳理，注重重點(diǎn)難點(diǎn)的解析，鼓勵(lì)學(xué)生不害怕難題，不畏懼復(fù)雜的證明，勇于接受新方法新理論，勇于向難題猜想發(fā)起挑戰(zhàn).例如，在獨(dú)立集和團(tuán)的章節(jié)，重點(diǎn)介紹極值圖論中的兩大公認(rèn)難題——拉姆齊問(wèn)題和圖蘭問(wèn)題，詳細(xì)闡述這些問(wèn)題的發(fā)展以及研究過(guò)程中所產(chǎn)生的新理論和新方法，包括概率方法、正則引理等.

2.2.3 建設(shè)強(qiáng)大的教學(xué)團(tuán)隊(duì)，提升學(xué)生的基本能力

圖論作為一門(mén)數(shù)學(xué)課程，跟其他數(shù)學(xué)課程一樣，要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、抽象思維、邏輯推理、欣賞數(shù)學(xué)之美的能力，這是數(shù)學(xué)方向?qū)W生所必備的基本能力.比如在匹配章節(jié)，介紹匹配理論和算法，引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；在頂點(diǎn)染色與邊染色章節(jié)，講授染色的理論及其應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生去將應(yīng)用問(wèn)題抽象成染色問(wèn)題，證明過(guò)程中重點(diǎn)關(guān)注邏輯推理.

圖論是應(yīng)用性非常強(qiáng)的一門(mén)課程，跟諸多學(xué)科都有著交叉應(yīng)用，課程內(nèi)容中也有很多應(yīng)用性的問(wèn)題.本課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)中的幾位老師，分別來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)科、統(tǒng)計(jì)學(xué)科、數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)科、計(jì)算機(jī)學(xué)科等，我們注重理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)科交叉方面的講授.比如在有向圖與網(wǎng)絡(luò)章節(jié)，關(guān)注如何將現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖論問(wèn)題進(jìn)行求解，讓學(xué)生做好理論學(xué)習(xí)的同時(shí)，去關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的解決，鼓勵(lì)他們樹(shù)立遠(yuǎn)大目標(biāo)，做頂天立地的研究，將論文寫(xiě)在祖國(guó)大地上.

3 課程思政的教學(xué)實(shí)現(xiàn)

課堂教學(xué)是課程的直接表現(xiàn)形式，是課程理念落地的真實(shí)體現(xiàn).先進(jìn)的理念和方法只有落實(shí)到具體的課堂上，才能使學(xué)生真正受益.課堂教學(xué)也是落實(shí)課程思政的主渠道和主陣地.筆者制定了新的教學(xué)大綱，明確了思想政治教育的融入點(diǎn)和教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生參與到課程中來(lái)，從課程中吸收、消化我們的思政元素.堅(jiān)持的課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)，包括開(kāi)展一次課程思政集體備課，講好第一課，教師主講理論知識(shí)，“學(xué)生課堂”“學(xué)生實(shí)驗(yàn)”“學(xué)生寫(xiě)作”三步曲，兩次課外講座.

開(kāi)展一次課程思政集體備課

教學(xué)團(tuán)隊(duì)的幾位老師在課程講授之前，進(jìn)行一次課程思政的集體備課.結(jié)合前一年的課程講授以及學(xué)生的反饋，開(kāi)展一次課程思政的總結(jié)，總結(jié)課程思政的成效；結(jié)合自己的工作，繼續(xù)挖掘梳理課程思政的融入點(diǎn)，討論本學(xué)期課程思政的內(nèi)容、方式以及改進(jìn)、更新.

講好第一課

第一課主要結(jié)合數(shù)學(xué)文化[11]，從數(shù)學(xué)史的角度，講解圖論發(fā)展史.結(jié)合習(xí)總書(shū)記的講話(huà)精神以及南開(kāi)的愛(ài)國(guó)傳統(tǒng)，從數(shù)學(xué)大師陳省身先生的“數(shù)學(xué)好玩”“數(shù)學(xué)之美”講起，引入圖論之美，介紹圖論的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀.從1736年大數(shù)學(xué)家歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題開(kāi)始，到后來(lái)多學(xué)科獨(dú)自引入圖論，再到近代，計(jì)算機(jī)高速發(fā)展的時(shí)代下圖論的發(fā)展和應(yīng)用.將突出介紹我們國(guó)家圖論發(fā)展的現(xiàn)狀以及我國(guó)老一輩圖論學(xué)家的主要貢獻(xiàn)，包括李修睦、謝力同、徐利治、管梅谷等，介紹中國(guó)郵遞員問(wèn)題在國(guó)際上的地位等.圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、算法理論、生物信息、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用，著重介紹當(dāng)前圖論所面臨的發(fā)展機(jī)遇和挑戰(zhàn)，特別是圖論在人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)安全等領(lǐng)域的交叉應(yīng)用.

教師主講理論知識(shí)

教師主講部分，做到多媒體教學(xué)與板書(shū)相結(jié)合，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，堅(jiān)持“五會(huì)講”.一是會(huì)講故事，講問(wèn)題的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀，講知名專(zhuān)家學(xué)者的先進(jìn)事跡；二是會(huì)講概念，用簡(jiǎn)單的例子、彩色的圖來(lái)闡述抽象的概念；三是會(huì)講證明，先講證明大致思路，再講證明細(xì)節(jié)推導(dǎo)，力求用多種不同方法證明同一定理；四是會(huì)講算法，講算法的設(shè)計(jì)思想、求解步驟、正確性驗(yàn)證以及時(shí)間復(fù)雜度分析；五是會(huì)講公開(kāi)問(wèn)題和猜想，介紹公開(kāi)問(wèn)題或猜想的內(nèi)容、提出背景、研究意義、研究進(jìn)展，以及現(xiàn)有的研究方法等.

學(xué)生課堂

按照課程設(shè)置，每節(jié)課后面都有一個(gè)相關(guān)應(yīng)用，這部分由學(xué)生來(lái)講解，設(shè)置“學(xué)生課堂”.對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，兩人或三人一組，每組分配一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題.學(xué)生先進(jìn)行討論，然后上講臺(tái)講解，可做課件或板書(shū)，講解過(guò)程遵循的步驟包括應(yīng)用問(wèn)題介紹、抽象與之相關(guān)的圖論問(wèn)題、建立模型、例子設(shè)計(jì)、求解步驟和算法演示、算法正確性和復(fù)雜性分析、問(wèn)題的進(jìn)一步發(fā)展以及相關(guān)變種等.講解結(jié)束后，由其他小組學(xué)生對(duì)本小組學(xué)生的講解進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和打分，最后由主講教師點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充.這一過(guò)程中，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的參與，培養(yǎng)學(xué)生的討論、相互協(xié)作、講解設(shè)計(jì)、語(yǔ)言表達(dá)的能力.

學(xué)生實(shí)驗(yàn)

“學(xué)生課堂”上講解的應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)某個(gè)例子，已經(jīng)有了相應(yīng)的算法設(shè)計(jì)，本環(huán)節(jié)安排學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也就是對(duì)算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn).本環(huán)節(jié)重點(diǎn)關(guān)注數(shù)據(jù)的原始真實(shí)、程序的最佳方案以及輸出結(jié)果的美觀，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和科研誠(chéng)信的操守.

學(xué)生寫(xiě)作

在“學(xué)生課堂”和“學(xué)生實(shí)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)查找文獻(xiàn)、閱讀資料，將所講應(yīng)用問(wèn)題的提出背景、發(fā)展歷史、解決方案以及當(dāng)前現(xiàn)狀等進(jìn)行整理、完善，以綜述論文的形式呈現(xiàn).這一過(guò)程中，主要培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生查閱資料、全面介紹問(wèn)題、寫(xiě)作論文的能力.本環(huán)節(jié)也是學(xué)生三步曲的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，是作品的呈現(xiàn)環(huán)節(jié)，也是學(xué)生吸收和消化課程思政元素的全面展現(xiàn).

一次校外專(zhuān)家理論講座

邀請(qǐng)本領(lǐng)域的專(zhuān)家學(xué)者，就某個(gè)專(zhuān)題做一次理論方面的前沿講座，如染色理論、極值圖論、群與圖、圖譜理論、概率方法、超圖理論、有向圖理論等等.本環(huán)節(jié)不僅是為了讓學(xué)生了解這一方面的前沿進(jìn)展，而且也是讓學(xué)生了解理論推進(jìn)的過(guò)程和事物發(fā)展的規(guī)律，更是讓學(xué)生了解到如何做研究、如何去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

一次企業(yè)專(zhuān)家應(yīng)用講座

圖論具有非常廣泛的應(yīng)用，很多的離散優(yōu)化問(wèn)題都涉及到圖論，分布在現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)角落，

比如最短路問(wèn)題、最小生成樹(shù)問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題、中國(guó)郵遞員問(wèn)題、貨郎擔(dān)問(wèn)題、選址問(wèn)題等等.我們邀請(qǐng)企業(yè)的專(zhuān)家和研究人員，就某個(gè)應(yīng)用問(wèn)題做一次講座，比如邀請(qǐng)華為專(zhuān)家講解“圖編碼”“云上的離散優(yōu)化問(wèn)題”等等.本環(huán)節(jié)主要是理論與實(shí)際的結(jié)合，讓學(xué)生了解到圖論知識(shí)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)好理論的同時(shí)，主動(dòng)去解決實(shí)際問(wèn)題，做“頂天立地”的工作，將自己的工作和論文寫(xiě)在祖國(guó)大地上.

4 課程思政建設(shè)成效

本課程開(kāi)設(shè)十余年來(lái)，始終將課程思政的建設(shè)貫穿于課堂教學(xué)的全過(guò)程，在國(guó)內(nèi)同類(lèi)課程中優(yōu)勢(shì)突出，受到國(guó)內(nèi)同行及兄弟院校的普遍贊譽(yù)，廣受好評(píng).近年來(lái)，課程負(fù)責(zé)人應(yīng)邀在全國(guó)50余所高校和科研院所分享課程建設(shè)和課程思政的經(jīng)驗(yàn)，團(tuán)隊(duì)成員多人次獲國(guó)家級(jí)和省部級(jí)教育教學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)，出版的系列教材得到國(guó)內(nèi)高校的廣泛使用和推廣.課程入選南開(kāi)大學(xué)首批研究生“課程思政”示范課程建設(shè)項(xiàng)目.

每學(xué)期最后一周會(huì)向?qū)W生發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，了解本學(xué)期課程思政的效果.調(diào)查問(wèn)卷內(nèi)容大致包含以下幾個(gè)問(wèn)題(如圖3所示)：課堂上，老師通過(guò)各種案例進(jìn)行課程思政的方式，您接受嗎？課堂上設(shè)置的學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)，您覺(jué)得自己哪方面的能力得到了提升？對(duì)于該課程，您有什么好的建議？您更喜歡什么樣的課程思政教學(xué)模式？提交問(wèn)卷的所有同學(xué)能夠接受這種課程思政方式.關(guān)于學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)，大部分學(xué)生覺(jué)得提升了自己講課、溝通、語(yǔ)言表達(dá)、邏輯思維等的能力.對(duì)該課程絕大多數(shù)同學(xué)在贊同目前課程思政的教學(xué)模式下也提了很好的建議，比如：課程中可以加入更多的時(shí)事，這是當(dāng)前大家都感興趣的話(huà)題，更容易激發(fā)學(xué)生的共鳴；可以更好地利用智慧課堂來(lái)進(jìn)行教學(xué)等.

圖3 最近一學(xué)期課程思政調(diào)查問(wèn)卷

學(xué)校教務(wù)系統(tǒng)學(xué)生對(duì)本課程給予了很好的評(píng)價(jià)，部分摘錄如下：

學(xué)生評(píng)價(jià)一：主講老師學(xué)識(shí)淵博，講授內(nèi)容通俗易懂，循序漸進(jìn)，所舉例題不僅典型，而且由易到難，易于掌握.在講授很多問(wèn)題時(shí)，都會(huì)引導(dǎo)我們將應(yīng)用問(wèn)題抽象成圖論問(wèn)題，證明過(guò)程中重點(diǎn)關(guān)注邏輯推理，培養(yǎng)了我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、抽象思維、邏輯推理、欣賞數(shù)學(xué)之美的能力.

學(xué)生評(píng)價(jià)二：老師不僅課講得好，對(duì)學(xué)生也很熱情，每次向他咨詢(xún)學(xué)術(shù)科研、學(xué)業(yè)規(guī)劃、職業(yè)生涯規(guī)劃等一系列問(wèn)題，都能給予準(zhǔn)確、中肯的答復(fù).課上老師經(jīng)常會(huì)講解一些世界各國(guó)大數(shù)學(xué)家、圖論學(xué)家的事跡，介紹他們對(duì)圖論學(xué)科、乃至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的貢獻(xiàn)，特別會(huì)介紹到我國(guó)學(xué)者管梅谷先生的先進(jìn)事跡，課間也經(jīng)常會(huì)跟我們討論一些時(shí)事熱點(diǎn)，通過(guò)對(duì)這些著名數(shù)學(xué)家的事跡和他們學(xué)術(shù)成就的了解，讓我們深切感受到了數(shù)學(xué)家的精神所在，感受到了數(shù)學(xué)人的科學(xué)奉獻(xiàn).

學(xué)生評(píng)價(jià)三：根據(jù)導(dǎo)師建議，選了這門(mén)課程，后來(lái)經(jīng)過(guò)更多的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)自己的專(zhuān)科課程很多都會(huì)用到圖論知識(shí)，這些知識(shí)對(duì)自己的科研也有很大的幫助.特別地，課程中的幾位老師，分別來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)科、統(tǒng)計(jì)學(xué)科、數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)科、計(jì)算機(jī)學(xué)科等，課程內(nèi)容注重理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)科交叉方面的講授，讓我們?cè)谧龊美碚搶W(xué)習(xí)的同時(shí)，去關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的解決.老師也鼓勵(lì)我們要樹(shù)立遠(yuǎn)大目標(biāo)，做頂天立地的研究，將論文寫(xiě)在祖國(guó)大地上.

5 結(jié) 論

本文主要以研究生圖論課程為例，首先闡述了如何將馬克思主義哲學(xué)原理的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；其次將課程思政的具體教學(xué)實(shí)現(xiàn)形式進(jìn)行了總結(jié)；最后，經(jīng)過(guò)多年的探索與實(shí)踐，也將課程思政的成效做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹.課程思政是高校立德樹(shù)人的一項(xiàng)系統(tǒng)工程，深入推進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)課程思政工作，需要不斷優(yōu)化課程設(shè)置、修訂專(zhuān)業(yè)教材、完善教學(xué)設(shè)計(jì)、加強(qiáng)教學(xué)管理，需要進(jìn)一步挖掘梳理數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程中所蘊(yùn)含的思政元素，還需要教師自身進(jìn)一步加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，積極思考，主動(dòng)挖掘，多方配合.只有這樣，才能加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，才能促進(jìn)思政資源與人才培養(yǎng)各環(huán)節(jié)更好的有機(jī)融合，才能促使思想政治教育貫穿于教育教學(xué)的全過(guò)程，才能真正意義上實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的根本任務(wù).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).