始于困惑 中于支點 終于體系
——“分?jǐn)?shù)乘除法問題解決”教學(xué)探究和實施策略

文|王小蓮 徐玉燕

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)的內(nèi)容是教學(xué)中的一個難點，其中以“分?jǐn)?shù)乘除法問題解決”尤為突出。

一、教學(xué)現(xiàn)狀——機械解題，思路刻板

在“分?jǐn)?shù)乘除法問題解決”教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法問題時很容易混淆。很多教師認為，分?jǐn)?shù)類乘除法問題解決的教學(xué)關(guān)鍵在于找單位“1”和判斷單位“1”是否已知。所以，在解題過程中，大部分學(xué)生是按照以下機械模式來操作的。

1.找單位“1”。

通過讀題，去尋找題目條件中分率所對應(yīng)的單位“1”。單位“1”是哪個量，可通過一些“特征”來判斷，比如“是”、“比”字后面的數(shù)量就是單位“1”的量；分率前面“的”字前面的數(shù)量也是單位“1”的量。

2.判斷單位“1”的量是否已知。

找到單位“1”，判斷單位“1”是否已知，從而確定用什么方法來解決。這種解題方式，對于解一些“模型題”是有效的，但對于“模型題”以外的習(xí)題，學(xué)生就無法靈活運用，無法內(nèi)化成解決問題的能力。

那么，如何理解分?jǐn)?shù)類解決問題教材的優(yōu)化？分?jǐn)?shù)類解決問題采用什么樣的教學(xué)策略才會更加有效？

二、解讀教材——立足支點，豐富認知

解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的問題都與分?jǐn)?shù)乘法的意義有著緊密的聯(lián)系，所以“分?jǐn)?shù)乘法的意義”是分?jǐn)?shù)乘除法問題解決的支點。但由于“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”對學(xué)生來說是一種新的表述形式，學(xué)生理解起來尚有一定難度。修訂版教材把求幾個相同分?jǐn)?shù)相加之和、求一個數(shù)的幾分之幾是多少都納入到學(xué)生原有的乘法意義的認知體系。

實驗版和修訂版教材都是以舊知識引路，通過類比導(dǎo)入新知達到以舊促新之目的，但列式依據(jù)的數(shù)量關(guān)系是不同的，注重根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法意義來列式解決實際問題。

三、尋找策略——建構(gòu)模型，共筑體系

1.順應(yīng)發(fā)展脈絡(luò)，用知識統(tǒng)領(lǐng)全局。

（1）剖析前因后果，整體把握教材。

從2011年人教版教材的編寫特點來看，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)在小學(xué)分成三個階段，分別是三年級下冊《分?jǐn)?shù)的初步認識》、五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》和《分?jǐn)?shù)的加法和減法》、六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》和《分?jǐn)?shù)除法》。分?jǐn)?shù)乘除法問題解決共分六大類，除《分?jǐn)?shù)除法》單元的例7 以外，其余的五大類都可以還原或轉(zhuǎn)化成“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”這個問題。而“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，就是根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列出數(shù)量關(guān)系。

（2）明曉來龍去脈，精心設(shè)計教學(xué)流程。

①單位“1”具體化。

教學(xué)片斷：

●把20 米平均分成4 份，其中3 份是多少？

20÷4×3=15（米），用線段圖怎么表示？

這個題目的單位“1”用一個具體的量20 米來表示，要求出它的的具體量要用乘法。

②算理表征多維化。

只有學(xué)生真正理解一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)背后的算理，才是完整理解了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”為什么要用乘法計算；只有真正理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義，才能為分?jǐn)?shù)乘除法問題解決扎根。

（3）著眼深入淺出，逐步構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

分?jǐn)?shù)乘法意義列出的數(shù)量關(guān)系是：分率對應(yīng)的量=單位“1”×分率，而我們以前所學(xué)的倍比關(guān)系的數(shù)量關(guān)系是：多倍量=一倍量×倍數(shù)，理順這兩者之間的數(shù)量關(guān)系，單位“1”的量就是倍比關(guān)系中的一倍量，分率的含義就是整數(shù)“倍”的含義的擴充，分率只是非整數(shù)倍，如下圖所示。

所以，分?jǐn)?shù)類解決問題的數(shù)量關(guān)系和倍比關(guān)系的數(shù)量關(guān)系是一樣的。當(dāng)求一個數(shù)的幾分之幾或幾倍是多少時，我們是用乘法；當(dāng)已知一個數(shù)的幾分之幾或幾倍是多少，求這個數(shù)的時候用方程或除法，而它們的數(shù)量關(guān)系都是一樣的。

綜上所述，分?jǐn)?shù)的乘除法問題解決應(yīng)該對應(yīng)到倍比問題中來?！氨侗汝P(guān)系”的教學(xué)在小學(xué)有三個階段：三年級上冊學(xué)習(xí)整數(shù)類倍比問題，五年級上冊學(xué)習(xí)小數(shù)類倍比問題，六年級上冊學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)類倍比問題。所以，“倍比問題”是一類系統(tǒng)問題，只有在系統(tǒng)教學(xué)的前期做好知識鋪墊，利用好知識的正遷移作用，才可能實現(xiàn)最后的知識難點的突破。

2.啟迪智慧思辨，用方法串聯(lián)核心。

分?jǐn)?shù)乘除法問題解決的核心在于厘清其中的數(shù)量關(guān)系，我們可以用畫線段圖、提煉數(shù)量關(guān)系、列方程等方法串聯(lián)這一核心。

（1）畫圖示意——“授之以魚，授之以漁”。

數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。根據(jù)一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義能順利解答簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，而復(fù)合的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，又不易判定單位“1”的量，所以借助線段圖進行數(shù)形轉(zhuǎn)換的思維訓(xùn)練能有效幫助學(xué)生正確解答復(fù)合的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。

（2）抽出“骨架”——“既見樹木，又見森林”。

分?jǐn)?shù)乘除法問題解決要緊扣數(shù)量關(guān)系進行教學(xué)，將實際問題解決抽象成文字題，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系明顯的數(shù)學(xué)問題。例如，人心臟跳動的次數(shù)隨著年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75 次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多。嬰兒每分鐘心跳多少次？讀題目后，提煉出數(shù)量關(guān)系，將此實際問題解決抽象成文字題，就是求比75 多的數(shù)是多少？最后列式：75×（1+）=135（次）?？梢?，“分?jǐn)?shù)乘除法問題解決”文字題教學(xué)不僅有利于式題、文字題和問題解決之間的轉(zhuǎn)化、具體與抽象之間的轉(zhuǎn)換，而且有利于學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高解題能力。

（3）順向思維——“兼聽則明，偏信則暗”。

分?jǐn)?shù)除法的問題解決應(yīng)該用算術(shù)解法，但筆者翻看了人教版最近的三個版本，發(fā)現(xiàn)都是引入方程來解決問題。有人認為引入方程對于之前的模式教學(xué)并沒有什么實質(zhì)性突破，學(xué)生依舊需要從已知數(shù)量中找單位“1”是誰，由此決定到底是直接用算術(shù)方法的乘法計算還是用方程的乘法計算。

①引入方程，真的是“換湯不換藥”？

筆者認為，引入方程最大的目的是打破了分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的界限，通過“一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義”將兩者溝通起來。兩者都是根據(jù)一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義列出關(guān)系式，不同的是分?jǐn)?shù)乘法問題解決，根據(jù)關(guān)系式列出的是一個算式，而分?jǐn)?shù)除法問題解決根據(jù)關(guān)系式列出的是一個方程。

不僅如此，列方程解決這類問題最大的優(yōu)勢在于思維的順向性，引入方程可以有效地降低除法逆運算的思維難度。

②引入方程，只是算術(shù)解法的過渡？

引入方程可以降低思維難度，那么在熟練方程解題之后是不是就過渡到算術(shù)方法？“算術(shù)方法的除法”與“方程”這兩種方法，哪種方法才是我們的最后的目標(biāo)？教材多次改編，改變的不是“算術(shù)方法的除法”與“方程”這兩種方法相互替換，而是把最終方法落在方程上。列方程解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點，這是與算術(shù)解法完全不同的兩種思維方式。到了小學(xué)高段，學(xué)生已經(jīng)從算術(shù)思維慢慢走向方程思維，而到初高中階段又是方程思維，所以用方程解決分?jǐn)?shù)除法的問題，既能扎實小學(xué)階段的方程思維，更能和初中的方程思維接軌。

3.用思想貫穿過程，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（1）“啟”——開啟數(shù)形結(jié)合。

線段圖是一種重要的數(shù)形結(jié)合的思想方法，當(dāng)只有文字?jǐn)⑹鰰r，線段圖在幫助學(xué)生解決問題時起到了非常重要的作用。教學(xué)時不僅要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出線段圖，也要能解讀線段圖。在借助線段圖解題的過程中讓學(xué)生學(xué)會自主歸納總結(jié)并提煉出解題模型。

（2）“承”——傳承數(shù)學(xué)思想。

整數(shù)和小數(shù)類倍比關(guān)系的數(shù)量關(guān)系是：多倍量=一倍量×倍數(shù)，分?jǐn)?shù)類倍比問題的數(shù)量關(guān)系是：分率對應(yīng)的量=單位“1”×分率，“倍比問題”是一類系統(tǒng)問題，筆者認為數(shù)量關(guān)系式也應(yīng)該統(tǒng)一為：比較量=標(biāo)準(zhǔn)量×倍率。所以，在每一階段教學(xué)“倍比問題”知識的時候都應(yīng)緊扣“比較量=標(biāo)準(zhǔn)量×倍率”這個數(shù)量關(guān)系式來分析，緊扣“比較量”和“標(biāo)準(zhǔn)量”這兩個量的理解來實施教學(xué)。每個階段都落實好“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”的認識，就能不斷擴充和完善對倍比關(guān)系的認識。

（3）“轉(zhuǎn)”——化轉(zhuǎn)倍率關(guān)系。

“倍”和“率”只是倍比關(guān)系中兩個方向的描述，在分?jǐn)?shù)倍比問題教學(xué)的時候要經(jīng)常將分率轉(zhuǎn)化成小數(shù)倍進行對比。如甲數(shù)是乙數(shù)的3 倍，即乙數(shù)是甲數(shù)的；“甲數(shù)的”可轉(zhuǎn)化為“甲數(shù)的0.2 倍”；“比甲數(shù)多50%”可轉(zhuǎn)化為“是甲數(shù)的1.5 倍”……如此對“倍”和“率”的理解進行有效溝通，能有效消除學(xué)生對分率理解的困難。

（4）“合”——暗合以簡馭繁。

用數(shù)學(xué)解決實際問題，需要我們看透知識表層背后規(guī)律性的內(nèi)容。用樣本探究規(guī)律，發(fā)掘解決問題的方法，并用建模的思想推廣應(yīng)用。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授知識，還需挖掘蘊含的數(shù)學(xué)方法，進行歸納總結(jié)，使學(xué)生更系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，形成一定的數(shù)學(xué)意識。

綜上所述，分?jǐn)?shù)乘除法問題解決的教學(xué)困惑絕不是一個簡單的知識點的問題。它是倍比數(shù)量關(guān)系教學(xué)板塊中的一部分，我們要有系統(tǒng)意識，利用好知識的正遷移。同時，分?jǐn)?shù)乘除法問題解決應(yīng)該提升到“問題解決”的系統(tǒng)建構(gòu)上來，從整體上認識這個問題，讓分?jǐn)?shù)乘法意義、分?jǐn)?shù)計算、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)推動解決問題的教學(xué)。