基于推理表現(xiàn)水平進(jìn)階的猜想、說(shuō)理與例證
——《比的基本性質(zhì)》同課異構(gòu)教學(xué)解析與思考

文|宋煜陽(yáng)（特級(jí)教師）

推理能力作為小學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力中的一項(xiàng)核心能力，是提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的推理能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

推理能力是否得到發(fā)展，本質(zhì)上是學(xué)生推理表現(xiàn)水平進(jìn)階的反映。而刻畫學(xué)生推理表現(xiàn)水平，既需要選取典型的課例作為學(xué)習(xí)載體，又需要整個(gè)推理活動(dòng)過(guò)程加以貫穿。猜想、說(shuō)理和例證是推理能力表現(xiàn)水平的重要元素，同時(shí)又是推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)，為此，圍繞推理表現(xiàn)水平進(jìn)階，對(duì)《比的基本性質(zhì)》教學(xué)中的猜想、說(shuō)理與例證等活動(dòng)的討論，具有重要的意義。

一、表現(xiàn)水平的進(jìn)階：理解與刻畫教學(xué)目標(biāo)的重要基點(diǎn)

《比的基本性質(zhì)》一課，作為六年級(jí)上冊(cè)的推理內(nèi)容學(xué)習(xí)，它究竟承載著怎樣的教學(xué)目標(biāo)？我們有必要回到《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相關(guān)目標(biāo)要求來(lái)思考。如第二學(xué)段課程內(nèi)容目標(biāo)指出，“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果”；又如在實(shí)施建議中提出要處理好“合情推理與演繹推理的關(guān)系”，要“通過(guò)實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”等。

問(wèn)題在于，對(duì)于六年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，怎樣才算是能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程？演繹推理怎樣的程度要求才算是適切的？特別是，我們?cè)撊绾螢榧磳⑸氲谌龑W(xué)段的學(xué)習(xí)對(duì)象作出必要的銜接？這一系列問(wèn)題，都需要借助推理能力表現(xiàn)水平指標(biāo)將相關(guān)課程目標(biāo)具體化。

參照徐斌艷教授“數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力框架模型”研究成果，推理能力表現(xiàn)水平可劃分為記憶與再現(xiàn)、聯(lián)系與變式、反思與拓展三個(gè)層次。各水平層次的表現(xiàn)指標(biāo)和本課例表現(xiàn)行為作如下描述。

水平一：記憶與再現(xiàn)。

主要表現(xiàn)指標(biāo)：能夠形成一些合理的猜測(cè)；能夠有條理地表達(dá)獲得猜想的推理過(guò)程；能夠在簡(jiǎn)單情境下解釋命題的正確性。

課例表現(xiàn)行為：能對(duì)“比的基本性質(zhì)”作出猜想，但表述不完整；能通過(guò)舉例子、計(jì)算比值進(jìn)行不完全歸納說(shuō)明，但缺少大量例證和反例意識(shí)；驗(yàn)證意識(shí)、論證過(guò)程的完整性都需要引導(dǎo)。

水平二：聯(lián)系與變式。

主要表現(xiàn)指標(biāo)：能在較復(fù)雜的問(wèn)題情境下提出認(rèn)知水平層次較高的猜想；能清晰地表述思考過(guò)程；能夠聯(lián)系他人的推理與已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解釋。

課例表現(xiàn)行為：能對(duì)“比的基本性質(zhì)”作出猜想，會(huì)用語(yǔ)言完整表述；能采用不完全歸納推理的方法來(lái)進(jìn)行說(shuō)理，知道例證的基本要求；能讀懂他人利用“除法與比的關(guān)系”“商不變性質(zhì)”演繹推理得出“比的基本性質(zhì)”的過(guò)程與方法，初步學(xué)會(huì)利用“分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系”仿照進(jìn)行演繹推理，但不能獨(dú)立完成整個(gè)演繹推理過(guò)程。

水平三：反思與拓展。

主要表現(xiàn)指標(biāo)：能夠獲得更多猜想，對(duì)結(jié)論進(jìn)行反思和檢驗(yàn)；有理有據(jù)地表達(dá)，說(shuō)理充分；能通過(guò)枚舉歸納和演繹推理兩種思路進(jìn)行解釋說(shuō)明。

課例表現(xiàn)行為：能對(duì)“比的基本性質(zhì)”作出猜想，會(huì)用語(yǔ)言完整表述，并能對(duì)后續(xù)“比例”的性質(zhì)以規(guī)律形式進(jìn)行猜想；在不完全歸納推理的基礎(chǔ)上，能利用“除法與比的關(guān)系”“分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系”“商不變性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行演繹推理，獨(dú)立完成整個(gè)過(guò)程，能說(shuō)出每步推理的依據(jù)。

作為推理活動(dòng)的核心元素，猜想、說(shuō)理和例證成為推理表現(xiàn)水平進(jìn)階的關(guān)鍵。為此，兩個(gè)課例在猜想、驗(yàn)證（推理）過(guò)程上給出了充足的活動(dòng)時(shí)空，同時(shí)在活動(dòng)要求上也給出了較高的要求。就推理能力表現(xiàn)水平進(jìn)階而言，兩節(jié)課例的學(xué)習(xí)活動(dòng)目標(biāo)定位都是合理的，也是必要的。

二、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)：推進(jìn)猜想與說(shuō)理活動(dòng)的重要抓手

在“比的基本性質(zhì)”之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷了多次規(guī)律和性質(zhì)的探究歸納、舉例說(shuō)理活動(dòng)，積累了一定的“猜想”“驗(yàn)證”等推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，如何有效激活知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的內(nèi)部聯(lián)結(jié)、實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)者的自主遷移，成為本課推進(jìn)猜想與說(shuō)理活動(dòng)的重要抓手。

就猜想與說(shuō)理活動(dòng)板塊來(lái)說(shuō)，本課主要有兩個(gè)地方的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)部聯(lián)結(jié)。

聯(lián)結(jié)一，關(guān)于分?jǐn)?shù)、除法和比之間的知識(shí)內(nèi)聯(lián)，包括三者各部分名稱和三條性質(zhì)之間的等價(jià)聯(lián)結(jié)。此處的聯(lián)結(jié)目標(biāo)主要指向兩個(gè)：一個(gè)是幫助學(xué)生激活經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展合情推理活動(dòng)，根據(jù)商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容，對(duì)新的“比的基本性質(zhì)”進(jìn)行類比猜想；另一個(gè)是利用三者等價(jià)關(guān)系的轉(zhuǎn)化進(jìn)行說(shuō)理，開(kāi)展各類推理活動(dòng)，這是推理表現(xiàn)水平進(jìn)階的節(jié)點(diǎn)，也是本課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)與關(guān)鍵。課例教學(xué)中，兩位教師都非常重視這個(gè)知識(shí)內(nèi)聯(lián)的激活與延展。鮑老師是借助“關(guān)于比，你有哪些了解”“‘基本性質(zhì)’不是第一次見(jiàn)了，你還記得哪些‘基本性質(zhì)’？”“猜想一下，比的基本性質(zhì)會(huì)是怎樣的？”等問(wèn)題，展開(kāi)復(fù)習(xí)回憶并完成“比的基本性質(zhì)”類比猜想。王老師則借助具體學(xué)習(xí)任務(wù)巧妙展開(kāi)，先給出等值的一組數(shù)與算式（，組織學(xué)生觀察討論它們的相同之處和不同之處，激活三者之間的關(guān)系；緊接著通過(guò)“0.3÷0.5”的快速求值，激活商不變性質(zhì)，進(jìn)而類比猜想“比的基本性質(zhì)”。盡管知識(shí)聯(lián)結(jié)的手法略有不同，但都有效激活了分?jǐn)?shù)、除法和比之間的知識(shí)內(nèi)聯(lián)，既快捷達(dá)成了類比猜想的聯(lián)結(jié)目標(biāo)，又為后續(xù)利用三者關(guān)系說(shuō)理奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

聯(lián)結(jié)二，關(guān)于不完全歸納推理的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)部聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)目標(biāo)主要是調(diào)用學(xué)生舉例驗(yàn)證、判斷說(shuō)理的已有經(jīng)驗(yàn)方法，對(duì)新的“基本性質(zhì)”進(jìn)行論證。教學(xué)中，兩位教師都圍繞“從嚴(yán)格意義上講，只能驗(yàn)證你們舉的例子是成立的，這些例子能說(shuō)明所有的比都成立嗎？”“舉例子是數(shù)學(xué)證明中常用的方法，只是這樣的一、兩個(gè)例子就能證明剛才的猜想成立嗎？”等核心問(wèn)題，展開(kāi)正例數(shù)量與結(jié)論可靠性之間的思辨，既有利于學(xué)生推理表現(xiàn)水平從“記憶與再現(xiàn)”向“聯(lián)系與變式”提升，又增進(jìn)了學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)。特別是鮑老師，在得出比的基本性質(zhì)后還進(jìn)行了方法回顧、梳理，有助于學(xué)生向“反思與拓展”這一推理表現(xiàn)水平進(jìn)階。

三、推理路徑的豐富：體會(huì)例證數(shù)量與方式的重要支點(diǎn)

“基本性質(zhì)”的推理路徑學(xué)習(xí)經(jīng)歷了三個(gè)階段，分別是：在“商不變性質(zhì)”中學(xué)習(xí)歸納推理；在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”中側(cè)重學(xué)習(xí)歸納推理，補(bǔ)充了解演繹推理；在“比的基本性質(zhì)”中將歸納推理、演繹推理整體推進(jìn)學(xué)習(xí)。整個(gè)推理路徑學(xué)習(xí)序列呈現(xiàn)從單一到豐富、從側(cè)重合情推理到兩類推理整體推進(jìn)的特點(diǎn)，而這個(gè)特點(diǎn)既可以視為推理表現(xiàn)水平進(jìn)階，也是對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施建議“處理好合情推理與演繹推理的關(guān)系”“根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”的具體理解。

從兩節(jié)課例實(shí)際教學(xué)來(lái)看，“比的基本性質(zhì)”推理路徑主要有不完全歸納推理、科學(xué)歸納推理和演繹推理三類。兩位教師都基于結(jié)論的正確性，圍繞例證的數(shù)量與論證方式對(duì)推理路徑加以豐富并穿插比較。

當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)慣用的不完全歸納推理方法時(shí)，兩位教師都對(duì)其特點(diǎn)與局限進(jìn)行了及時(shí)點(diǎn)撥，如“這些例子能說(shuō)明所有的比都成立嗎？”“這樣的一、兩個(gè)例子就能證明剛才的猜想成立嗎？”等問(wèn)題，幫助學(xué)生明確不完全歸納推理的論證基本思路是“舉例驗(yàn)證———不完全歸納確認(rèn)結(jié)論”，體會(huì)它是需要大量例證支撐，結(jié)論確定性存在一定風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，拋出“還有其他方法說(shuō)明這個(gè)結(jié)論一定成立嗎？”“他沒(méi)有求比值，能說(shuō)明它們相等嗎？”等問(wèn)題思考，進(jìn)而呈現(xiàn)另外兩類推理路徑。其中，王老師充分結(jié)合圖1 中材料展開(kāi)推理依據(jù)的追問(wèn)，并形成圖2 的板書圖，幫助學(xué)生借助個(gè)例中除法、比、商不變性質(zhì)之間的因果關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了科學(xué)歸納推理，了解了“舉例——尋找因果關(guān)系——確認(rèn)結(jié)論”。在鮑老師的課堂上，學(xué)生直接將除法和比聯(lián)系在一起，通過(guò)“比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值就是商，因?yàn)槌ㄖ杏猩滩蛔冃再|(zhì)，所以比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，比值不變”，推導(dǎo)得出結(jié)論成立，呈現(xiàn)了較為完整、清晰的演繹推理路徑。兩位教師都非常重視說(shuō)理依據(jù)的追問(wèn)，強(qiáng)調(diào)“有理有據(jù)地表達(dá)”。如果兩位教師能夠?qū)髢深愅评砺窂降奶攸c(diǎn)與步驟進(jìn)行及時(shí)點(diǎn)撥，比如“這樣的驗(yàn)證需要多少個(gè)例子？”“這樣驗(yàn)證的基本步驟是什么？”將促使學(xué)生對(duì)推理路徑多元化和優(yōu)化有更深的體會(huì)，也將有助于“反思與拓展”表現(xiàn)水平的達(dá)成。

兩節(jié)課例雖說(shuō)同課異構(gòu)，但都以推理表現(xiàn)水平進(jìn)階為目標(biāo)，以猜想、說(shuō)理和例證為抓手，以豐富推理路徑為手段，呈現(xiàn)許多相似性。同時(shí)，后測(cè)研究表明兩節(jié)課例的學(xué)習(xí)成效都達(dá)到了較高水平。其中，對(duì)后續(xù)“比的基本性質(zhì)”教學(xué)中采用找規(guī)律（圖3）、解釋說(shuō)理（圖4）的方式進(jìn)行了測(cè)查統(tǒng)計(jì)，近20%的學(xué)生解釋說(shuō)理時(shí)能夠?qū)⒈绒D(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)形式，再利用圖3 獲得的規(guī)律作為前提進(jìn)行演繹推理，表明學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了“反思與拓展”水平層次，實(shí)現(xiàn)了推理表現(xiàn)水平的進(jìn)階。