引領(lǐng)“再認識”，讓學習在認識的優(yōu)化與深化中走向深刻
——以《三角形面積計算的再認識》教學為例

文|管小冬

“再認識”指“對已進行認識的認識對象及其認識成果（包括獲取這些認識成果的認識活動）的重新認識”。相比于原有認識，再認識是“認識連續(xù)地和不斷地深化和更新的過程”。在小學數(shù)學的學習中，受年齡、生活經(jīng)驗、認知水平等影響，學生對一些重要的數(shù)學內(nèi)容、方法、思想的理解和掌握，往往需要經(jīng)歷“認識、實踐、再認識、再實踐”的循環(huán)遞進過程?；诖耍稊?shù)學課程標準（2011年版）》特別指出：在教材編寫時，“重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則”。這也要求我們，不僅要在學生初次認識這些重要的數(shù)學內(nèi)容、方法、思想時上好“種子課”，更要在后續(xù)學習中精心設(shè)計問題、創(chuàng)設(shè)機會，上好拓展課與整合課，引領(lǐng)學生在對相應(yīng)內(nèi)容的“再認識”中實現(xiàn)認識的優(yōu)化與深化，讓學習不斷走向深刻。

事實上，無論是《數(shù)學課程標準（2011年版）》對各學段“內(nèi)容標準”的具體規(guī)定，還是各版本數(shù)學教材的具體編排，均十分注重使學生在“認識”“再認識”的過程中不斷加深對數(shù)學知識與技能背后的數(shù)學本質(zhì)的理解。比如，蘇教版教材對“分數(shù)的認識”這一內(nèi)容的編排，就分為三個階段：三年級上冊“分數(shù)的初步認識（一）”，三年級下冊“分數(shù)的初步認識（二）”，五年級下冊“分數(shù)的意義和性質(zhì)”。再如，對“三角形的內(nèi)角和”這一具體內(nèi)容的編排，蘇教版教材在例題后的練習中，就出現(xiàn)了如下圖題目。究其用意，正是為學生提供一個新的觀察與推理的視角，引導他們于“再認識”中達成對“三角形的內(nèi)角和是180°”的深刻理解，對相應(yīng)的觀察、探究、推理方式的深刻把握。

但我們?nèi)詰?yīng)看到，教學中，我們對“再認識”的重視與研究還是不夠。

一方面，教材的編排，我們的教學，需要引領(lǐng)學生通過一節(jié)課、一個單元或幾個單元的學習，去掌握人類歷經(jīng)幾百甚至幾千年探索得出的數(shù)學成果。因此，教材在編排時，往往呈現(xiàn)的都是這些數(shù)學成果的最高形式，并為學生設(shè)計了一條易于認識與理解的便捷、高效之路。教學中，如果教師只是將這些數(shù)學成果看作是靜態(tài)的數(shù)學知識與技能，未能引導學生于“認識”“再認識”的過程中充分經(jīng)歷聯(lián)系、反思、優(yōu)化等思維過程，學生的學習便會落入簡單化的境地。比如，在豎式除法的教學中，教師往往注重引導學生理解豎式除法的算理與算法，卻忽視了在此基礎(chǔ)上學生對豎式除法的再認識。即，我們不應(yīng)僅滿足于學生對豎式除法的工具性掌握，還應(yīng)引領(lǐng)他們回歸原點，在立足除法意義的基礎(chǔ)上，聯(lián)系加、減、乘等運算，去思考、理解運用豎式除法尋找答案的運算過程，形成對豎式除法算理及運算形式、程序的“再認識”。

另一方面，教學中，特別是在新課學習之后，雖然教材、教師均注重通過不同形式的練習去鞏固、發(fā)展學生對相應(yīng)數(shù)學內(nèi)容的認識，但練習的目標往往指向于學生對相應(yīng)數(shù)學知識、技能的熟練運用，而忽視了應(yīng)采取不同方式去促進學生認識的廣度與深度的提升。即，教學應(yīng)立足“認識具有不斷反復和無限發(fā)展的規(guī)律”這一特點，著力引導學生于“再認識”中不斷更新認識，進而帶動他們對相應(yīng)數(shù)學內(nèi)容的理解走向新的境界。鄭毓信教授特別強調(diào)“教學應(yīng)當幫助學生學會‘長時間思考’”，也正是因為“長時間思考”可以帶動學生對自身學習過程與學習結(jié)果的反思與再認識，進而使學習從“由薄到厚”走向“由厚到薄”。

接下來，我將以“三角形面積計算的再認識”教學為例，與大家分享我的思考與實踐。

【案例】“三角形面積計算的再認識”

在學生學習“三角形的面積計算”后，我們會發(fā)現(xiàn)，總有些學生在后續(xù)遇到與三角形面積計算相關(guān)的實際問題時，會將三角形的面積計算方法與平行四邊形的面積計算方法相混淆，在“底×高”后會忘記“除以2”。針對這樣的“頑癥”，教師們也是煞費苦心，比如“要求學生熟記、背誦三角形的面積計算公式”“在解決問題時，看到‘三角形’就在旁邊標上‘÷2’”等。但實際運用中，這些方法收效甚微。訪談中我們也會發(fā)現(xiàn)，這些學生并不是不知道三角形的面積計算方法，在出錯后也能快速地找到自己的錯因，但在實際運用時就是容易忘記。通過對既往教與學過程的深層次剖析，我發(fā)現(xiàn)原因主要源自兩個方面。

一是在看似快速、高效的學習過程中，學生掌握了三角形的面積計算方法，但因為缺乏對“提出初始想法、試誤、反思、調(diào)整、形成最優(yōu)化表達”這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的深刻經(jīng)歷，學生也只是掌握了方法，并未形成對方法的深刻理解。關(guān)于這一點的解決之法，大家可以參考本刊2021年第6 期《注重“真體驗”，讓學習在關(guān)鍵環(huán)節(jié)的真實經(jīng)歷中走向深刻》一文，此處不再贅述。

二是學生對三角形面積計算公式中的“÷2”缺乏更深層次的認識與理解?！坝脙蓚€完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，再由平行四邊形的面積計算公式推導出三角形的面積計算公式”，這幾乎是公認的最易于為學生理解、掌握的教學之道。但實際上，由于初始想法可能不同，過程中的思路也可能迥異，三角形面積計算的推導過程就會千差萬別。如果缺少了對這些不同思路與推導過程的比較、聯(lián)系、梳理與歸納，學生是很難深刻理解上述“公認”推導過程的優(yōu)越性所在的，更不會真正認識到：公式中的“÷2”不僅代表著“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”，更代表著“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學思想。如此，“公認”也就只是教師（成人）自認為的、基于“兒童立場”出發(fā)的“公認”了。

基于以上分析與思考，在“三角形的面積”一課教學后，我布置了一項“長期作業(yè)”給學生，請他們繼續(xù)思考、探究“三角形的面積還可以怎樣算”，并在一至兩周后引領(lǐng)他們在相互交流、對比的基礎(chǔ)上，形成對三角形面積計算方法的“再認識”。以下是課堂教學中的兩則片斷。

片斷1：三角形面積計算的再探究與再交流。

師：這段時間，大家都在研究“三角形的面積還可以怎樣算”，有收獲嗎？今天這節(jié)課，我們就一起來交流大家找到的“另類”計算方法。

生：我的方法還是繼續(xù)把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，但轉(zhuǎn)化的方式與前面學過的不同。大家看（邊說邊操作），把這個三角形沿平行于底的這條線對折，再把上面的小三角形剪下來，與下面的梯形拼成一個平行四邊形。這個平行四邊形的底就是三角形的底，高是三角形高的一半。所以三角形的面積可以用底（a）乘高（h）的一半來算，也就是“SΔ=a×（h÷2）”。

生：你這個方法可以叫做“正廣以乘半從”。我進一步研究了數(shù)學書“你知道嗎？”中介紹的“半廣以乘正從”的方法。它是以三角形的一條邊為底，從另外兩條邊的中點向這條邊作垂線段，形成兩個小的直角三角形，把這兩個直角三角形剪下，再拼到上面，三角形就轉(zhuǎn)化成了長方形。這時，長方形的長就是三角形底（a）的一半，即書上說的“半廣”，寬就是三角形的高（h），也就是“正從”。所以，三角形的面積計算方法就是“半廣以乘正從”，寫成公式就是“SΔ=（a÷2）×h”。

生：我的方法與你們倆的有些相似，但我沒有剪拼，而是像以前研究三角形內(nèi)角和那樣，把左右兩個直角三角形向內(nèi)折，把上面這個小三角形向下折，就形成了一個長方形。但是大家注意，這其實是兩個長方形。這個長方形的長是三角形底的一半，寬是三角形高的一半。所以三角形的面積可以用它底（a）的一半乘高（h）的一半，再乘以2 來計算，也就是“SΔ=（a÷2）×（h÷2）×2”。借用“你知道嗎？”中的說法，可以稱為“2 倍的半廣以乘半從”。

……

“三角形的面積還可以怎樣算？”這項“長期作業(yè)”的布置，并不是要學生窮盡三角形面積計算的推導方法（事實上也不可能），而是意在引導學生對一問題進行“長時間思考”，進而在這一過程中不斷體會圖形間的相互轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的積累、推理能力的提升以及數(shù)學思考的發(fā)展。上述片斷中，學生間不同推導方法的交流，既是對三角形面積計算方法的豐富與補充，也為后續(xù)的“再梳理”與“再認識”提供了足夠廣遠的思考和理解的空間。

片斷2：三角形面積計算方法的再梳理與再認識。

師：剛才的交流真是精彩紛呈。原來三角形的面積計算還可以有如此多的“另類”方法。不過，我們對數(shù)學的研究，不能僅止步于各種具體方法的獲得，還要學會對比與聯(lián)系。想一想，這些不同的方法之間有聯(lián)系嗎？它們的異同點是什么？

學生先獨立觀察、對比與思考，再在小組內(nèi)進行交流。隨后教師組織全班交流。

生：這幾種方法都是把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，再去研究它的面積計算方法。

師：對，“化未知為已知”是我們在數(shù)學研究中常用的一種重要方法。

生：區(qū)別就在于，轉(zhuǎn)化前后，有些是面積不變，但底或高中總有一個變成了原來的一半；有些是底和高雖然是原來的一半，但三角形的面積是轉(zhuǎn)化后圖形面積的兩倍。

生：我發(fā)現(xiàn)，第三種方法“SΔ=（a÷2）×（h÷2）×2”中，后面的“×2”可以與前面的一個“÷2”抵消。這樣，不管是哪種方法，三角形的面積計算方法最終都可以表示為“底×高÷2”。

師：看來，“÷2”在三角形的面積計算中有著重要的意義。放在不同的位置，就對應(yīng)著大家找到的不同的計算思路。不過，這么多方法中，你覺得哪種方法最易為大家理解和掌握？

生：應(yīng)該還是書上例題中介紹的方法，因為相比其他幾種方法，我們更容易根據(jù)它的推導圖想到對應(yīng)的計算方法，根據(jù)計算方法也更容易聯(lián)想到對應(yīng)的推導圖。

至此，經(jīng)過對三角形面積計算不同方法的再梳理與再認識，學生會發(fā)現(xiàn)“不同方法卻殊途同歸”。對他們而言，三角形的面積計算方法，特別是其中的“÷2”，就不再是一個需要去記憶、背誦的單純知識點，而是不同思路經(jīng)由數(shù)學化后的一致表達。在這樣的“再認識”后，學生對“三角形的面積計算”才是“徹底懂，經(jīng)過消化的懂”。因為，教學留給學生的不再僅僅是一條簡單的面積公式，一種靜態(tài)的方法、技能，而是一個生動活潑的、具備多種表征方式的數(shù)學話語體系。

陳省身先生說：“天下美妙的事不多，數(shù)學就是這樣美妙的事之一?！蔽蚁?，“數(shù)學好玩”正是因為在持續(xù)深入的“認識”與“再認識”中，總會有一些新的思考與發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生。而教師的作用，正在于引領(lǐng)學生在“認識”“再認識”的反復中“由薄變厚”再“由厚變薄”，進而讓學習在認識的不斷優(yōu)化與深化中走向深刻。