相對平衡液體鉛直作用力的簡便計算方法1)

顧 磊 倪福生

(河海大學機電工程學院疏浚技術教育部工程研究中心，江蘇常州213022)

流體靜力學是流體力學授課的重要內(nèi)容，其研究對象為靜止流體與相對平衡流體[1-2]。在相對平衡液體的鉛直分力計算中，教科書和習題解答中一般采用積分進行求解。許多學生覺得計算困難，尤其是涉及到拋物面方程時，積分式非常復雜，學生普遍會出錯。實際上，在靜止液體作用力求解時，提出了壓力體的概念，通過幾何作圖的方法即可將鉛直分力求解出來，可以規(guī)避積分過程。教學過程中探索發(fā)現(xiàn)，無論是相對平衡液體還是靜止液體，求解其對壁面鉛直作用力的理論基礎和基本方法本質(zhì)上是相同的，只是等壓面形狀發(fā)生了改變。完全可以將壓力體的求解方法引入到相對平衡液體的作用力計算中，以簡化計算過程。

1 壓力體方法

許多教科書在靜水鉛直分力的求解過程中，都介紹了壓力體及其作圖求解方法。壓力體的定義為

式中h為所求面上微元所處的液下深度，Az為曲面沿鉛直方向、在自由液面上的投影面。可以看到，壓力體僅僅是一種數(shù)學上表示的空間體積，該空間由三個面組成，其中所求力的作用壁面已知，故求解關鍵在于確定其他兩個面：自由液面(或延長線)和投影周界面[3]。其中自由液面指壓強為大氣壓的水平面[4]。

鉛直分力的大小等于壓力體內(nèi)液體的重力，用壓力體體積乘以液體重度即可求得。鉛直分力的方向則由壓力體與作用液體的相對位置來確定，作用液體指所求壁面接觸的液體。當壓力體與作用液體處于壁面同側時，鉛直分力方向向下，反之則鉛直分力方向向上，可簡單記為“同側向下，異側向上”。

2 水平勻加速直線運動液體

水平勻加速直線運動液體與靜止液體的區(qū)別在于，水平加速度產(chǎn)生了水平質(zhì)量力，這導致壓強不僅沿鉛直變化，還會沿水平改變。在一些教科書中，引入鉛直淹沒深度的概念后，其壓強分布規(guī)律就統(tǒng)一為[1]

式中，p0為液面處壓強，ρ為液體密度，g為重力加速度，H為所求壓強點的鉛直淹沒深度，表示該點與向上做鉛垂線與自由液面交點之間的距離。對于靜止液體，其液面為水平面，當液面為自由面時，式(1)中的h就是鉛直淹沒深度H。而勻加速直線運動液體的不同點在于，其液面為傾斜面(圖1)，當運動加速度為a時，傾斜角β滿足

圖1 水平勻加速直線運動液體

式中負號表示液面沿加速度方向傾斜向下。

將靜止液體看作加速度為0的勻加速直線運動的特例，兩種狀態(tài)下液體的壓強分布規(guī)律本質(zhì)上就沒有區(qū)別。而兩者對壁面的鉛直作用力，也同樣是采用壓強與微元面積乘積在整個壁面上的積分來進行計算?？傊?，求解的理論基礎和基本方法均相同。那么在積分中同樣會出現(xiàn)壓力體項，只是水平勻加速直線運動液體的自由液面變?yōu)榻嵌葹棣碌膬A斜面而已。

當上部空氣為大氣壓時，液面即為自由面，則任意一點m的鉛直淹沒深度即如圖1中H所標識的長度。那么，圖中AB面上的鉛直作用力FABV的大小可采用積分形式計算

3 等角速旋轉運動液體

當液體做等角速旋轉運動時，其等壓面變?yōu)閽佄锩?，拋物面方程?/p>

式中，z為距拋物面頂點的鉛直高度，ω為旋轉角速度，r為旋轉半徑，見圖2。

圖2 等角速旋轉運動液體

當采用鉛直淹沒深度作為參數(shù)時，其壓強分布同樣滿足式(2)，那么在求解壁面上的鉛直分力時，其大小同樣可由式(4)計算。只是此時的自由液面為壓強為大氣壓且滿足式(5)的拋物面。

以流體力學教科書中的經(jīng)典題目為例，如圖2所示，當容器以角速度ω旋轉時，液體對上頂蓋的作用力，即可采用上述壓力體的方法求解。首先作出自由液面，在這一題中，自由液面并非實際液面，而是過中心點的拋物面(圖中虛線所示)，將頂板面周界沿鉛直方向投影到該拋物面上，所包圍的空間即圖2中陰影部分，那么根據(jù)“拋物體體積是等底同高圓柱體體積的一半”這一數(shù)學結論，即可方便地求得其體積和鉛直分力。而由于壓力體在頂板上側，接觸液體在頂板下側，屬于“異側”，則鉛直分力方向向上。

上述結論與教科書中積分獲得的結果[1]完全一致，說明壓力體的方法也完全適用于等角速旋轉運動液體的壁面鉛直分力計算，只是此時自由液面為拋物面而已。而靜止液體可以看作角速度為0的旋轉運動的特例。

實際教學中，當涉及這種拋物面方程時，許多學生反映積分存在困難，有的直接放棄計算。上述例題中壁面是較為簡單的平面，如果壁面為曲面，如圖2中的CD半球面，由于拋物面方程與半球面方程都非常復雜，其積分求解會更為困難，而采用壓力體方法則計算會大為簡便，學生很容易就能掌握，這更加體現(xiàn)了壓力體方法的簡便性優(yōu)勢。

4 存在加速度鉛直分量的討論

上述兩種情況屬于加速度僅存在水平分量的情況，當存在加速度鉛直分量時，是否仍然可以采用壓力體的方式進行求解呢？以經(jīng)典的坡面下滑勻加速直線運動為例，將裝有液體的容器沿傾斜角α向下以勻加速度a直線運動，如圖3所示，分析AB曲面受力。

圖3 傾斜面上勻加速直線運動流體

此時，由于流體存在與運動方向相反的虛構慣性力，其單位質(zhì)量力分力fx和fz分別為

與圖1相比，容器中液體的單位質(zhì)量力不僅具有x方向分量acosα，在y方向上還增加了一個分量asinα，依據(jù)文獻[1]，其等壓面方程和靜壓強分布規(guī)律分別為

將式(8)進一步變換為式(2)的形式

由圖3可知，式中H同樣是鉛直淹沒深度。與式(2)相比，式(9)增加了(1?asinα/g)的乘項，該項反映了加速度鉛直分量所引起的重力加速度減小比例，其值小于1，被稱為失重系數(shù)[1]。而若加速向上運動，則會引起向下的慣性力，相當于重力加速度增加了，該乘項大于1，被稱為超重系數(shù)。

采用式(9)在AB面上積分即可計算該面的鉛直受力，其結果為

式中的積分項即圖中陰影部分體積，故該式仍然可以采用壓力體體積的幾何方法進行求解，只是加速度的鉛直分量改變了重力加速度而已。

5 結語

總之，無論液體作勻加速直線運動還是等角速旋轉運動，其壁面鉛直分力都可以像靜止液體一樣采用壓力體內(nèi)液體重量的方法來計算。只是當存在加速度鉛直分量時，等效于重力加速度發(fā)生了改變，這時需乘以失(超)重系數(shù)。力的方向采用“同側向下，異側向上”確定。需注意的是，自由液面分別變?yōu)閮A斜面和拋物面，同學們記憶傾斜面和拋物面的表達式即可。這樣計算就變得非常簡便了。

教學中先采用積分方法求解，然后引導學生采用壓力體來計算，再輔以一些復雜壁面的習題，學生普遍能夠領略到壓力體求解方法的精妙之處，并且將靜力學中的鉛直分力計算方法統(tǒng)一記憶，也有助于提高學生的普遍掌握程度。