初高中數(shù)學(xué)教材研究

羅慧　惠小靜

摘 要：教材是教師教學(xué)的重要工具，也是學(xué)生獲得知識(shí)和技能的重要途徑，所以，學(xué)會(huì)分析教材對(duì)教師來(lái)說(shuō)尤為重要。本文以北師大版初高中教材中“三角函數(shù)”所在章節(jié)為例，從知識(shí)背景、教學(xué)功能、知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面分析初高中教材中知識(shí)的深淺銜接，希望能彌補(bǔ)當(dāng)前初高中數(shù)學(xué)教材中存在的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)銜接上的不足，進(jìn)而不斷修正和完善教材，進(jìn)一步促進(jìn)初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接與過(guò)渡，為教師完成數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接工作提供參考。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);教材銜接;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G420? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-624X（2021）32-0073-02

引? ?言

隨著教育的改革和教育理念的更新，教材也發(fā)生了很大的變化，教師不僅要奮戰(zhàn)在教學(xué)前線，還要注意到教材的變化。開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)前要認(rèn)真?zhèn)湔n，緊抓備教材這一重要環(huán)節(jié)，尤其對(duì)初高中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，三角函數(shù)作為高中學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，教師要抓住教材的整體性和層次性，把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)，在初中和高中分別根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平講授適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，同時(shí)注意教材的銜接和知識(shí)的深淺，以推動(dòng)學(xué)生不斷進(jìn)步。

一、教材的定義

狹義地講，教材的根本是相關(guān)學(xué)科的培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)，以此組織和編寫(xiě)的具有一定深度和廣度的知識(shí)和技能體系[1]。日本教育大學(xué)歡喜隆司教授對(duì)“教材”提出了廣義的定義：教材實(shí)際上是源于生活、科學(xué)、藝術(shù)、文化的各個(gè)領(lǐng)域，而后被有計(jì)劃地組織到一起，形成了一套完整的知識(shí)體系和能力體系[2]。隨著社會(huì)的發(fā)展和教育的改革，“教材”的定義不再是傳統(tǒng)的定義，它被賦予了新的意義，不只是簡(jiǎn)單地將定理、定義和法則呈現(xiàn)在書(shū)面上，而是把教材看作課堂上教師與學(xué)生聯(lián)系的紐帶，學(xué)生把教材上的知識(shí)當(dāng)作一個(gè)話題來(lái)討論，教師對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，使其進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和合作探究，并得出結(jié)論，進(jìn)而充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

二、知識(shí)背景分析

知識(shí)背景會(huì)一直滲透在學(xué)習(xí)和教學(xué)中，不管在歷史情境中還是現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，都會(huì)作用于學(xué)生，學(xué)生會(huì)更容易理解和掌握知識(shí)。了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展可以更深入地理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)和數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，更準(zhǔn)確、更靈活地把握數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)[3]。初高中數(shù)學(xué)所學(xué)的三角函數(shù)的根源都?xì)w于三角學(xué)，它本來(lái)的意思是“三角形的測(cè)量”，后來(lái)人們把關(guān)于三角形和其他圖形的研究，以及研究三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用的學(xué)科統(tǒng)稱(chēng)為三角學(xué)。初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題，如測(cè)量哪個(gè)梯子更陡、山坡的坡度等問(wèn)題，讓學(xué)生從實(shí)際生活中體會(huì)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。高中則站在函數(shù)的角度來(lái)學(xué)習(xí)，與單位圓相聯(lián)系，在單位圓內(nèi)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但教材中并未體現(xiàn)這樣研究的意義?！叭呛瘮?shù)”一章先由自然界中的周期現(xiàn)象引出周期函數(shù)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)是周期函數(shù)，周期函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的函數(shù)模型。

學(xué)生最終會(huì)走向社會(huì)，所以數(shù)學(xué)教材中還要引導(dǎo)學(xué)生了解相關(guān)的社會(huì)應(yīng)用，使學(xué)生可以從教材中獲取數(shù)學(xué)建模的素材，更廣泛地了解教學(xué)內(nèi)容的意義和價(jià)值。當(dāng)今世界應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)之一就是初中學(xué)習(xí)的直角三角形中邊角的關(guān)系，銳角三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有很大的應(yīng)用價(jià)值，可以解決很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，如人們常常遇到的距離、高度、角度等測(cè)量問(wèn)題，一般情況下，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系都可以歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系問(wèn)題。高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是一類(lèi)重要的周期函數(shù)，也是一類(lèi)基本的初等函數(shù)，它的應(yīng)用更加廣泛，可以應(yīng)用于天文測(cè)量、大地測(cè)量、機(jī)械制造、工程測(cè)量、光學(xué)、電學(xué)、力學(xué)、地球物理學(xué)及圖像處理等眾多學(xué)科和領(lǐng)域。

從知識(shí)的發(fā)生、應(yīng)用兩方面來(lái)看，北師大版初高中數(shù)學(xué)教材非常注重整體性，也非常關(guān)注學(xué)生的接受能力，初中學(xué)生在簡(jiǎn)單的測(cè)量角度、高度的情境中學(xué)習(xí)函數(shù)，高中學(xué)生繼續(xù)在函數(shù)的大背景下學(xué)習(xí)，能夠了解相關(guān)背景知識(shí)與情境，將前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，銜接比較順暢。

三、教學(xué)功能分析

通過(guò)對(duì)初中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握了銳角三角函數(shù)的概念，可以用自己的理解結(jié)合例子來(lái)進(jìn)行闡釋。教師指引學(xué)生經(jīng)歷直角三角形邊與角的關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值的探究過(guò)程，學(xué)生在動(dòng)腦思考的時(shí)候，逐漸養(yǎng)成了主動(dòng)思考的習(xí)慣，同時(shí)拓展了自己的思維[4]。教材還要求學(xué)生使用計(jì)算機(jī)求已知角的三角函數(shù)值，或者已知三角函數(shù)值求出角的度數(shù)，著重學(xué)習(xí)直角三角形，學(xué)生要熟練掌握在直角三角形內(nèi)求邊長(zhǎng)、角的大小或三角函數(shù)值，并將其應(yīng)用于解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。在此過(guò)程中，學(xué)生能學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，將所學(xué)的知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，提高解決問(wèn)題的能力。由于三角函數(shù)本身的獨(dú)特性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)體會(huì)到數(shù)與形結(jié)合的思想，這有助于發(fā)展他們的幾何直觀思維。

高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容會(huì)有一定的難度，因?yàn)樗扔泻瘮?shù)知識(shí)的延伸，又有三角知識(shí)的拓展，為學(xué)生今后參加科學(xué)研究和社會(huì)生產(chǎn)奠定基礎(chǔ)，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何、解析幾何、物理和其他學(xué)科的前提。通過(guò)從周角到任意角的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的發(fā)展和教材的層次性，又以弧長(zhǎng)公式為切入點(diǎn)，引出弧度制，并學(xué)會(huì)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí)后，學(xué)生借助單位圓在直角坐標(biāo)系中學(xué)習(xí)三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，并能用初中已知的特殊函數(shù)值畫(huà)出這些三角函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的一般性質(zhì)探究三角函數(shù)的性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值）。此外，由于單位圓具有對(duì)稱(chēng)性，學(xué)生可以利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（正弦、余弦、正切）。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是函數(shù)的進(jìn)一步提升，為學(xué)生后面的幾何學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，并能讓學(xué)生結(jié)合前面的學(xué)習(xí)更加深刻地理解函數(shù)思想，以及在單位圓內(nèi)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，了解動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，進(jìn)而深化學(xué)生的幾何思想。

從知識(shí)價(jià)值來(lái)看，初中到高中的知識(shí)逐漸變難，但教材在初中做了一定的鋪墊，為高中的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。在能力價(jià)值方面，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)了學(xué)生一定的探究能力和邏輯思維，高中知識(shí)相對(duì)難以理解，需要學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)，加深記憶，進(jìn)一步培養(yǎng)自己探究的思維，從而養(yǎng)成主動(dòng)思考的良好習(xí)慣[5]。最后，學(xué)生的思想有了一定的提升，初中數(shù)學(xué)銳角三角形和直角三角形的知識(shí)讓學(xué)生在簡(jiǎn)單的圖形中感受數(shù)形結(jié)合的思想;高中數(shù)學(xué)在單位圓內(nèi)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，也讓學(xué)生充分感受函數(shù)思想和幾何動(dòng)態(tài)思想，進(jìn)而使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到了明顯提升。

四、知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

北師大版初中數(shù)學(xué)教材將三角函數(shù)編訂在九年級(jí)下冊(cè)第一章“直角三角形的三邊關(guān)系”中，下分六個(gè)小節(jié)，初中生比較容易掌握。高中教材將其編在必修四的第一章“三角函數(shù)”中，共有九個(gè)小節(jié)，有的小節(jié)還會(huì)細(xì)分，由此可以看出三角函數(shù)在高中教材中占據(jù)重要的地位。以下是北師大版初高中教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖1）。

從圖1中可以看出，初中的知識(shí)少且很簡(jiǎn)單，而高中三角函數(shù)的知識(shí)難且復(fù)雜。初中只學(xué)習(xí)了0°～ 360°的角，如銳角、直角和鈍角等;高中需要深入地研究這種以角度為自變量的函數(shù)，所以對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)大，補(bǔ)充了正角、負(fù)角、零角的概念，還可以像擰螺絲一樣無(wú)限旋轉(zhuǎn)，形成任意角。學(xué)生之前學(xué)習(xí)過(guò)一種度量角的方法，以周角為一個(gè)單位，稱(chēng)為1度角，其他角的大小就可以用它去度量，這種方法采用的是60進(jìn)制，它在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)會(huì)帶來(lái)不便，所以在高中引入了弧度制。由弧長(zhǎng)公式度量和計(jì)算得出，同樣的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為該角的弧度數(shù)，在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角稱(chēng)為1弧度角，由此引出弧度制，統(tǒng)一了角度與長(zhǎng)度的單位，有助于一些函數(shù)問(wèn)題的表示與研究。

在初中，借助直角三角形學(xué)習(xí)了銳角α的三角函數(shù)，高中教材中直接給出圖形和問(wèn)題，將三角函數(shù)放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行學(xué)習(xí)，并利用單位圓分別研究任意角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。但教材中沒(méi)有指出直角坐標(biāo)系、單位圓與三角函數(shù)為什么可以聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生只是機(jī)械地學(xué)習(xí)，所以教師在備課時(shí)應(yīng)注意這一點(diǎn)，了解清楚后教授給學(xué)生，否則，即使學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)，也不能清楚地解釋什么是三角函數(shù)。

結(jié)? ? 語(yǔ)

總之，教材是教學(xué)的重要手段，教師在備課時(shí)要深入研究教材，掌握知識(shí)的產(chǎn)生背景和在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及前后知識(shí)的聯(lián)系，還要選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ鞔_教學(xué)給學(xué)生帶來(lái)的價(jià)值。筆者經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，初高中教材中的三角函數(shù)整體上比較銜接，符合教材的層次性、整體性和等級(jí)性，但通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)分析得出，三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)在初中階段分布過(guò)少，可以適當(dāng)?shù)貙⒔堑母拍畹耐茝V和弧度制放在初中學(xué)習(xí)，以此減少學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的壓力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]陳晨. 基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的實(shí)踐研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2020.

[2]謝金芮. 初高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)銜接研究[D].重慶：西南大學(xué)，2014.

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[4]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)（2017）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[5]王克誠(chéng).核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)學(xué)科初高中銜接教學(xué)探索[J].名師在線，2019（30）：50-51.

作者簡(jiǎn)介：羅慧（1998.5—），女，陜西延安人，在讀研究生。

惠小靜（1973.6—），女，陜西清澗人，教授。