畫圖法在解決問題中的運用

吳娜玲

摘 要：解決問題貫穿整個數(shù)學學習過程，解決問題包含的信息多、綜合性強，而小學生的具象思維占主體地位，對題意的理解、有用信息的提取存在一定的難度，通過畫圖可以幫助學生理解題意、分析數(shù)量關系，有利于培養(yǎng)學生的應用意識，使學生更好地解決問題，但不同的題目適用不同的畫圖方法，要求學生在學習過程中善于積累、善于歸納，這樣才能做到心中有“圖”，才能巧妙應用畫圖法解決各種問題。

關鍵詞：解決問題;畫圖法;解題方法

數(shù)學是一門邏輯性、抽象性和應用性很強的學科，解決問題是數(shù)學學科的重要部分。小學生分析問題的能力較弱，對問題的解決感覺到困難，尤其遇到比較難解決的問題時，學生如何正確分析理解數(shù)學信息，總結數(shù)學方法呢？其實可以通過畫圖法幫助理解題意，把問題直觀化，這樣既簡明又快捷。教材也一直滲透著畫圖解決問題的方法，如低年級的課本中有各種主題圖、插圖等，直觀的課本主題圖可以幫助低年級學生更好地理解題意。到了高年段后，解決問題蘊含的知識點更多，綜合性更強了，但學生可以把問題的有用信息提取出來，嘗試著用畫圖來幫助理解數(shù)量關系，把問題轉化為直觀的示意圖。我相信，解決問題肯定事半功倍。

畫圖法對問題的解決如此重要，不同的題型適用不同的畫圖法，要善用畫圖法，才能巧解問題，以下與大家談談幾個用畫圖法來解決問題的常見例子。

一、多用線段圖，解決行程問題

“行程問題”是小學解決問題的重點部分，雖然行程問題在生活中經(jīng)常遇到，但對學生來說只是初步感知，很少系統(tǒng)的學習，因此對行程問題比較難以把握。在行程問題中，最典型的畫圖法就是線段圖。例如：小紅的速度60米/分，小蘭的速度50米/分，兩人同時從家出發(fā)相向而行，5分鐘后擦肩而過又相距40米，兩家相距多少米？在筆者所任教的班級，一個班47名學生，本題正確率是68.1%，提示學生畫線段圖幫助解決問題后，正確率提升到87.2%，這深刻體現(xiàn)了畫圖策略的實際價值。

講述時，學生說了兩種方法，分別是圖1與圖2，圖1著重引導學生理解重復的部分要減掉，圖2著重引導學生理解兩段拉開后相連多了一個40，因此要減去40，在說題過程中，學生把整個過程一步步用畫圖表示出來，通過線段圖，學生突破了難點：為什么要減40。由此可見線段圖在解決行程問題中的作用。小學生思維受具體事物支持，借助畫圖，通過圖與文字的結合，將學生頭腦中的資源與眼前的畫面產(chǎn)生聯(lián)系，使學生對整體中的各個重要部分及其關系的把握一目了然，可以促進學生知識生成，提高學習能力。

二、善用立體圖，解決圖形幾何問題

圖形幾何是小學的重要組成部分，五年級下冊的長方體與正方體的認識這一單元，知識點不多，但解決問題的知識點考查方式卻有很多的變化，學生經(jīng)常感到混亂，無法掌握，若能畫出立體圖，把各個數(shù)據(jù)標出，整個題目會更直觀、形象。例如：一個長方體鋼材，從上面截下一個高是3厘米的長方體后，剩下一個正方體，正方體的表面積比原來長方體的表面積減少了48平方厘米，求原來長方體的體積。本題的正確率很低，47名同學只有2名同學做對，學生普遍表示對題意的理解存在困難，而對學生來說，畫出準確的長方體也有一定的困難，因此我鼓勵學生在草稿紙上畫出立體圖，即使是不那么準確的立體圖也可以，主要是幫助理解題意，理清現(xiàn)在的正方體和原來的長方體之間的聯(lián)系，立體圖可以直觀體現(xiàn)出缺少的表面積其實就是被切下來的長方體的4個側面，既然切割完后的立體圖形是正方體，說明原來的長方體是上下面為正方形的長方體，所以這四個面面積相等，就用48÷4=12（平方厘米），12÷3=4（厘米），原來的長方體的長等于4厘米，寬等于4厘米 ，高等于4+3=7厘米，所以體積就可以用4×4×7算出來。

小學生的空間感較差，通過畫圖可以幫助培養(yǎng)學生空間想象能力，教材也是這樣做的。觀察六年級數(shù)學課本上圓柱體積公式的推導過程，也可以發(fā)現(xiàn)畫立體圖形的妙處，從課本上的立體圖形我們很容易看出圓柱的底面半徑等于長方體的寬，圓柱的高等于長方體的高，圓柱的底面周長的一半等于長方體的長，這樣通過轉化可以由長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式，諸如此類的題目，如果沒有通過畫圖來直觀體現(xiàn)數(shù)量之間的關系，而是單純記憶公式解題，就如囫圇吞棗，知其然而不知其所以然。

三、巧用示意圖，解決雞兔同籠問題

大約一千五百年前，我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中就記載了一個有趣的問題——“雞兔同籠”問題。[1]“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”本題的數(shù)據(jù)比較大，因此，在研究過程中我們一般把數(shù)據(jù)換小，便于尋找規(guī)律。例如，雞兔同籠，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？這里還隱含著常識：雞有2只腳，兔子有4只腳，在探究前，先讓學生仔細審題，讀懂所給條件和隱藏條件再進行思考。這道題有兩個未知數(shù)，雞和兔的只數(shù)都不知道，問題難度較大，畫圖時，可以畫八個圓當作動物的頭，畫小豎線當作動物的腳。假設這8只都是雞，每只雞畫上2只腳。畫完后發(fā)現(xiàn)只有16只腳，但題目中說的是26只腳，還差10只，這時再給一只雞畫上2只腳，發(fā)現(xiàn)還要在5只雞上各畫2只腳，這樣有4只腳的雞其實就是兔子。所以結論是兔有5只，雞有3只。[2]同樣的，也可以把這8只動物全當成兔，這樣給每只兔畫上4只腳，這樣就有32只腳，比題目中的26多了6只腳，這6只就是把3只雞當成了兔，每只多算了兩只腳。結論也是兔有5只，雞有3只。

雞兔同籠屬于數(shù)學廣角的一個內(nèi)容，數(shù)學廣角意在傳遞數(shù)學思想，這對學生來講是一個難點，通過畫圖法學生能更好地理解假設法，突破難點，從而解決雞兔同籠問題。同樣，也能采用畫圖法解決數(shù)學廣角中的其他題目，例如“搭配問題”“植樹問題”等，學生要大膽地把題目轉化成示意圖，多實踐、多操作，才能加深對數(shù)學廣角知識的理解，更好地把握數(shù)學思想。

四、活用集合圖，解決容斥問題

集合圖，也是畫圖法中常見的一種，對容斥問題的解答有出奇制勝的功效。例如：六（2）班學生45人，其中參加數(shù)學興趣小組的有20人，參加語文興趣小組的有18人，兩組都沒參加的有10人，有幾個人既參加語文興趣小組，又參加了數(shù)學興趣小組？這個題目有好幾個數(shù)據(jù)，又有交集與并集的知識在里面，我們要懂得用集合圖解決此類解決問題。從集合圖發(fā)現(xiàn)總共有18+20+10=48人，比45人多了3人，并且有一部分是兩個集合共有的。比總人數(shù)多了的3人，就是這共有的部分計算了兩次，也就是既參加語文又參加數(shù)學的學生被多算了一次，因此比總人數(shù)多的那部分就是既參加語文又參加數(shù)學的學生。原本無從下手的題目，通過集合圖的呈現(xiàn)，直觀出示了重復的那部分學生，數(shù)據(jù)之間的關系一目了然，簡單易懂。

在課堂中，教師要引導學生利用畫圖來幫助理解題意，理清數(shù)量關系，從而列出式子解答問題。解答解決問題要循序漸進，以畫圖為方法，把抽象復雜的問題轉化為形象簡單的數(shù)量關系，教學過程科學有效，同時也能充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓他們?nèi)フf、去聽、去畫、去寫、去想，多感官學習數(shù)學。但要注意的是，畫圖是幫助學生理解數(shù)量關系，從而解決問題的，它不是一幅美術作品，而且在平時練習，尤其是考試當中，時間是十分寶貴的，因此要盡量讓畫圖簡化快捷，走“簡筆畫”路線，這樣可以節(jié)省時間，更具有實際意義。當然解決問題的題型還有很多，不同的題型可以選用不同的畫圖法，這就要求學生善于積累、善于歸納，這樣才能做到心中有“圖”，才能在遇到難題時能夠自如地選用適當?shù)漠媹D法來幫助解答。

參考文獻：

[1]楊忠.關于“雞兔同籠”問題的思考[J].教育實踐與研究（A），2013（6）.

[2]吳良標.淺談“雞兔同籠”中的一題多解[J].中小學數(shù)學（小學版），2011（z2）.