差分序列空間l_p上Wigner’s定理的證明

趙順心

【摘要】Wigners 定理：任何對稱變換都可以由復Hilbert空間上的線性和酉或反線性和反酉的算子來表示.關于賦范空間上該定理的證明已經(jīng)相對完善.如果滿映射f滿足函數(shù)方程

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X），（1）

我們稱其是滿足相位等距的.本文是將X限定為lp差分序列空間，證明存在這樣的相位函數(shù)使得滿足相位等距的條件可以相位等價于一個線性映射.

【關鍵詞】Wigners定理，相位等價，線性等距

一、引 言

在物理量子力學的研究中，Wigners定理的運用起著基礎性作用.事實上，關于Wigners定理的嚴格性詳細證明并不是由Wigner自己給出的，第一次關于該定理的證明是1960年Lemout在文獻[2]中給出的;1990年，Sharma和Almeida在文獻[3]中關于定義在內(nèi)積空間上的雙射給出了基本的Wigners定理的證明.最近，關于非雙射的Wigners定理的簡短證明在文獻[5]中給出.

X，Y作為賦范空間，如果映射f滿足下面等式

‖f（x）-f（y）‖=‖x-y‖（x，y∈X），

那么映射f是等距的.在文獻[6]中MazurUlam定理推導證明在X，Y空間中每一個滿等距都是一個仿射.如果存在一個函數(shù)λ：X→{-1，1}，使得λf是線性等距的，我們稱映射f：X→Y是相位等價于一個線性等距的，在內(nèi)積空間中證得上述命題是成立的.2012年，Maksa和Páles在文獻[4]中證明了映射f在實內(nèi)積空間中滿足下面條件

{‖f（x）+f（y）‖，‖f（x）-f（y）‖}={‖x+y‖，‖x-y‖}（x，y∈X）

的解，但是，如果X和Y是其他的賦范空間或者賦準范空間呢？譚和黃在文獻[1]中關于lp空間給出了肯定回答.在這篇文章中，我們主要是在lp差分序列空間上研究該結果，最后證得在該空間上能夠使得滿映射相位等價于一個線性等距映射，這也可以看作 lp空間上Wigners定理的推廣形式.

【參考文獻】

[1]D.N.Tan.Wigners theorem in atomic Lpspaces （p>0）[M].2017.

[2]J.S.Lomont，P.Mendelson，The Wigner unitrayantiunitary theorem，Ann[M].Math，1963（78）：548-559.

[3]C.S.Sharma，D.F.Almeida，A direct proof of Wigners theorem on maps which preserve transition probabilities between pure states of quantum systems[M].Annals of Physics，1990（02）：300-309.

[4]G.Maksa，Z.Páles.Wigners theorem revisited[M].Publ.Math.Debrecen，2012，81（1-2）：243-249.

[5]M.Gyory.A new proof of Wigners theorem[M].Rep.Math.Phys，2004（54）：159-167.

[6]S.Mazur，S.Ulam.Surles transformations isometriques despaces vectoriels normes[M].C.R.Math.Acad.Sci.Paris，1932.

[7]R.E.Powell，S.M.Shah.Summability Theory and Its Applications[M].Van Nostrand Reinhold Company，London，1972.