等價(jià)無窮小代換中含加減因式求極限的思考

徐清華 王瑞星 趙清波 吳克堅(jiān) 劉爍

【摘要】本文用泰勒公式討論了加減因式不可以直接使用等價(jià)無窮小替換的原因，并給出加減因式使用等價(jià)無窮小替換應(yīng)滿足的條件.

【關(guān)鍵詞】等價(jià)無窮小;函數(shù)極限;泰勒公式

在高等數(shù)學(xué)00型不定式求極限的眾多方法中，等價(jià)無窮小代換無疑是個(gè)很好的工具，它在很大程度上簡化了極限的運(yùn)算，再結(jié)合洛必達(dá)法則，往往能達(dá)到事半功倍的效果.但對于初學(xué)者來說，在使用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)很容易出錯.在目前使用的教材[1][2]中，都是直接給出乘除因式用等價(jià)無窮小代換的定理（本文中以引理敘述），并用例子指出加減因式不可以直接使用等價(jià)無窮小代換.但是為什么加減因式不可以用無窮小代換，在什么情況下可以使用卻沒有進(jìn)一步解釋.這讓很多愛思考的學(xué)生特別困惑.文獻(xiàn)[3][4][5]中都提出了加減因式在滿足條件：加減項(xiàng)不是等價(jià)無窮小時(shí)，可以使用等價(jià)無窮小代換.但對為什么不可以直接用無窮小代換都沒有給出解釋.本文從泰勒公式的角度分析了原因，并且重新證明了加減因式使用等價(jià)無窮小代換的定理.

引理[1] 設(shè)在自變量的同一變化過程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，則有l(wèi)imf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x）.

例1 求極限limx→0tan x-sin xsin 32x.

錯解 當(dāng)x→0時(shí)，tan x～x，sin x～x，所以

limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→0x-xsin 32x=0.

上述的錯誤解法對于初學(xué)者來說經(jīng)常會遇到.錯誤原因在于，當(dāng)x→0時(shí)，錯誤使用了上述引理，認(rèn)為tan x-sin x～x-x，事實(shí)上，tan x-sin x～12x3.例1的正確解法是：

解 當(dāng)x→0時(shí)，tan x～x，sin 2x～2x，1-cos x～12x2，

tan x-sin x=tan x（1-cos x）～12x3，所以limx→0tan x-sin xsin 32x=limx→012x3（2x）3=116.

從上面例子中可以看出，求00型函數(shù)極限時(shí)，乘除因式可以直接應(yīng)用等價(jià)無窮小代換來計(jì)算，但是加減因式不可以直接使用無窮小代換，要先轉(zhuǎn)換為乘積形式才可以使用，也就是分子、分母要整體代換.下面利用泰勒公式分析其原因.

定理1[2] （泰勒中值定理）如果函數(shù)f（x）在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么存在x0的一個(gè)鄰域，對于該鄰域內(nèi)的任意x，有

f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f″（x0）2?。▁-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+o（x-x0）n.

上面展開式稱為n階泰勒公式.當(dāng)x0=0時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

按照上述公式，函數(shù)sin x，tan x在x0=0時(shí)的泰勒展開式為

sin x=x-x33！+x55！+o（x5），tan x=x+x33+2x515+o（x5）.

當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)的泰勒展開式中起決定作用的是第一項(xiàng)，即x的一次冪，其余都看作x的高階無窮小.于是就有當(dāng)x→0時(shí)，sin x～x，tan x～x.因此，等價(jià)無窮小其實(shí)是泰勒展開式在x→0時(shí)的簡化情形，只取了泰勒展開式的第一項(xiàng)，后面都被當(dāng)作高階無窮小忽略了.但是，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算后，會導(dǎo)致這兩個(gè)函數(shù)泰勒展開式中第一項(xiàng)的抵消，例如，tan x-sin x=x+x33+2x515+o（x5）-x-x33！+x55！+o（x5）=x32+o（x3）.

從上式可以看出，函數(shù)sin x和tan x的泰勒展開式相減后，原來起決定作用的第一項(xiàng)被抵消了，這時(shí)候如果依然把后面的展開項(xiàng)當(dāng)作高階無窮小忽略，就會產(chǎn)生原則性錯誤，如上述例1中tan x-sin x～x-x就是這樣的原因產(chǎn)生的錯誤.事實(shí)上，當(dāng)sin x和tan x泰勒展開式的第一項(xiàng)被抵消后，后一項(xiàng)x3開始起決定作用.因此，當(dāng)x→0時(shí)，tan x-sin x～12x3.

那么什么時(shí)候加減因式可以使用等價(jià)無窮小代換呢？我們有下面的定理.

定理2 設(shè)在自變量的同一變化過程中，f1（x）～g1（x），f2（x）～g2（x），且limg1（x）g2（x）存在，limh（x）=0.

若 limf1（x）f2（x）存在且不為1，并且limg1（x）-g2（x）h（x）存在，則

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

若 limf1（x）f2（x）極限存在且不為-1，并且limg1（x）+g2（x）h（x）存在，則

limf1（x）+f2（x）h（x）=limg1（x）+g2（x）h（x）.

證明 當(dāng)limf1（x）f2（x）極限存在且不為1時(shí)，

limf1（x）-f2（x）h（x）=limf1（x）-f2（x）g1（x）-g2（x）·g1（x）-g2（x）h（x）

=limx→x0f2（x）f1（x）f2（x）-1g2（x）g1（x）g2（x）-1·g1（x）-g2（x）h（x）

=limf2（x）g2（x）·limf1（x）f2（x）-1g1（x）g2（x）-1·limg1（x）-g2（x）h（x）.

由引理有l(wèi)imf1（x）f2（x）=limg1（x）g2（x），于是有

limf1（x）-f2（x）h（x）=limg1（x）-g2（x）h（x）.

類似地，可證明limf1（x）f2（x）極限存在且不為-1的情形.

定理2表明，加減因式可以使用等價(jià)無窮小代換，但是要滿足一定的條件.這也可以從泰勒展開式的角度來進(jìn)一步解釋，當(dāng)limf1（x）f2（x）≠1時(shí)，函數(shù)f1（x）與f2（x）的泰勒展開式的第一項(xiàng)不相同，兩個(gè)函數(shù)相減沒有消掉泰勒展開式的第一項(xiàng)，所以有f1（x）-f2（x）～g1（x）-g2（x）.同樣，當(dāng)limx→x0f1（x）f2（x）≠-1時(shí)，函數(shù)f1（x）與f2（x）的泰勒展開式的第一項(xiàng)不互為相反數(shù)，兩個(gè)函數(shù)相加沒有消掉泰勒展開式的第一項(xiàng)，因此，f1（x）+f2（x）～g1（x）+g2（x）.

上述例1中，由于limx→0tan xsin x=1，不滿足定理2的條件，所以不能直接使用等價(jià)無窮小代換.

例2 求極限limx→0tan 2x-sin xx.

解 當(dāng)x→0時(shí)，tan 2x～2x，sin x～x，且limx→0tan 2xsin x=limx→02xx=2≠1，所以由定理2有，limx→0tan 2x-sin xx=limx→02x-xx=1.

例3 求極限limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2.

解 當(dāng)x→0時(shí)，arcsin 3x2～3x2，sin 2x2～2x2，且limx→0arcsin 3x22x2=limx→03x22x2≠1，

limx→0sin 2x23x2=limx→02x23x2≠1，所以由定理2，

limx→0arcsin 3x2-2x23x2+sin 2x2=limx→03x2-2x23x2+2x2=15.

在現(xiàn)行的教材中，為了避免使用錯誤，直接規(guī)定：使用等價(jià)無窮小代換計(jì)算00型極限時(shí)，必須是分子或者分母整體代換，加減因式必須轉(zhuǎn)換為乘積形式才可以代換.這樣的規(guī)定讓學(xué)生感到困惑，如果有了定理2，學(xué)生的困惑就會迎刃而解.另外，像上述例3，分子或者分母都很難轉(zhuǎn)換為乘積形式，如果使用洛必達(dá)法則，計(jì)算則很煩瑣.但是，如果使用定理2的結(jié)論，類似例3這樣的極限問題的計(jì)算就會簡便很多.因此，在實(shí)際教學(xué)中，可以把定理2的結(jié)論引入課堂，給學(xué)有余力的同學(xué)更多思考的空間，讓不定式的極限計(jì)算更加簡便.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙清波.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：第3版[M].西安：第四軍醫(yī)大學(xué)出版社，2014.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]趙瓊.用等價(jià)無窮小代換求極限的兩個(gè)誤區(qū)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（05）：17-18，21.

[4]郭欣紅.等價(jià)無窮小代換在含有和差運(yùn)算式中的應(yīng)用[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018（03）：26-29.

[5]冉金花.用等價(jià)無窮小替換求極限使用條件的探討[J].科技資訊，2019（27）：222-223.