銷接式索夾懸索橋成橋線形的高精度計算方法

羅凌峰，單德山，陳奉民，陳品詣

(1. 西南交通大學土木工程學院，成都610031；2.重慶市交通規(guī)劃勘察設(shè)計院有限公司，重慶 401121)

懸索橋因其主纜和吊索呈柔性，展現(xiàn)出強烈的幾何非線性行為[1]。理想成橋狀態(tài)的懸索橋結(jié)構(gòu)在恒載作用下應滿足“塔直梁平”要求[2]，且中跨主纜的跨中垂點應滿足設(shè)計標高[3]?！八薄笔侵钢魉?nèi)不存在剪力，且塔頂主索鞍兩側(cè)主纜水平力相同；“梁平”是指主梁線形平順，連接吊索的主梁錨點在恒載作用下處于設(shè)計位置且無下?lián)蟍4]。

以往學者對于求解懸索橋成橋狀態(tài)已做了許多研究，該非線性問題的求解方法可主要分為兩類：有限元法[4?6]和數(shù)值迭代法[7?13]。

有限元法通常以主纜跨中垂點高程為收斂目標，對懸索橋模型纜索單元的節(jié)點位置和初始內(nèi)力進行反復迭代，直至滿足收斂目標時停止計算。然而，建立懸索橋有限元模型時由于無法準確確定主纜在索鞍上的切點位置，因此難以準確模擬索鞍與主纜的接觸狀況，得到的主纜無應力長度與吊索鋼絲下料長度很難達到設(shè)計精度需求。因此通常將有限元法作為近似方法，用于結(jié)構(gòu)驗算。

數(shù)值迭代法根據(jù)相鄰索夾間各主纜分段在自重作用下呈懸鏈線的特點，采用分段懸鏈線方程[7]推算懸索橋的構(gòu)型，該方法需已知成橋吊索力，根據(jù)主梁架設(shè)方法采用有限位移理論[4,7,11]易確定吊索力。唐茂林等[7]首次提出了懸索橋成橋找形的分段懸鏈線方法，該方法考慮了索鞍影響但未給出具體計入方式。羅喜恒[8]詳述了將索鞍與主纜的相切狀況計入懸索橋找形過程的方法，但未考慮索鞍與主纜間的摩擦影響。為了實現(xiàn)懸索橋的精確找形分析，李傳習等[9]將單圓曲線索鞍位置計算的分離計算法推廣到復合圓曲線索鞍位置的計算，完善了散索鞍與主纜相切狀態(tài)方程；王邵瑞等[10]則推導了主索鞍與主纜的相切狀態(tài)方程。Cao等[11]將吊索無應力長度自適應地計入懸索橋找形求解，但該方法沒有考慮索鞍與主纜的接觸狀況，并且未計入索夾對吊索長度的影響。

在上述研究的基礎(chǔ)上，筆者針對其不足之處提出了懸索橋成橋找形的高精度數(shù)值迭代法。該方法考慮了主纜與索鞍間的相切接觸狀況與摩擦影響，并將銷接式索夾對主纜和吊索的影響自適應地計入分段懸鏈線方程中，構(gòu)造并求解纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)，最終為懸索橋的精確設(shè)計提供了解決方案。

1 計算方法

1.1 基本假定

1)主纜和吊索是小應變的線彈性理想柔性索，忽略其彎曲剛度影響，滿足虎克定律；

2)實際工程中，懸索橋成橋時主塔中心線與塔頂主索鞍上主纜圓弧段的交點恰好是主纜固定點，該固定點也是中跨與邊跨的分界點[12]；

3)實際工程中，懸索橋成橋時散索鞍(僅討論常用的擺軸式散索鞍)轉(zhuǎn)點與鞍槽內(nèi)主纜固定點的連線垂直于支承面(或與支承面夾角已知)，該固定點也是邊跨與錨跨的分界點[12]；

4)主索鞍鞍槽是單段圓?。簧⑺靼鞍安凼嵌喽螆A弧具有多個圓心，但邊跨主纜在首段圓弧上[3]。

1.2 懸索橋成橋線形分析

懸索橋結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)如圖1(a)所示，B、C是主索鞍，A、D是散索鞍，L1表示左邊跨主纜在A、B兩索鞍上切點間的水平距離；L2表示中跨主纜在B、C兩索鞍上切點間的水平距離；L3表示右邊跨主纜在C、D兩索鞍上切點間的水平距離。如圖1(b)所示，根據(jù)恒載作用下懸索橋結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布情況可知，主纜位于各索夾及其吊索的上方，主梁位于其下方；根據(jù)主梁架設(shè)方法采用有限位移理論容易確定各吊索下端拉力Ri，再將Ri作為數(shù)值分析的輸入，采用分段懸鏈線方程迭代求解纜索系統(tǒng)。Ni表示吊索上端拉力，受吊索自重影響，有Ni>Ri。

圖1 懸索橋結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch of a suspension bridge structure

當懸索橋處于理想成橋狀態(tài)時，主塔不應承受剪力作用，所以中、邊跨內(nèi)任意主纜索段內(nèi)力的水平分量H都相等，應先求解中跨纜索系統(tǒng)得到H，再將其作為已知量求解邊跨纜索系統(tǒng)。因此懸索橋成橋狀態(tài)的數(shù)值求解按先中跨、后邊跨進行，最終得到設(shè)計所需的主纜無應力長度、索夾中心(即主纜分點)坐標、索夾傾角、索鞍切點位置、吊索鋼絲下料長度。由于IP點已知、鞍座位置未知的情況研究已較成熟[5?7,10 ?11]，故本文僅討論鞍座位置給定的情況[3,8]：即先假定主纜一端切點處的張力，再以主纜與另一端鞍座相切(中跨主纜還應考慮跨中垂點標高)為收斂條件，迭代求解纜索系統(tǒng)[3]。

1.2.1主纜及其兩端索鞍分析

(xL,yL)和(xR,yR)分別表示一跨主纜與其左右兩端索鞍的切點坐標，主纜懸鏈線段和主纜圓弧段在切點處相連。切點應滿足主纜圓弧段的形狀方程：

式中：w為沿主纜無應力長度的均布自重荷載，為已知常量；Si(i=1,2,···,2n)為各主纜分段的無應力長度；Vi(i=1,2,···,2n)為各主纜分段左端點處拉力的豎向分量，V1的大小為VL；各主纜分段跨度、高差與左端點坐標的換算關(guān)系為：

在一跨主纜的各分段中，X1、X2n是兩索鞍上主纜切點到端索夾的跨度，需根據(jù)切點坐標計算得到；其余主纜分段的跨度Xi(i=2,3,···,2n?1)均為索夾間距，是已知常量。由于左端索夾至左端索鞍固定點的跨度XL、右端索夾至右端索鞍固定點的跨度XR是已知常量，可得X1、X2n的表達式：

得到X1、X2n后，若能確定H、Vi的值，則式(4a)是關(guān)于Si的一元超越方程，求解該方程得到Si后，由式(4b)可得各主纜分段的高差Yi(i=1,2,···,2n)。此外，主纜各分點處的受力平衡關(guān)系滿足：式中，F(xiàn)i(i=1,2,···,2n?1)為各主纜分點(即索夾中心)處的集中力，故F1作用點的坐標為(x2,y2)。

任意中、邊跨的主纜及其兩端索鞍均可用式(1)～式(7)來描述。應注意，當橋梁構(gòu)型采用單跨簡支懸索橋時，邊跨主纜通常不設(shè)吊索；此外，當懸索橋邊跨設(shè)有吊索時，也并非所有主纜分點(即索夾中心)處都布置有吊索。因此，當某索夾處無吊索布置時，則式(7)中集中力Fi等于邊跨緊纜索夾的重量；當某索夾處設(shè)有吊索時，則式(7)中集中力Fi的大小還需通過分析索夾與吊索受力情況得到。

1.2.2 銷接式索夾及其吊索分析

各個索夾中心(即主纜分點)的高程和傾角決定了主纜線形，因此對于懸索橋的精確設(shè)計尤為重要；此外，還需根據(jù)索夾的幾何形狀確定準確的吊索鋼絲下料長度[14?15]。懸索橋吊索根據(jù)索夾構(gòu)造可分為銷接式和騎跨式，本文僅考慮采用銷接式連接的情況。銷接式索夾與吊索的幾何參數(shù)與受力分析如圖3所示，d1和d2分別是上端和下端錨頭內(nèi)的錨固長度；d3表示上端錨頭錨口至銷鉸中心的距離；d4表示下端錨頭錨口至主梁下錨面的距離；且d1、d2、d3、d4是吊索出廠時的已知幾何參數(shù)[16?17]。

圖3 銷接式索夾與吊索Fig.3 Pin-connected cableclamp and hanger system

b、ai、ci是銷接式索夾的幾何參數(shù)，三者恰好形成直角三角形的三個邊，其中b為已知常量。索夾傾角θi(i=1,2,···,2n?1)同樣也是直角邊b和斜邊ci的夾角，由幾何關(guān)系可知：

綜上所述，聯(lián)立式(8)、式(9)、式(11)、式(14)和式(15)可得關(guān)鍵控制方程：

1.2.3中、邊跨目標函數(shù)

求解中跨纜索系統(tǒng)時，應先確定切點坐標(xL,yL)和(xR,yR)；根據(jù)式(3)可知，當H、VL、VR的值已知時得以確定切點坐標，此時式(4a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于Si(i=1,2,···,2n)的一元超越方程，解得Si后，再由式(4b)可得各主纜分段的高差Yi(i=1,2,···,2n)。由于VL=|V1|且VR=|V2n+wS2n|，式(16)轉(zhuǎn)化為關(guān)于θi(i=1,2,···,2n?1)的一元超越方程；若V1已知，解方程式(16)可得θ1，再將θ1代入式(9)可得V2，依此循環(huán)直到解得θ2n?1、V2n為止，最終完成對中跨主纜各分段、各吊索內(nèi)力與構(gòu)形的遍歷計算，得到式(1)～式(16)中所有參數(shù)的值。為保證解得的懸索橋成橋狀態(tài)正確、唯一，應控制中跨纜索系統(tǒng)的收斂誤差em，根據(jù)中跨內(nèi)主纜形狀與主纜內(nèi)力的閉合條件可得其表達式為：

式中：y2n+1、yn+1、V2n、S2n可由H、VL、VR通過式(5)、式(9)和式(16)進行循環(huán)遍歷計算得出；yf是跨中垂點的設(shè)計高程，為已知常量。

求解邊跨纜索系統(tǒng)時，主纜內(nèi)力的水平分量大小H已經(jīng)算出，可作為已知量；此外，各索夾中心處不一定都設(shè)有吊索。因此，在循環(huán)遍歷求解過程中，由式(4a)和式(4b)得到Si和Yi后，應判斷該索夾中心處是否設(shè)有吊索：若設(shè)有吊索，則計算超越方程式(16)可得θi，再由式(9)得到Vi+1；若未設(shè)吊索，則根據(jù)式(7)可得Vi+1，此時式(7)中Fi等于Gi，再由式(9)得到θi；依此循環(huán)直至解得θ2n?1、V2n為止。根據(jù)邊跨內(nèi)主纜形狀與主纜內(nèi)力的閉合條件可得控制邊跨纜索系統(tǒng)的收斂誤差es為：

根據(jù)式(17)和式(18)，按收斂誤差構(gòu)造中、邊跨纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)，可得三元函數(shù)em=f(H,VL,VR)和二元函數(shù)es=g(VL,VR)。

1.2.4主纜無應力長度

如圖2所示，對任一跨內(nèi)的纜索系統(tǒng)(無論中跨或是邊跨)而言，該跨主纜無應力長度等于分段懸鏈線段與兩端圓弧段無應力長度之和。由文獻[10]的研究成果可知，主纜左端索鞍和右端索鞍上圓弧段無應力長度SL、SR的表達式為：

圖2 主纜與索鞍示意圖Fig.2 Sketch of the main cableand saddles

1.3 計算步驟

將中、邊跨纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)em=f(H,VL,VR)、es=g(VL,VR)構(gòu)造完成后，基于1.2節(jié)提及的所有已知常量，可采用優(yōu)化算法求解函數(shù)：即迭代更新函數(shù)自變量，直至收斂誤差em和es都趨于0為止。因此，懸索橋成橋找形的計算流程如圖4所示，由此可得式(1)～式(20)中所有參數(shù)的值。

1.4 函數(shù)求解

1.4.1優(yōu)化算法

本方法按照圖4所示流程，使用MATLAB完成纜索系統(tǒng)目標函數(shù)的構(gòu)造與求解過程。由于目標函數(shù)內(nèi)置循環(huán)計算，因此通過優(yōu)化算法求解纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)時，需要反復求解一元超越方程式(4a)和式(16)，采用零值搜索算法(MATLAB中的fzero函數(shù))可解決此問題。

圖4 懸索橋成橋找形的計算流程圖Fig.4 Flowchart of the proposed shape-finding calculation of suspension bridgesin the finished state

本方法采用Nelder-Mead 算法[19?20](MATLAB中的fminsearch 函數(shù))先后求解懸索橋中、邊跨纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)。該算法是基于單純形原理的直接搜索法，用于迭代求解無約束極小值問題。該算法在求解N元復雜函數(shù)時通過輸入的自變量迭代初值構(gòu)造一個具有N+1個頂點的單純形，各頂點在N維空間內(nèi)的坐標值恰好就是當前迭代步中函數(shù)的自變量值，然后在迭代尋優(yōu)過程中通過“標定”、“反射(ρ)”、“擴展(β)”、“收縮(γ)”和“折減(μ)”算子不斷搜索更新單純形的各頂點坐標；若某次迭代中該單純形存在一個頂點，頂點坐標對應的函數(shù)值滿足收斂條件，則計算結(jié)束。在本文計算中算法相關(guān)系數(shù)按慣例取為ρ=1、β=2、γ=0.5 和μ=0.5。

在每個迭代步中，Nelder-Mead 算法首先對當前單純形進行標定，也即是對N+1個頂點進行標號排序，標定完成后各頂點坐標Xj(j=1,···,N+1)的 目 標 函 數(shù) 值 應 滿 足 關(guān) 系：F(X1)<···

標定完成后，采用“反射”算子由式(22)得XR。

若F(XR)

若F(X1)≤F(XR)

若F(X N)≤F(XR)

若F(XR)≥F(X N+1)，則按式(25)對單純形進行“樸素收縮”操作：若F(XIC)

1.4.2迭代初值

式中：S0為中跨主纜無應力長度的近似值；w0為將中跨主纜等效為拋物線后的均布自重荷載；H0為目標函數(shù)f(H,VL,VR)中自變量H的迭代初值。

根據(jù)等效后中跨主纜的力學平衡關(guān)系可得：

2 實例驗證

如圖5所示，筍溪河大橋是典型的大跨地錨式懸索橋，主橋采用單跨660 m 簡支鋼桁加勁梁構(gòu)造。該橋纜索系統(tǒng)采用雙幅對稱布置，因篇幅限制，故僅列出單幅橋結(jié)果。

圖5 筍溪河大橋照片F(xiàn)ig.5 Photo of the Sunxi River Suspension Bridge

該橋主纜跨徑布置為215 m+660 m+268 m。中跨設(shè)有81對銷接式索夾及其吊索，端吊索到主塔中心線的間距為10 m，相鄰吊索間距為8 m；各吊索下端拉力Ri(i=1,2,···,81)如圖6所示，端吊索下端拉力R1=R81=976.232 kN，其余均為867.762 kN。左、右邊跨分別設(shè)有21對和27對緊纜索夾，無吊索布置。

圖6 吊索下端拉力RiFig.6 Forceson the lower anchoragesof hangers

如1.2節(jié)所述，所有索夾及中跨吊索非鋼絲部分的自重均已知；各索鞍上主纜圓弧段的半徑、固定點坐標和圓心坐標均已知；各跨徑內(nèi)相鄰索夾間距、端部索夾與主塔中心線的間距、端部索夾與散索鞍固定點的間距均已知。各跨纜索系統(tǒng)采用原點位置不同但高程相同的笛卡爾坐標系(建議按圖2所示將原點坐標設(shè)于纜索系統(tǒng)左下角的某點處即可)，以確保全橋高程的一致性。此數(shù)值算例中，該橋中跨跨中垂點的設(shè)計高程yf為122.555 m (按1985國家高程基準計則為668.668 m)，是重要的迭代收斂目標。主纜的彈性模量E=200 GPa，橫截面積Ac=0.1971 m2，均布自重荷載w=15.0818 kN/m。吊索鋼絲部分的彈性模量Eh=200 GPa，橫截面積Ah=0.0019 m2，均布自重荷載wh=0.155 kN/m。

2.1 不同優(yōu)化算法收斂能力的比較

在懸索橋成橋找形中，應先求解中跨纜索系統(tǒng)；若計算收斂，方可繼續(xù)求解邊跨纜索系統(tǒng)。求解目標函數(shù)f(H,VL,VR)是搜索無約束極小值的問題，無論采用何種優(yōu)化算法求解，其迭代初值均由式(26)～式(29)得到；然而，由于目標函數(shù)都是內(nèi)置循環(huán)計算和超越方程計算的多元復雜函數(shù)，采用最速下降法、共軛梯度法和牛頓型法等有導數(shù)優(yōu)化算法[19]求解時易遇到Jacobi 矩陣和Hessian 矩陣不正定或病態(tài)的情況，導致計算不收斂。筆者采用有導數(shù)優(yōu)化算法中具代表性的擬牛頓法求解筍溪河大橋中跨纜索系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)：當自變量的迭代步長已達10?9量級時，收斂誤差em仍停滯在101量級，計算不收斂，證明此類優(yōu)化算法不收斂的情況確實存在。

在眾多用于求解無約束最小值問題的無導數(shù)優(yōu)化算法[19]中，自適應網(wǎng)格算法(MADS)[19]和Nelder-Mead 算法[19? 20]是最具代表性的兩種。若采用MADS求解，當收斂誤差趨于0時，則計算收斂；當自變量的網(wǎng)格尺寸(MeshSize，類似于有導數(shù)優(yōu)化算法中自變量的迭代步長)已趨于0，而收斂誤差仍較大時則無法收斂。為了選取適合本方法的求解策略，筆者比較了兩者的收斂能力，結(jié)果如圖7所示。

圖7 兩種優(yōu)化算法的迭代收斂情況Fig.7 Convergence of two optimization algorithms

當MADS進行到第124次迭代時，網(wǎng)格尺寸已達10?13量級，收斂誤差em卻停滯于101量級，計算不收斂；Nelder-Mead 進行到第1166次迭代時，收斂誤差em趨于10?7量級，計算收斂。根據(jù)對上述不同優(yōu)化算法的比較分析結(jié)果，選取Nelder-Mead 算法作為本方法的求解策略。

2.2 設(shè)計值與計算值的比較

采用Nelder-Mead 算法，先求解筍溪河大橋中跨纜索系統(tǒng)，再求解邊跨纜索系統(tǒng)。計算收斂時累計耗時132 s，各跨纜索系統(tǒng)目標函數(shù)的求解結(jié)果如表1所示。

表1 目標函數(shù)的求解結(jié)果Table 1 Solution results of objective functions

為了驗證本方法的計算精度，將本文方法計算結(jié)果與該橋?qū)嶋H設(shè)計結(jié)果進行多組比較分析；設(shè)計院采用專業(yè)橋梁分析軟件TDV RM，通過建立精細化有限元模型盡可能地減小模擬誤差，以主梁錨點(即連接吊索的主梁節(jié)點)和中跨主纜跨中垂點的豎向位移均趨于0作為控制目標，應用考慮松弛因子的Newton-Raphson 方法進行非線性迭代計算得到該橋的實際設(shè)計結(jié)果。

圖8(a)和圖8(b)分別展示了該橋各銷接式索夾的索夾傾角θi(i=1,2,···,81)及其計算值與設(shè)計值的誤差結(jié)果。θi的計算值在[?20.375°, 22.210°]范圍內(nèi)，設(shè)計值在[?20.604°,21.955°]范圍內(nèi)，兩者的絕對誤差在[0.206°, 0.255°]范圍內(nèi)。表2展示了各索鞍切點處的主纜切線角，其計算值與設(shè)計值間絕對誤差不超過0.033°。顯然，主纜分點(即索夾中心)和主纜切點處切線角的絕對誤差(“計算值?設(shè)計值”)很小，這是由于切線角度都是通過計算主纜內(nèi)力分量的比值而得所致。

圖8 銷接式索夾傾角θiFig.8 Dip angles of pin-connected cable clamps

表2 各索鞍切點處的主纜切線角Table2 Anglesat tangent points between the main cable and the saddles

圖10(a)和圖10(b)分別展示了該橋中跨主纜線形(即各索夾中心的連線)及其計算值與設(shè)計值的誤差結(jié)果，兩者的絕對誤差處于[?0.023 m,0.004 m]間。主纜線形由吊索形狀長度和橋面線形確定，由于橋面設(shè)計高程是已知常量，而吊索鋼絲伸長量相對吊索形狀長度小很多，因此圖9(a)和圖10(a)中主纜線形和吊索鋼絲無應力長度的分布規(guī)律相似。

圖9 吊索鋼絲下料長度lhiFig.9 Fabrication lengthsof thesteel wiresof hangers

圖10 中跨主纜線形Fig.10 Configuration of the mid-span main cable

比較圖9(b)和圖10(b)可知，無論主纜線形還是吊索鋼絲下料長度，其絕對誤差(“計算值?設(shè)計值”)均呈現(xiàn)由跨中向兩端增大的趨勢。雖然本方法與設(shè)計采用的迭代方法有所不同，但中跨主纜跨中垂點的豎向位移卻是兩者共同的迭代收斂目標；因此，主纜線形與吊索鋼絲下料長度在遠離跨中處的絕對誤差相對較大，而在跨中處的絕對誤差則較小。

表3分別列出了各跨主纜無應力長度設(shè)計值以及本文方法的計算結(jié)果(即“計算值”)，可見兩者的絕對誤差較小。根據(jù)經(jīng)典力學中弧面上柔性體的力學關(guān)系[21]可知，僅當摩擦系數(shù)μ已知時，結(jié)合胡克定律對該段柔性體的應變進行積分才能得到彈性伸長量的解析解，對應式(19a)和式(19b)中等號右邊第二項。因此，實際工程中通常不考慮索鞍弧面與主纜的摩擦效應，取圓弧段主纜的形狀長度近似作為其無應力長度。為了量化忽略圓弧段主纜彈性伸長量時所引起的誤差，表3列出了不計摩擦效應時本文方法的計算結(jié)果(“計算值*”)，最終發(fā)現(xiàn)各跨圓弧段主纜的累計伸長量均在1 cm左右，因此摩擦效應對計算結(jié)果的影響較小。

表3 各跨主纜無應力長度Table 3 Unstressed lengths of the mid-span and side-span main cables

3 結(jié)論

本文全面考慮了銷接式索夾位形對吊索鋼絲下料長度的影響、主纜與索鞍間的相切接觸狀況以及兩者間的摩擦影響，然后構(gòu)造了此類懸索橋纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)。通過工程實例驗證，最終得到以下結(jié)論：

(1)針對銷接式索夾的構(gòu)造情況，推導了索夾傾角、吊索鋼絲下料長度的表達式，然后將分段懸鏈線方程中常用的傳統(tǒng)表達式(7)轉(zhuǎn)化為本方法的關(guān)鍵控制方程式(16)，由此可將銷接式索夾對主纜、吊索位形的影響自適應地計入了纜索系統(tǒng)的目標函數(shù)求解過程中。傳統(tǒng)的數(shù)值迭代方法通過對式(7)的近似處理(即取Fi=Ri)，先計算主纜線形再根據(jù)索夾形狀修正吊索鋼絲下料長度；本方法只需一次性求解目標函數(shù)就能得到懸索橋理想成橋狀態(tài)下各構(gòu)件的位形，避免了這種二次修正誤差。

(2)基于相同的迭代初值，分別采用多種不同優(yōu)化算法求解同一懸索橋工程算例的纜索系統(tǒng)目標函數(shù)，經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)：僅Nelder-Mead 算法能夠收斂，且該算法迭代速度較快、計算精度很高。因此，選擇該優(yōu)化算法作為本方法的合理求解策略。

(3)采用本數(shù)值迭代方法求解該懸索橋工程算例后，將各項計算結(jié)果與該橋設(shè)計值進行對比，發(fā)現(xiàn)各項絕對誤差均較小，滿足實際工程的精度需求。因此，本方法為懸索橋精確設(shè)計給出了可供參考的解決方案。