培養(yǎng)化歸思想，提升數(shù)學(xué)解題能力

袁夢

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師在進行概念、定理、公式、法則的教學(xué)時不能只給出相應(yīng)的結(jié)論，把課堂變成被動接受新知的過程，而是要強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想方法。初中涉及的思想方法有很多，化歸思想就是其中之一。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;化歸思想

化歸思想在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)以及學(xué)生解題的能力培養(yǎng)等方面都起到了不容忽視的作用?；瘹w思想具體是什么？一般來說，化歸思想就是將對于自身現(xiàn)有水平上來說的難題轉(zhuǎn)化成自身能力能解決的問題，從而進行求解，即化難為易的過程中體現(xiàn)出來的思想方法。在初中數(shù)學(xué)中，化歸思想就已經(jīng)得到普遍的應(yīng)用了。下面筆者以初中教材中相關(guān)內(nèi)容為例體會化歸思想。

一、在數(shù)與代數(shù)中感悟化歸思想

1.數(shù)與式部分中，在學(xué)生了解代數(shù)式的概念后，明確了代數(shù)式的內(nèi)涵和外延。除了獨立的數(shù)字和字母，字母間通過基本運算形成的式子也稱為代數(shù)式。根據(jù)式子中是否含有根號，可分成有理式和無理式。在有理式中根據(jù)分子分母特殊位置是否含有字母，分為整式和分式兩類;其中整式就是只有分子中含有字母，分式就是只有分母中含有字母[1]。有理式和無理式的相關(guān)運算都在化歸思想的引導(dǎo)下進行，轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的數(shù)的運算。如在有理式中整式的加減運算的實質(zhì)就是將相同字母的項進行合并，并把同類項前面的系數(shù)進行有關(guān)運算，本質(zhì)上就是數(shù)的最基本的加減運算。同理，在整式的乘除運算中，可以理解為字母前的系數(shù)和同底數(shù)冪的指數(shù)分別進行乘除運算，實質(zhì)就是數(shù)的四則運算中的乘除運算。

以人教版七年級上冊有理數(shù)這章為例，因為在小學(xué)時學(xué)生們接觸到的數(shù)都是正數(shù)，頭腦中最大的數(shù)集也只是正數(shù)，而此時若直接告訴學(xué)生們數(shù)系還可以再擴充，除了正數(shù)還有負數(shù)的存在時，學(xué)生很難去理解抽象的負數(shù)的概念。所以大多數(shù)教師此時都會舉一些學(xué)生們感知過的具體實例幫助學(xué)生理解，如零下溫度、地下層數(shù)的標號等，使得抽象概念具體化，這就體現(xiàn)了化歸思想。

2.方程部分中，初中生接觸過分式方程、二元一次方程組、三元一次方程組、一元二次方程。解題的方法殊途同歸，最終都是要利用化歸思想轉(zhuǎn)化為簡單的一元一次方程。

以人教版七年級下冊解二元一次方程組為例，當教師給出一個具體的二元一次方程組時，大多數(shù)學(xué)生會毫無思路，因為在他們的認知結(jié)構(gòu)中沒有出現(xiàn)過解決此類問題的知識點，所以只會一個一個去試數(shù)。這時教師只需引導(dǎo)學(xué)生思考把“二元”轉(zhuǎn)化成什么，學(xué)生們就很容易聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)過一元一次方程的解法，所以知道要將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”的方程，求解的過程就會容易很多了。下面以加減消元法為例體會化歸思想：

例1：用加減消元法解方程組

解：①×3，得9x+12y=48? ? ? ? ? ? ③

②×2得10x-12y=66? ? ? ? ? ? ④

③+④，得19x=114，x=6.

把x=6代入①，得3×6+4y=16，4y=-2，y=-，

所以這個方程組的解是

3.在函數(shù)部分中，根據(jù)人教版教材編排順序，學(xué)生由淺入深學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。因為正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，所以通過對正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生養(yǎng)成了研究一類新函數(shù)的思想方法，即通過具體的實際問題先抽象出數(shù)學(xué)模型，然后寫出相關(guān)解析式。接下來就是研究解析式所對應(yīng)的函數(shù)的圖象。因為正比例函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)是學(xué)生首次接觸函數(shù)圖象，教師要加以引導(dǎo)并共同總結(jié)繪制一般函數(shù)圖象的步驟：一列表、二描點、三連線。至此學(xué)生思維結(jié)構(gòu)就擴充了函數(shù)研究的步驟。在之后二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就可以利用化歸的方法，通過之前的思路去研究具體的函數(shù)模型。在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，化歸思想體現(xiàn)得更為明顯，當研究二次函數(shù)與x軸相關(guān)的交點問題時，學(xué)生很難根據(jù)圖象確定橫坐標的具體值;引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象之后，學(xué)生可以較容易發(fā)現(xiàn)與x軸相交時縱坐標值為0的特點，所以就可以與之前一元二次方程的內(nèi)容進行聯(lián)系，通過解出一元二次方程的解確定交點橫坐標，從而寫出與x軸相交的點的坐標。

二、在圖形與幾何教學(xué)過程中形成化歸意識

在平面幾何相關(guān)內(nèi)容中，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等證明都使用了化歸思想。以人教版八年級下冊平行四邊形這章為例，學(xué)生掌握了八年級上冊學(xué)到的全等三角形的性質(zhì)和判定的知識，加上小學(xué)學(xué)到的“平行四邊形是由兩個相同的三角形組成”，能夠聯(lián)想到平行四邊形的輔助線——對角線，從而利用三角形的知識證明平行四邊形的性質(zhì)。易用SSS證明相應(yīng)的兩個三角形全等，推出平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等、對角相等、對角線互相平分[2]。從一般到特殊，也從對角、對邊、對角線三方面出發(fā)研究矩形、菱形的相關(guān)性質(zhì)。正方形不僅是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形以及特殊的菱形，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)正方形這節(jié)知識時利用了之前所學(xué)過的知識[3]。

在學(xué)習(xí)平行四邊形這章幾何內(nèi)容的知識點時，把新知通過中間橋梁轉(zhuǎn)化成已經(jīng)熟悉的知識，全章都在體現(xiàn)化歸的核心思想，化難為易，化新知為舊知，在學(xué)生原有的思維結(jié)構(gòu)中增添相應(yīng)的知識點。

學(xué)生們在日常做平面幾何相關(guān)問題時也都形成了化歸意識，比如在做有關(guān)證明題的過程中通過引入輔助線，使得相對復(fù)雜的幾何模型分解成熟悉且傳統(tǒng)的幾何模型，從而進行證明。

三、在解題的過程中鍛煉化歸思維

在初中數(shù)學(xué)的相關(guān)問題中，方程以及圖形等難題就可以利用化歸的思想去解決。下面以方程應(yīng)用題為例，感受由化繁為簡的化歸思路。二元一次方程組應(yīng)用題中需要通過分析題干，找尋隱性的等量關(guān)系再列出等式進行解題。

例2：若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式，則m與n的值分別是（? ?）

A.1，2? ? ? ? ? ? ?B.2，3? ? ? ? ? ? ? ?C.1，1? ? ? ? ? ? ? D.1，3

解析：學(xué)生們已經(jīng)掌握單項式以及同類項的相關(guān)概念，根據(jù)題目可以得到兩個單項式中a與b的指數(shù)相同的條件，并且列出關(guān)于m與n的二元一次方程組，從而解出相應(yīng)m與n的具體值。這個過程就是將具體問題轉(zhuǎn)化成方程問題，然后進行計算。

例3：反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A，B兩點，求A，B兩點相應(yīng)坐標.

解析：兩個函數(shù)相交說明兩個圖象重疊的部分橫縱坐標相同，它們的交點同時滿足兩個圖象對應(yīng)的不同解析式，交點坐標就是由兩個解析式組成的方程組的解。

根據(jù)題目得到方程組，從而利用二元一次方程

組的解法解出相應(yīng)的x與y的值。

綜上，化歸思想是一種很重要的思想方法，不僅在初中數(shù)學(xué)中大量應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)以及大學(xué)相關(guān)內(nèi)容中也都作為一種解決問題的手段，所以教師在初中階段就要滲透給學(xué)生相關(guān)思想并在日常做題中培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維，提升做題效率。

參考文獻

[1]吳文劍.淺談初中數(shù)學(xué)代數(shù)式的學(xué)習(xí)與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（18）：5+7.

[2]陳艷.談初中生數(shù)學(xué)“化歸思想”的培養(yǎng)路徑[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2018（35）：22.

[3]林靜.淺談幾何變換在初中平面幾何教學(xué)的探究[J].福建論壇（社科教育版），2010（04）：76-77.