電磁感應(yīng)雙桿問題加速度的一般性討論

吳曉松

(重慶涪陵第五中學校 重慶 408000)

1 問題的提出

雙桿問題作為電磁感應(yīng)中一個常見的物理模型[1]，涉及到電磁感應(yīng)、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等，一直是教師在教學過程中不能回避的問題.在各種教學參考資料中經(jīng)常能見到有關(guān)這種模型問題的討論，尤其是雙桿最終加速度的問題對于學生來說受力分析仍是一大難點.平時我們遇到的練習題中常常是導軌光滑，寬度一定，磁感強度處處分布均勻，且不受到外力的情況.比如下面這個題.

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi)，兩導軌間的距離為L.導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示．

圖1 例1題圖

原題解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流．a(chǎn)b棒受到與運動方向相反的安培力作用做減速運動，cd棒則在安培力作用下做加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速．兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，最終兩棒以相同的速度v做勻速運動．兩棒加速度都為零，但是在穩(wěn)定狀態(tài)之前，兩棒是有加速度的.

(1)

此時回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流分別為

(2)

(3)

此時cd棒所受的安培力

F=IBL

(4)

所以cd棒的加速度為

(5)

由以上各式，可得

(6)

做完該題后，班上一學生向老師問道，如果兩棒長度不等，導軌不光滑，情況又如何呢？ 確實解完該題后都留給教師和學生一種意猶未盡的感覺，因此筆者在教學之余將這一模型一般化后(兩桿不等長，導軌粗糙，磁場分布不同且受到外力)進行了再討論.

2 模型的建立及求解

【例2】如圖2所示[2]，有一足夠長的水平放置的平行金屬導軌間距為l1,其間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B1；與之相連的有間距為l2的足夠長的水平放置的平行金屬導軌，導軌間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B2.將長為l1，質(zhì)量為m1，電阻為R1的金屬棒b放置在離連接處足夠遠的位置，金屬棒b與導軌的摩擦因數(shù)為μ1；將長為l2，質(zhì)量為m2，電阻為R2的金屬棒a放置在離連接處足夠遠的另一位置，金屬棒a與導軌的摩擦因數(shù)為μ2.導軌與金屬棒a,b構(gòu)成閉合回路，其中導軌的電阻可忽略不計.當恒力F垂直作用在金屬棒b上，水平拉動金屬棒.求兩金屬棒最終的加速度之比.

圖2 例2題圖

解：研究b棒

(7)

研究a棒

(8)

研究閉合回路

(9)

由式(7)、(8)、(9)可得

(10)

令

所以式(10)簡化為

(11)

(12)

由式(12)可以看出I與R1,R2無關(guān)，即經(jīng)過足夠長時間后電流為一定值.下面計算經(jīng)過足夠長時間后兩金屬棒各自的加速度及其比值，有

(13)

(14)

通分后

即

(15)

可見兩金屬棒的加速度各自趨于一個穩(wěn)定值，且

3 對加速度比值的再分析

通過上面的求解結(jié)果可知，在恒定拉力作用下兩金屬棒最終加速度的比值與摩擦因數(shù)和電阻都沒有關(guān)系，只與各自的磁感強度和寬度有關(guān)，無疑這是一個非常簡潔而美妙的結(jié)果.實際上這個結(jié)果的確具有合理性，對兩金屬棒來說水平方向受到不為零的合力時，系統(tǒng)必然具有加速度而且最終達到穩(wěn)定狀態(tài)時(比如勻加速)電流I必須恒定或者說電流的變化率為零.因為

所以

或者

特別地，若B1=B2，則

若l1=l2，則

中學物理資料上常常是其中的一根導體棒受恒定的外力且

l1=l2B1=B2

這就得到我們所熟悉的結(jié)論

如果兩桿都不受到外力，最終穩(wěn)定后兩桿的加速度均為零，這就是原題的情景.當然如果其中一根桿受到恒定的外力，最終穩(wěn)定后兩桿的加速度之比就是一個簡潔的結(jié)果