自聚焦圓貝塞爾高斯渦旋光束在自由空間中的傳播特性

江駿杰,鄧冬梅

(華南師范大學 廣東省微納光子功能與器件重點實驗室，廣東 廣州 510631)

0 引言

2010年，Efremidis[1]等人首次提出了具有激增自聚焦特性的徑向對稱波包。這類光束有一個特殊的性質，即在傳播過程中，它們的最大強度幾乎保持不變，而在焦點處突然以數量級激增。與克爾介質(Kerr Media)產生的自聚焦效應不同的是，這類光束的自聚焦是純線性的，是光場結構本身的結果[2]。隨后，Efremidis[3]和Panagiotopoulos[5]通過實驗證實這種光束確實存在。激增自聚焦光束在燒灼點的形成[3]，介電微粒子的光學捕獲和操縱[4,6,7]以及非線性強光子彈的產生[5]有著獨特的應用前景。然而，對于傳統(tǒng)的自聚焦光束而言，即環(huán)艾里高斯光束，對于較長的傳播距離時，其自聚焦能力由于焦平面強度相對較低而受到限制。

1987年，Durnin等人推導出亥姆霍茲方程的精確解，即貝塞爾模式，是非衍射光束族的重要成員[8-10]。由于貝塞爾光束的準無衍射特性，它可以應用于不同的領域，如光學操控[11]、自由空間光通信[12,13]、顯微鏡成像[14]等。

光學渦旋(Optical Vortices)是一種具有螺旋相位波前，帶有軌道角動量(OAM)，能夠攜帶不同拓撲電荷數的光束。對于有l(wèi)個拓撲荷的渦旋光束，繞光束傳播方向(z軸)一周，相位改變2lπ，光束橫截面中心處振幅為0，在z軸上存在相位奇異。渦旋光束在光通信[15-17]、光學捕獲[18]、光學顯微鏡[19]等方面有廣泛的應用。近年來，嵌入不同類型自動聚焦光束的渦旋光束得到了廣泛的研究[20-23]。

根據現有研究成果，提出一種可以在長距離內實現焦平面強度較高的自聚焦新型圓貝塞爾高斯渦旋光束(Circular Bessel Gaussian Vortex Beams，簡稱CBGVBs)，并系統(tǒng)的研究了它在自由空間的傳播特性。

1 同軸渦旋的自聚焦圓貝塞爾高斯渦旋光束的傳播特性

我們假定CBGVBs在自由空間中傳播，在傍軸光學系統(tǒng)中，波的復包絡服從傍軸亥姆霍茲方程，即

(1)

在柱坐標系中，帶有同軸渦旋的CBGVBs初始光場表達式為

(2)

其中C為控制初始輸入功率的無量綱常數，Jn為n階第一類貝塞爾函數，當n=0時，r0為主環(huán)的半徑，當n>0時，r0為兩個主環(huán)的中點(如圖1(a)所示)，w0為長度參數，m為拓撲荷數，a為控制初始光束衰減的衰減系數，z為光束傳播距離。

圖1 (a) CBGVBs的橫截面光場分布；(b) CBGVBs的初始強度I0與r的關系

由于CBGVBs在自由空間的傳播解析表達式難以求出，我們這里將采用分步傅里葉循環(huán)的方法[24]來數值模擬其傳播過程。若未作其他特殊說明，本文的部分參數選取如：C=1,r0=3 mm，w0=20 μm，a=0.001，n=1，λ=632.8 nm。

圖1給出了部分CBGVBs的橫向截面圖以及光場分布情況，其中I0代表初始平面的光強，為了現象更加明顯，這里我們取r0=1 mm，m=0。從圖1我們可以看到，初始強度分布是關于r=r0對稱的。從圖1(a)我們可以看到，零階CBGVBs在r=r0處有一個主環(huán)，而高階的CBGVBs則有兩個環(huán)且對稱分布在r=r0的兩側。注意到在光束內部區(qū)域(rr0)卻有著剛好相反的行為。從圖1我們可以看到，隨著階數n的不斷增大，強度為0的區(qū)域也會不斷變大。因此，當n較低時，r=r0處的空心區(qū)域較小，外圈和內圈引起的聚焦變得很近，這可能會增強自動聚焦特性。為了更好地展現CBGVBs的聚焦特性，下文中的討論我們都令n=1。

圖2展示了當m=0時，光束初始半徑r0對聚焦特性的影響。圖2(a)的縱坐標Imax/I0為歸一化強度(任意位置的最大強度與初始輸入強度的比值)，而(c)中的FWHM為半高全寬(full width at half maximum)。從圖2(a)我們可以看出隨著r0的增加，歸一化強度也隨著光束功率的增加而增加。從圖2(b)(c)中可以看出，CBGVBs的焦距和半高全寬幾乎隨r0的增加而線性增加。然而，如圖2(d)所示，即使r0發(fā)生改變，焦平面內的光斑大小基本不變，半徑約為53.7μm，因此，當我們縮放光斑的初始尺寸r0時，光束的聚焦特性即聚焦強度，焦距及半高全寬會同時發(fā)生改變。

圖2 聚焦特性與r0的關系 (a) Imax/I0與r0的關系；(b) 聚焦位置與r0的關系；(c) 半高全寬與r0的關系；(d) 不同r0對應的焦平面橫向分布

圖3給出了m=0和m=1的傳播側視圖(z-y圖)及部分截面圖，其中colorbar代表歸一化強度I/I0max(任意位置處的強度與初始輸入強度最大值的比值)，從圖3的(a1)、(b1)可以看出CBGVBs沿z軸傳播的過程中，強度不斷增加，并在焦平面前激增自聚焦。同時，圖3的(a4)、(b4)以及圖2的(d)表明光束在達到焦平面前，光斑不斷縮小，即強度不斷向光束中心聚焦。與傳統(tǒng)的圓貝塞爾光束相比(m=0)，當m=1時，CBGVBs沿z軸存在一個由同軸渦旋引起的中空通道。從圖4(b)我們可以看到，當m>0時，CBGVBs的歸一化強度比m=0時要小得多。并且當m增大時，光束的歸一化強度變小，而光束中心的零強度區(qū)域變大。這一特殊性在粒子捕獲這一應用中有著極其重要的作用。近年來，圓貝塞爾光束已被廣泛應用于粒子的操縱和捕獲[10]，與普通的光鑷設置相比，因其突自聚焦特性而使用了放大率較低的物鏡。但由于其在焦點處的強度分布不是中空的，傳統(tǒng)的圓貝塞爾光束(m=0)不適合捕獲折射率小于周圍介質的微粒。并且傳統(tǒng)貝塞爾光束并不攜帶軌道角動量，這在光扳手以及光鑷的應用上是非常不利的。因此，焦平面為存在中空區(qū)域且攜帶軌道角動量的圓貝塞爾高斯渦旋光束有著更廣泛的應用。此外，拓撲荷為m=0，1，2的CBGVBs分別在z=65.2，65.6，65.8 cm處聚焦。可以看到，當m上升時，聚焦位置也會稍稍后移。

圖3 CBGVBs的傳播側視圖及部分截面圖 (a)m=0；(b)m=1 其中(a)(b)圖的坐標上下對應

圖4 (a) CBGVBs傳播過程中的歸一化強度與z和m的關系圖；(b) CBGVBs在焦平面處的歸一化強度與r和m的關系圖

2 對稱雙離軸渦旋的圓貝塞爾高斯光束的傳輸特性

近幾十年來，如何產生高質量的渦旋光場成為人們研究的一個熱點內容，這其中就包括無衍射光束[25]。然而，在產生渦旋光束的過程中，較難保證渦旋軸與傳播軸完全重合，也就是說產生的渦旋具有一定的離軸量。因此，研究離軸渦旋的圓貝塞爾高斯光束是十分有必要的，為了計算簡便，我們假定兩個渦旋沿x軸對稱放置，則其光場表達式可寫為

(3)

其中±代表渦旋方向，即拓撲荷為(+1,-1)或(+1,+1)，兩個渦旋的初始距離為2rk。

從圖5(a1)-(b4)中，我們可以發(fā)現拓撲荷為(+1,+1)的兩個光學渦旋疊加時，二者都有向中心收攏的趨勢，并在焦平面處重疊但不完全重合(從相位圖可以看出)，同時，在光束的中心附近有兩個中空洞，歸一化強度較低。從相位圖上可以看出，在光源附近存在兩個相鄰的奇點，即在傳播過程中有兩個相同的渦旋向光束中心偏移。然而，如果兩個相反的渦旋加在CBGVBs上，它們在傳播過程中發(fā)生碰撞并湮滅。歸一化強度分布圖(圖5(b4))和相位圖與m=0時CBGVBs的情況相似，只是焦平面的主瓣略微向上移動。

圖5 CBGVBs部分傳播側視圖，其中(a4)(b4)分別為焦平面(z=65.8，65.9 cm)的歸一化強度和相位圖，其中(a1)-(a4)的拓撲荷為(+1,+1)，rk=1.5 mm，(b1)-(b4)的拓撲荷為(+1,-1)，rk=1.5 mm

接下來，我們將研究不同渦旋位置而產生的影響。我們分別將渦旋放置在初始光束中空區(qū)域(rk=r0)以及區(qū)域外部(rk>r0)。如圖6所示，當rk=r0時，其傳播情況與rk=1.5 mm類似，但其沿x軸存在一條縫隙。焦平面內沿y軸存在兩個主瓣，從其相位圖我們可以看出，兩個主瓣之間的相位差近似為π，相位沿x軸分布混亂。如圖6(b1)-(b4)所示，當兩個相反的渦旋位于入射光束的兩個主環(huán)外時，焦平面的主瓣向下位移，與圖5(b1)-(b4)中的情況相反。

圖6 CBGVBs部分傳播側視圖，其中(a4)(b4)分別為焦平面(z=65.7 cm，z=65.2 cm)的歸一化強度和相位圖，其中(a1)-(b4)的拓撲荷均為(+1,-1),(a1)-(a4)中rk=3 mm，(b1)-(b4)中rk=4.5 mm

4 結論

本文系統(tǒng)地研究了CBGVBs在自由空間的傳播特性，我們發(fā)現可以通過改變輸入光束的尺寸r0來控制聚焦位置、聚焦強度和半高全寬。與傳統(tǒng)的自聚焦光束相比，CBGVBs可以在更長的距離和更小的衍射范圍內自動對焦。同時，得益于光學渦旋的作用，我們發(fā)現CBGVBs在焦平面處有一個中空區(qū)域，這一特性在捕獲折射率小于周圍介質的微粒有著重要的應用前景。除此之外，我們還討論了帶有雙對稱離軸渦旋的CBGVBs的性質，通過改變rk以及渦旋形式，渦旋會發(fā)生重疊，碰撞湮滅等等現象。