探究和發(fā)現(xiàn)線面平行判定定理

黃玉平

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，它的突出功能是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。筆者到學(xué)校聽課時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)：一些教師處理立體幾何的公理與定理教學(xué)時速度很快，發(fā)現(xiàn)定理的過程一筆帶過，時間主要用來做大量習(xí)題，將重心放在解題技巧講解上。期末考試之后分析數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生立體幾何得分仍然很低，學(xué)生的立體感不好，知識體系混亂，學(xué)習(xí)效益差。究其原因，問題的根源仍在于課堂教學(xué)，在于教師是否能夠把握課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，是否理解教材，是否理解學(xué)生，在設(shè)計上是否基于學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

以“直線與平面平行的判定”為例，許多教師覺得簡單，因教材不要求證明，多數(shù)教學(xué)設(shè)計直接給出定理，只將注意力放在定理的記憶和運用上，甚至是解題技能上，未能真正讓學(xué)生深入理解知識的形成和產(chǎn)生過程，不能很好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，未能實現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)。

本文對這節(jié)課的設(shè)計，重點在于引導(dǎo)學(xué)生通過探究和發(fā)現(xiàn)，提出直線與平面平行判定定理的猜想，并通過邏輯推理、直觀感知和操作確認(rèn)，驗證猜想，或否定重來，或推理證明，最終發(fā)現(xiàn)判定定理。

下面將線面平行的判定定理的形成過程設(shè)計成一個教學(xué)片段，模擬師生的對話來展開。

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）學(xué)生通過對線面平行的定義進(jìn)行分析，加深對線面平行概念的理解，通過對公理的進(jìn)一步分析，尋找線面平行的線索，通對;

（二）學(xué)生提出線面平行判定定理的猜想，進(jìn)行操作與觀察，培養(yǎng)空間想象素養(yǎng);

（二）學(xué)生通過嘗試與思考，驗證猜想的合理性，探索線面平行判定定理，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提升邏輯推理素養(yǎng)。

二、教學(xué)方法

采用師生對話的啟發(fā)式教學(xué)法，小組合作學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。教師構(gòu)建開放的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生開展小組合作，提出猜想，并進(jìn)行驗證，最后整理給出直線與平面平行的判定定理。

三、教學(xué)過程

教師：同學(xué)們好！前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面的三種位置關(guān)系，請同學(xué)們分別用三個圖來表示它們。

學(xué)生1：畫出三個圖：

教師：今天這節(jié)課，我們來學(xué)習(xí)直線與平面平行的判定，目標(biāo)是找到條件A，使直線與平面平行。

即：若A，則。

情境一：分析定義

首先，我們回到線面平行的定義，尋找線索。

教師：根據(jù)定義，直線與平面沒有公共點。

分別從直線和平面的角度看，可以得到： 直線上所有點都不在平面內(nèi)平面內(nèi)所有點都不在直線上

教師：我們試著改成判定線面平行的命題，看是否成立？

教師：猜想一：如果，，那么;這個猜想能成立嗎？

學(xué)生2：如圖1，在直線上找到除A外的一點，它不在平面上，但是直線與平面不行平，猜想不成立。

教師：增加一個點，猜想二：如果，，，那么。是否成立？這個方向正確嗎？

學(xué)生3：如圖1，在直線上找到除A外的兩個點，它們都不在平面上，猜想仍然不成立。無論取多少點，這樣的猜想都不能夠成立。

教師：以上是將直線和平面都看成由點構(gòu)成的。根據(jù)公理一（如圖4），我們知道：平面可以由直線構(gòu)成，這些直線可能怎樣排列呢？

學(xué)生4：直線可以是互相平行的，也可以是過同一點，如圖5和圖6：

教師追問：互相平行的直線只能是一個方向嗎？

學(xué)生4：可以是平面內(nèi)任意方向。

教師：將平面看成由直線構(gòu)成的，請同學(xué)們仿造前面的例子，提出線面平行判定的猜想。

學(xué)生5：直線與平面內(nèi)所有直線都沒有公共點

教師：再具體分析下去，并提出猜想。

學(xué)生5：平面內(nèi)所有直線都與直線沒有公共點直線與平面內(nèi)所有直線或者平行，或者互為異面直線關(guān)系

學(xué)生6：猜想三： 如果，那么。

學(xué)生7：猜想四：如果與是異面直線，，那么。

教師：請每位同學(xué)用書本和筆，擺出符合猜想三的條件：先固定兩條互相平行的直線，平面經(jīng)過直線，將平面繞旋轉(zhuǎn)至任意位置，觀察結(jié)論是否成立，分小組討論，給出本組的觀點。

學(xué)生8：猜想三在多數(shù)情況下成立。

學(xué)生9：猜想三只有一種情況不成立，即當(dāng)時，結(jié)論不成立。

教師：如果在平面內(nèi)增加一條與平行的直線，結(jié)論會怎樣？原因是什么？

學(xué)生10：結(jié)論仍然一樣：只有一種不成立，其它情況都成立。

教師：我們可以完善一下猜想三。

學(xué)生11：猜想五： 如果，，那么。

教師：如果它是正確的，請證明，如果它是不成立，請舉出反例。

學(xué)生12：證明（略）

教師：請各位同學(xué)再驗證猜想四。

學(xué)生13：猜想四大多數(shù)情況下，直線與平面都是相交，只有一種情況直線與平面平行。

教師：請再觀察，并思考，這種情況中，線面平行的真正原因是什么？

學(xué)生14：這個平面內(nèi)有一條與平行的直線！

教師：可以得到怎樣的猜想？

學(xué)生14：將猜想四增加一個條件，得到猜想六：如果與是異面直線，，，，那么。

教師：請同學(xué)們對比猜想五與猜想六，它們相同的條件和不同的條件是什么？作用是什么？

同學(xué)15：兩個猜想中，相同的條件都是平面內(nèi)有一條直線與直線平行，猜想六中如果與是異面直線和的條件，與猜想五中的作用是相同的。因此這兩個猜想本質(zhì)上是一樣的。

教師：下面我們證明猜想5。

學(xué)生16：證明（略）。

教師：猜想5被證明是成立，它就是直線與平面平行的判定定理。

教師：我們將判定定理用最簡要而明確的語言表達(dá)。

學(xué)生17：如果平面外的直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么平面外的這條直線與平面平行。

教師：定理的條件可以歸納為三條，用三個字或詞表達(dá)：平行，外，內(nèi)。定理實質(zhì)是：由線線平行得到了線面平行。請大家再看看，前面那個圖，最能說明這個實質(zhì)：

學(xué)生18：圖5。平面可以看成由全部互相平行的直線構(gòu)成的，根據(jù)公理4，只要平行于其中一條直線且不與它們重合，就必然平行于這些直線，從而與平面無公共點。

四、結(jié)束語

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)活動只有讓學(xué)生充分地、真實地參與，才會真正對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成產(chǎn)生深遠(yuǎn)的作用。教師具備的知識和經(jīng)歷都比學(xué)生豐富，因此教師眼中容易理解的知識，對于學(xué)生來說，可能不自然，不直觀，不能簡單地告知學(xué)生結(jié)論，對知識的產(chǎn)生過程一筆帶過。

在課堂教學(xué)中，將知識發(fā)生發(fā)展的過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)設(shè)計成開放的情境，讓學(xué)生通過探索和思考，“跳一跳”，“想一想”，不斷提出猜想，驗證猜想，可以加深學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，同時能促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)提高。

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