強L-凸結構的新刻畫

趙方方，龐 斌

(北京理工大學 數學與統(tǒng)計學院，北京 102488)

0 引言

凸結構是通過抽象不同研究框架下不同類型的凸集的共同特征而引入的一種空間結構。由于凸集在各個領域的廣泛存在性，凸結構理論與眾多的數學結構理論緊密相關[1]。隨著模糊集理論的發(fā)展，尤其受到模糊拓撲學的影響，凸結構的概念也被推廣到了模糊情形下，進而產生了多種不同類型的模糊凸結構，比較具有代表性的模糊凸結構主要有L-凸結構[2]、M-模糊化凸結構[3]和(L,M)-模糊凸結構[4](L和M均代表所選取的格值背景)。當前對于模糊凸結構理論的研究也都是分別基于三種模糊凸結構框架進行開展。

凸包算子在凸結構理論中起到至關重要的作用，原因體現(xiàn)在兩個方面。一方面是可以用凸包算子刻畫凸結構，進而將其作為研究凸結構空間性質的基本工具；另一方面是凸包算子可以作為聯(lián)系凸結構和其它與之相關的空間結構之間的橋梁。在模糊凸結構理論中，模糊凸包算子也應該起到相應的作用。然而，在L-凸結構理論中，引入滿足以上兩個方面要求的L-凸包算子相較于經典凸包算子卻困難得多，這也導致了L-凸結構理論曾經在很長一段時間內一直沒有取得實質性的研究進展。針對這一問題，龐斌等從多個角度系統(tǒng)研究L-凸結構框架下的L-凸包算子[5,6]。在此基礎上，沈沖和吳修云等分別從Domain理論和模糊集之間二元關系的角度對L-凸結構做了進一步的刻畫[7,8]。同時，龐斌、李令強和吳修云等還將范疇論的方法與模糊凸結構理論相結合，借助范疇的語言描述不同類型的模糊凸結構之間的關系[9,10,11,12]。基于上述奠基性的工作，L-凸結構理論的研究正在逐步開展。

考慮到模糊集之間的模糊包含序[13,14]，龐斌和史福貴引入了強L-凸結構的概念[8]，并給出了相應的L-序凸包算子刻畫。眾所周知，模糊冪集上賦予模糊包含序便成為一個模糊完備格，而模糊完備格中的模糊上確界和下確界可以用來描述模糊集族對任意并和任意交的封閉性。受此啟發(fā)，本文中將借助模糊集族的模糊下確界來描述L-凸結構理論中相關概念對任意交的封閉性。具體地，將模糊集族的模糊下確界與凸結構、凸包算子和封閉關系的概念相結合，引入L-格序凸結構、L-格序凸包算子和L-封閉關系。然后，從范疇的角度，界定它們與強L-凸結構之間的關系。

1 預備知識

文中總假設X是一個非空集合，(L,*,→,∨,∧,,⊥)是完備剩余格[15]。X上的L-子集全體記為LX。LX上賦予逐點序仍然是一個完備剩余格，最大元和最小元分別記為和若{Aj}j∈J?LX滿足：對任意的i,k∈J，存在j∈J，使得Ai∨Ak≤Aj，則稱{Aj}j∈J是LX的定向子集，記為{Aj}j∈J?dLX。借助L上蘊涵運算→，可以定義L-子集的模糊包含序S:LX×LX→L如下：此時，(LX,S)是一個模糊偏序集。對于LX的一個L-子集:LX→L，在模糊預序集(LX,S)中的下確界是(B)→B)。

下面給出本文要刻畫的強L-凸結構和L-序凸包算子的概念[8]。

定義1設C?LX。若C滿足

(LCO4)?a∈L,?A∈C,a→A∈C,

則稱C是X上的一個強L-凸結構。序對(X,C)稱為一個強L-凸空間。

由強L-凸空間作為對象類，L-凸保持映射作為態(tài)射類構成的范疇記為SL-CS。

定義3若映射c:LX→LX滿足

(LCL2)?A∈LX,c(A)≥A；

(LCL3)?A∈LX,c(c(A))≤c(A)；

(LCL4)?A,B∈LX,S(A,B)≤S(c(A),c(B))，

則稱c是X上的一個L-序凸包算子。序對(X,c)稱為一個L-序凸包空間。

由L-序凸包空間作為對象類，L-凸包保持映射作為態(tài)射類構成的范疇記為L-OCL。

定理1SL-CS和L-OCL同構。

2 L-格序凸結構和L-格序凸包算子

在本節(jié)中，主要借助(LX,S)中的下確界和L-子集的模糊包含序，引入一種新型的L-凸結構和L-凸包算子，并證明它們分別等價于強L-凸結構和L-序凸包算子，從而給出L-凸結構的新刻畫。

定義5設C?LX。若C滿足

則稱C是X上的一個L-格序凸結構。序對(X,C)稱為一個L-格序凸空間。

由L-格序凸空間作為對象類，L-凸保持映射作為態(tài)射類構成的范疇記為L-OCS。

命題1設C?LX。則C滿足(LCO5)當且僅當C滿足(LCO2)+(LCO4)。

證明充分性顯然，下證必要性。

推論1L-OCS和SL-CS同構。

定義6若映射c:LX→LX滿足

(LCL2) ?A∈LX,c(A)≥A；

(LCL5) ?A,B∈LX,S(A,c(B))≤S(c(A),c(B))，

則稱c是X上的一個L-格序凸包算子。序對(X,c)稱為一個L-格序凸包空間。

由L-格序凸包空間作為對象類，L-凸包保持映射作為態(tài)射類構成的范疇記為L-OHU。

命題2設c:LX→LX是一個映射且c滿足(LCL2)。則c滿足(LCL5)當且僅當c滿足(LCL3)+(LCL4)。

證明必要性，任取A,B∈LX，則有

S(A,B)≤S(A,c(B))≤S(c(A),c(B))and=S(c(A),c(A))≤S(c(c(A)),c(A))。

充分性 任取A,B∈LX，則有

S(A,c(B))≤S(c(A),c(c(B)))≤S(c(A),c(B))。

推論2L-OHU和L-OCL同構。

3 L-格序凸包算子和L-封閉關系

本節(jié)主要借助L-子集的模糊包含關系，引入L-子集之間的一種二元關系，進而給出強L-凸結構的一種新刻畫。

由L-封閉空間作為對象類，L-封閉關系保持映射作為態(tài)射類構成的范疇記為L-ERS。

接下來，我們將建立L-封閉關系和L-格序凸包算子的聯(lián)系，進而得到L-封閉關系和強L-凸結構的聯(lián)系。

(LCL3) 任取A,B∈LX，則有

(LCL4) 任取A,B∈LX，則有

(LER4) 任取A,B,C∈LX，則有

≥S(c(A),c(B))

≥S(A,B)。

(LER5) 任取A,B∈LX，則有

≥S(c(A),c(A))*S(c(c(A)),B)

=S(c(c(A)),B)

≥S(c(A),B)

(LER6) 任取A,B∈LX和a∈L，則有

≥S(c(a→A),c(A))

≥S(a→A,A)

≥a。

引理1設(X,c)是一個L-格序凸包空間。則有c(B,a→A)=a→c(B,A)。

命題7L-ERS和L-OHU同構。

(1) 任取A∈LX。有

(2) 任取A∈LX。根據引理1，首先有

從而，對于任意的A,B∈LX，得到

并且

推論3SL-CS，L-OCS，L-OCL,L-OHU和L-ERS同構。

4 結語

基于L-子集之間的模糊包含關系研究L-凸結構是當前模糊凸結構理論研究的一種新方法。本文在此基礎上，利用論域上L-集族的模糊下確界定義研究L-凸結構理論中相關概念對任意交的封閉性，并與傳統(tǒng)的定義方式相比較，發(fā)現(xiàn)模糊包含序的方式和模糊下確界的方式是協(xié)調的。文中具體將模糊下確界的思想應用到了L-凸結構、L-凸包算子和L-封閉關系的定義中，并從范疇的角度證明了這些概念之間的范疇同構。作為此種思想方法的進一步應用，還可以考慮凸結構定義中定向并封閉的模糊情形，即用定向L-集族的模糊上確界定義L-凸結構對定向并的封閉性。