逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討

王會(huì)兵

摘 要：數(shù)學(xué)是初中教育體系的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要學(xué)科。初中是學(xué)生中小學(xué)時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)承上啟下的階段，也是學(xué)生思維能力發(fā)展的關(guān)鍵階段。在這一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教給學(xué)生理論知識(shí)，學(xué)習(xí)方法，更要注重學(xué)生思維能力培養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)新課標(biāo)基本要求，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)廣大數(shù)學(xué)教師提出的根本任務(wù)。文章結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，分析逆向思維及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，研究初中數(shù)學(xué)解題策略，探討逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，借此培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);逆向思維;解題;教學(xué)

一、 引言

逆向思維是一種反向思維，是數(shù)學(xué)思維中一個(gè)非常重要的原則，是創(chuàng)造性思維的基本組成部分，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維就需要學(xué)生先具備良好的逆向思想。真所謂“此路不通彼路通，條條大道通羅馬”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有時(shí)候往往需要“反其道而思之”，尤其是在解決數(shù)學(xué)問題過程中，按照常規(guī)思維思考，常常走進(jìn)思維“死胡同”，久而不能得其法，此時(shí)若能夠換一個(gè)角度思考，從問題的逆向出發(fā)，也許很多看似復(fù)雜的問題也就迎刃而解了。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師非常關(guān)注學(xué)生逆向思維發(fā)展，也常常引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維解題，以促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展。

二、 逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用分析

（一）逆向思維有利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

新時(shí)代數(shù)學(xué)教學(xué)不再是以知識(shí)傳授為主的活動(dòng)，而是既注重知識(shí)教學(xué)，也重視學(xué)生技能和思維能力發(fā)展的多功能教學(xué)活動(dòng)。尤其是數(shù)學(xué)這門課程，關(guān)乎學(xué)生邏輯思維、創(chuàng)新思維、發(fā)散思維等多種思維發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維，能夠激活學(xué)生邏輯思維能力，讓學(xué)生思維更加靈活和開放，避免學(xué)生形成思維定式。所以，單從學(xué)生思維發(fā)展需要的角度而言，逆向思維是學(xué)生綜合性思維形成的基礎(chǔ)部分。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維或者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維，都是有利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的。

（二）有利于提高學(xué)生解題效率

數(shù)學(xué)思維也可以說是數(shù)學(xué)方法，其是為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題以及生活實(shí)際問題而服務(wù)的。不斷強(qiáng)調(diào)逆向思維，習(xí)慣性引導(dǎo)學(xué)生從正向、逆向兩個(gè)維度思考同一問題，分析同一現(xiàn)象，解讀同一事物本質(zhì)，能夠提高學(xué)生思維深度，讓學(xué)生更全面地剖析問題，從而快速找到問題的突破口。不難發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)較小學(xué)數(shù)學(xué)難度大幅度提升，教材中也涉及了許多復(fù)雜的例題，如果僅按照常規(guī)解題思路思考，既浪費(fèi)時(shí)間，還影響解題效率。相反，應(yīng)用逆向思維則能避免這些問題，學(xué)生能夠快速找到問題突破口，找到解題方法和技巧，從而提高解題效率。

三、 逆向思維及其在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

誠然，逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義，無論對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展還是解題效率，都有積極作用。那么，到底如何才算得上逆向思維呢？在初中數(shù)學(xué)解題中我們又會(huì)具體應(yīng)用到哪些逆向思維呢？筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了以下幾方面內(nèi)容。

（一）逆向思維一：順推不行則逆推

逆向推導(dǎo)是逆向思維的直接體現(xiàn)，也是教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中非常常用的一種技巧。如果教師將一般探究問題的方法和思路稱為順向推理，那么與常規(guī)解題思路相反的思路就是逆向推理方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，其實(shí)逆向推理和順向推理是沒有絕對(duì)而言的，也是沒有絕對(duì)界限的，需要結(jié)合具體情境具體分析。初中數(shù)學(xué)中涉及的逆向推理主要包含了數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)定理等內(nèi)容的逆向應(yīng)用。

1. 數(shù)學(xué)公式的逆向推理

乘法公式的逆向應(yīng)用是因式分解，如（x+y）2=x2+2xy+y2;以x，y的基本對(duì)稱式，表示x，y的平方和、立方和（差）：x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y）?！盎橄喾磾?shù)相加得零”這一法則的逆向應(yīng)用：0=a+（-a）。在因式分解中折項(xiàng)、添項(xiàng)以及配方都常用這一逆向推導(dǎo)方法。當(dāng)然，數(shù)學(xué)公式的逆向應(yīng)用中我們必須要注意公式成立的前提，有些數(shù)學(xué)公式一逆推了，前提條件可能就失效了，這一點(diǎn)需要教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維是注意。

2. 數(shù)學(xué)定義的逆向推理

數(shù)學(xué)定義可以反面敘述，既可以做定義，也可以做性質(zhì)，這本身就是逆向思維的體現(xiàn)。例如方程解的定義：若m是方程ax2+bx+c=0的解，則am2+bm+c=0;將定義反過來也可以表示為：如果an2+bn+c=0，則n是方程ax2+bx+c=0的解，這就是定義和性質(zhì)互反的推理體現(xiàn)。

3. 數(shù)學(xué)定理中的逆向推理

數(shù)學(xué)定理與數(shù)學(xué)公式不同，數(shù)學(xué)公式可以直接應(yīng)用，但數(shù)學(xué)定理還需要先判斷。比如一個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論不止一項(xiàng)是交換題設(shè)和結(jié)論，即形成一個(gè)逆命題，但逆命題有很多個(gè)，有真的，有假的。通常情況下，一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論都是唯一對(duì)象的定理，它有逆定理、分段式的定理，也有逆定理。

應(yīng)用逆向推理方法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通常就涉及上述反推法。通常情況下，筆者不主張學(xué)生拿到一道題即采用逆向推理法，而是在順向推理有困難的時(shí)候才用逆向推理，兩種思路靈活運(yùn)用，才能提高解題效率。

例題1：|a|<|b|<1，求證：|a+b|<|1+ab|。

顯然，正向思考，此題直接證明是有困難的，無論從左到右來證明，還是從右到左證明，難度都比較大。此時(shí)就可以啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用逆向思維思考，采用逆推法，從結(jié)論倒推出應(yīng)該有的不等式。由|a+b|<|1+ab|兩邊同時(shí)平方，然后分解因式，推導(dǎo)出不等式。

例題2：計(jì)算：3×5×17×257×……×（22n+1）。

本題直接計(jì)算有困難，可由通式22n+1，確定n的自然數(shù)值還原數(shù)3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=a2-b2a-b，快速計(jì)算出答案。