塑料薄膜收卷張力的線性自抗擾控制策略

陳明霞，盧澎澎，張寒

(1.桂林理工大學(xué)機(jī)械與控制工程學(xué)院，廣西桂林 541006； 2.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210018)

塑料薄膜在食品、包裝、化工等領(lǐng)域廣泛使用，是由于其具有質(zhì)量輕、密度小、強(qiáng)度高、耐磨性能優(yōu)、絕緣性好等優(yōu)點(diǎn)[1–3]。吹塑成型是生產(chǎn)塑料薄膜的一種重要工藝，對(duì)應(yīng)的設(shè)備是吹膜機(jī)，張力控制作為吹塑成型過(guò)程中控制系統(tǒng)的核心，其控制精度與穩(wěn)定性絕大程度上影響薄膜產(chǎn)品的最終質(zhì)量。而產(chǎn)品后續(xù)加工生產(chǎn)的質(zhì)量又直接受到薄膜收卷質(zhì)量的影響，張力控制的重要性可想而知。在塑料薄膜生產(chǎn)過(guò)程中，制品生產(chǎn)品質(zhì)直接受收卷好壞的影響，而收卷好壞的影響因素之一是張力的大小。研究發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)過(guò)程中，張力過(guò)大會(huì)使制品過(guò)度伸張，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)使制品產(chǎn)生裂紋，導(dǎo)致機(jī)器停轉(zhuǎn)，以至生產(chǎn)效率大打折扣；反之張力過(guò)小，制品卷曲時(shí)表面因產(chǎn)生褶皺使薄膜制品的使用壽命受到嚴(yán)重影響[4]。因此，為了提高薄膜產(chǎn)品的各項(xiàng)優(yōu)良指標(biāo)和生產(chǎn)效率，在生產(chǎn)過(guò)程中結(jié)合新的控制理論對(duì)塑料薄膜的收卷張力控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前工業(yè)應(yīng)用中，張力控制系統(tǒng)的使用非常廣泛。張力控制經(jīng)常被使用在紡織、冶金、橡膠、電子加工和造紙等行業(yè)設(shè)備的控制中，且它是生產(chǎn)制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。加工生產(chǎn)的布料、紙張、染整布料、板帶等，在其生產(chǎn)過(guò)程中都需要有一定的張力值，同時(shí)在生產(chǎn)制造過(guò)程中對(duì)張力的大小控制有著嚴(yán)格的要求[5]。經(jīng)典比例–積分–微分(PID)控制是傳統(tǒng)張力控制中常用的控制方法，由于此控制方式具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)以至其在工業(yè)生產(chǎn)中使用率頗高。在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中，由于其控制系統(tǒng)較為復(fù)雜及內(nèi)外干擾因素之多并且為實(shí)現(xiàn)高控制精度和效果的要求，故傳統(tǒng)常規(guī)PID控制方式已不再是塑料薄膜收卷張力控制的最優(yōu)控制策略[6]。為解決上述問(wèn)題，筆者提出使用自抗擾控制(ADRC)的方法，此法不依賴(lài)控制系統(tǒng)的精準(zhǔn)模型且無(wú)需直接測(cè)量其所受干擾，也不必提前知道擾動(dòng)作用規(guī)律，可對(duì)被控系統(tǒng)中作用于對(duì)象的所有不確定因素進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償以消除各種情況(包括內(nèi)外擾動(dòng))對(duì)系統(tǒng)的影響。筆者首先對(duì)塑料薄膜收卷張力系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)理分析，結(jié)合線性自抗擾控制(LADRC)方法設(shè)計(jì)LADRC控制器并對(duì)其關(guān)鍵部分—擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)進(jìn)行描述；其次，采用伯德圖在控制器參數(shù)變化下進(jìn)行頻域分析，證明控制器穩(wěn)定性與抑制擾動(dòng)的能力，同時(shí)分析了控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響；最后，對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行時(shí)域仿真并在不同擾動(dòng)作用下與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行仿真，以對(duì)比控制器性能，從而為L(zhǎng)ADRC在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中的應(yīng)用提供參考。

1 塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)分析

簡(jiǎn)化后的塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)模型如圖1所示[7]，圖1中，A／D或D／A表示數(shù)?；蚰?shù)轉(zhuǎn)換機(jī)制，F(xiàn)T表示張力初值，MR表示制動(dòng)時(shí)的力矩。

圖1 塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

根據(jù)生產(chǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)裝置可以得到塑料薄膜的收卷卷繞受力關(guān)系，如圖2所示，圖2中，Mf表示摩擦力矩，ω表示卷軸角速度，R表示薄膜的卷帶半徑，r表示卷軸的芯軸半徑，l表示薄膜的卷寬度，h表示薄膜的厚度，v為薄膜的供應(yīng)速度。根據(jù)圖2可建立動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩平衡方程。

圖2 塑料薄膜收卷受力關(guān)系圖

張力會(huì)受到軸間拉力、制品與機(jī)械間摩擦力、制動(dòng)力矩等影響。建立薄膜的張力大小數(shù)學(xué)模型如式(1)所示。

式中：J——薄膜和卷軸等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

t——時(shí)間。

動(dòng)慣量數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)和式(3)所示。

式中：JR——薄膜的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

Jr——卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

ρ——薄膜密度；

ρ1——卷軸密度。

在薄膜傳送期間，因?yàn)槠渚韼У陌霃揭恢痹诟淖?，故J和ω是時(shí)變的量，根據(jù)v=ωR，可以取得式(4)和式(5)。

由式(1)～式(5)可以得到式(6)。

此外，由于塑料薄膜在傳送過(guò)程中受到的摩擦力矩比較小，如果可以省去不計(jì)，則式(6)就能簡(jiǎn)寫(xiě)為式(7)。

由式(7)可以清楚地看出，在v不改變時(shí)，制動(dòng)的力矩MR和塑料薄膜的卷帶半徑R會(huì)直接影響薄膜張力值的變化。但是在傳送過(guò)程中有不確定的外擾影響，因此需要一個(gè)可以忽略精確模型且可以對(duì)擾動(dòng)(內(nèi)擾和外擾之和)進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償?shù)目刂破鱽?lái)使系統(tǒng)更穩(wěn)定優(yōu)質(zhì)。

忽略溫度及真空壓強(qiáng)對(duì)系統(tǒng)的影響，只考慮伺服電機(jī)電參數(shù)、機(jī)械參數(shù)，被控對(duì)象模型傳遞函數(shù)G(s)如式(8)所示。式(8)中s與實(shí)數(shù)域中時(shí)間t對(duì)應(yīng)。

2 LADRC簡(jiǎn)述

ADRC思想最初是由我國(guó)韓京清研究員提出的，他在1989年就控制理論是“控制論”還是“模型論”研究討論時(shí)，強(qiáng)調(diào)如果要將魯棒性問(wèn)題解決，需脫離數(shù)學(xué)模型束縛[8]。隨后，他于1998年正式提出了ADRC技術(shù)[9]。

ADRC控制器由ESO[10]、非線性狀態(tài)誤差反饋律(NLSEF)[11–12]與跟蹤微分器(TD)[13]組成，其基本結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3中，b0為“補(bǔ)償因子”，z1，z2，z3為ESO的觀測(cè)輸出，u為控制量，u0為誤差反饋控制量，m為系統(tǒng)的輸入，m1為輸入跟蹤值，m2為輸入值微分的跟蹤值，e1為誤差，e2為誤差的微分，y為系統(tǒng)輸出。

圖3 ADRC控制器基本結(jié)構(gòu)圖

對(duì)于參數(shù)繁多并且調(diào)節(jié)復(fù)雜以至于在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)并不是簡(jiǎn)單容易的問(wèn)題，克利夫蘭州立大學(xué)的高志強(qiáng)教授提出一與工程應(yīng)用密切相關(guān)的概念——“頻率尺度”[14]，它將ADRC的參數(shù)和控制器帶寬、觀測(cè)器帶寬聯(lián)系起來(lái)，使ADRC控制器參數(shù)物理意義更加容易理解。同時(shí)將調(diào)節(jié)參數(shù)減少至3個(gè)，使自參數(shù)整定得到進(jìn)一步簡(jiǎn)化，稱(chēng)之為L(zhǎng)ADRC方法，這極大促進(jìn)ADRC在實(shí)際工程中的使用和發(fā)展。因此，筆者采用LADRC方法在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，針對(duì)NSEFL部分采用比例–微分(PD)控制規(guī)律并與控制器帶寬相結(jié)合，針對(duì)ESO部分采用線性ESO (LESO)形式。

3 LADRC控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器分析

經(jīng)過(guò)塑料薄膜收卷張力系統(tǒng)模型分析，發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)可等效為二階系統(tǒng)，因此設(shè)計(jì)LADRC控制器控制階次對(duì)象為二階。以下分析各式中表示其相對(duì)應(yīng)的一階微分，為二階微分。

設(shè)二階對(duì)象的微分方程形式表示為：

式中：y——系統(tǒng)輸出量；

d——未知外部擾動(dòng)；

b——不確定的模型參數(shù)；

u——控制量；

a1，a2——被控系統(tǒng)參數(shù)；(,,)

fyyd˙——總擾動(dòng)(影響對(duì)象的系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)與未知外部擾動(dòng)d的綜合)。

實(shí)際工程中，b參數(shù)包含已知部分和未知部分，設(shè)已知部分用b0表示，則未知部分表示為b–b0，則二階對(duì)象表示為：

式中：g——需要觀測(cè)的總擾動(dòng)。

由式(11)設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)LESO：

式中：z——LESO的狀態(tài)估計(jì)輸出，z=［z1z2z3］T；

L——LESO的增益，L=［β1β2β3］T。

控制量u=(u0–z3)／b0(其中，u0為誤差反饋控制量)，采用PD控制規(guī)律時(shí)，u0=kp(m–z1)+kd(m·–z2) (其中，m為輸入值，kp，kd表示PD控制規(guī)律參數(shù))，此時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)，PD控制規(guī)律傳遞函數(shù)。對(duì)于二階LADRC，選擇的系統(tǒng)觀測(cè)器和控制器參數(shù)分別如式(13)所示[14–16]。

式中：ωo——觀測(cè)器帶寬；

ωc——控制器帶寬。

由以上分析可知，LADRC方法主要調(diào)節(jié)的參數(shù)有三個(gè)：b0，ωo，ωc。

3.2 控制器性能頻域與時(shí)域綜合分析

對(duì)于上述二階系統(tǒng)，LADRC傳遞函數(shù)形式結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖4中，R(s)表示輸入，Y(s)表示輸出，U(s)表示控制量，P(s)表示對(duì)象，C(s)為反饋環(huán)節(jié)(即控制器)，T(s)為跟蹤前饋環(huán)節(jié)，D(s)為擾動(dòng)。

圖4 二階LADRC傳遞函數(shù)形式結(jié)構(gòu)

則LADRC頻域表達(dá)形式可表示為：

式(14)和式(15)中，K為系數(shù)，I為單位矩陣，，。

由式(15)可以看出，T(s)分子階次大于分母，帶來(lái)相位超前，因而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性與抑制擾動(dòng)性能取決于C(s)，故進(jìn)一步分析在ωo，ωc變化的情況下其幅頻特性與時(shí)域下整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)在LADRC作用下輸出響應(yīng)的關(guān)系。

b0，ωc一定時(shí)，ωo變化下C(s)伯德圖與階躍輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)，及b0，ωo一定時(shí)，ωc變化下C(s)伯德圖與階躍輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)如圖5所示。

圖5 ωo，ωc變化時(shí)LADRC頻域與時(shí)域圖

圖5a和圖5c兩頻域圖中，當(dāng)三個(gè)參數(shù)中的兩個(gè)固定時(shí)，隨著ωo，ωc逐漸增大，C(s)的伯德圖中對(duì)應(yīng)的頻率也逐漸增大，對(duì)系統(tǒng)高頻分量抑制減弱。此時(shí)圖5b和圖5d兩時(shí)域圖中，隨著ωo，ωc的逐漸增大，系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間逐漸加快，系統(tǒng)快速性提高?？梢园l(fā)現(xiàn)控制器不受高頻未建模系統(tǒng)擾動(dòng)影響。從圖5中可以得出，ωo與ωc是成正比例關(guān)系存在的，以往的觀點(diǎn)得到驗(yàn)證。另外，也發(fā)現(xiàn)ωc對(duì)系統(tǒng)的影響比ωo更為顯著。對(duì)比參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)各曲線，可以發(fā)現(xiàn)控制器參數(shù)必須互相調(diào)節(jié)才能達(dá)到更好效果。

4 仿真分析

通過(guò)MATLAB仿真軟件中的simulink組件對(duì)所設(shè)計(jì)的塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)進(jìn)行LADRC與傳統(tǒng)PID控制的模型搭建，首先，對(duì)LADRC方法進(jìn)行單獨(dú)的仿真與分析，并且針對(duì)不同干擾信號(hào)對(duì)LADRC方法的時(shí)域影響進(jìn)行仿真；其次，在外加不同類(lèi)別擾動(dòng)的情形下對(duì)兩控制器進(jìn)行仿真對(duì)比并對(duì)各控制器仿真結(jié)果及性能作出分析。進(jìn)行仿真分析時(shí)采用的收卷張力控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)見(jiàn)式(8)。

4.1 LADRC法的張力控制仿真分析

(1)白噪聲作用下LADRC仿真。

建立LADRC下的收卷張力仿真模型，此系統(tǒng)為恒張力收卷系統(tǒng)，為方便觀察起見(jiàn)，視單位階躍信號(hào)作為輸入信號(hào)，將塑料薄膜收卷張力恒定目標(biāo)值設(shè)為80 N。首先研究白噪聲作用下LADRC方法對(duì)此系統(tǒng)的作用效果。在B點(diǎn)(見(jiàn)圖3)處加入圖6a所示的白噪聲，其參數(shù)設(shè)置：Noise Power (PSD高度)為0.001，Sample time (相關(guān)時(shí)間tc)為0.001；其中調(diào)節(jié)控制器參數(shù)為：h=10–3(步長(zhǎng))，b0=0.25，ωo=5，ωc=1.8。仿真結(jié)果如圖6b~圖6e所示。

從圖6b~圖6e中顯然可以看出LADRC方法中的ESO所處的核心地位，其觀測(cè)出的效果與起初系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)基本無(wú)太大出入，信號(hào)跟蹤效果甚優(yōu)，可以很好地達(dá)到控制目的。圖6e可以清晰地看到誤差能較快地保持在零附近，證明此法是可行的。

圖6 LADRC控制器作用效果圖

(2)不同點(diǎn)加入擾動(dòng)LADRC仿真。

分別在輸出位置B點(diǎn)(見(jiàn)圖3)加入圖6a所示的白噪聲，其參數(shù)設(shè)置：Noise Power (PSD高度)為0.001、Sample time (相關(guān)時(shí)間tc)為0.001；在控制量u處A點(diǎn)(見(jiàn)圖3)加入圖7a所示的白噪聲，Noise Power (PSD高度)為0.01、Sample time (相關(guān)時(shí)間tc)為0.0001。在薄膜收卷張力控制系統(tǒng)不同點(diǎn)加入干擾LADRC的仿真結(jié)果如圖7b所示。

從圖7可以看出，無(wú)論在何處加入不同范圍或者幅值的同種干擾信號(hào)，對(duì)最終結(jié)果基本不會(huì)產(chǎn)生影響。說(shuō)明LADRC控制方法可以有效地對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)并且補(bǔ)償，抗干擾能力較強(qiáng)。

圖7 不同作用點(diǎn)擾動(dòng)下系統(tǒng)響應(yīng)曲線

4.2 LADRC與PID控制對(duì)比

對(duì)收卷張力控制系統(tǒng)分別采用傳統(tǒng)PID控制和LADRC進(jìn)行仿真對(duì)比，傳統(tǒng)PID調(diào)節(jié)參數(shù)分別為：比例系數(shù)(Kp)=0.5，微分時(shí)間常數(shù)(Td)=8，積分時(shí)間常數(shù)(Ti)=12。分別對(duì)系統(tǒng)時(shí)間(t)=45 s時(shí)加入幅值為5的階躍干擾，正弦信號(hào)干擾和功率譜密度圖高度為0.001、噪聲相關(guān)時(shí)間為0.001的白噪聲干擾，所得結(jié)果如圖8、表1所示。

通過(guò)圖8可以看出：①在快速性方面，無(wú)論在有無(wú)干擾的情況下，LADRC方法都比傳統(tǒng)PID控制方法優(yōu)先達(dá)到控制目標(biāo)效果，快速性尤為可見(jiàn)；②在穩(wěn)定性控制效果及魯棒性方面，無(wú)論對(duì)系統(tǒng)加入何種干擾，LADRC方式比傳統(tǒng)PID控制方式控制效果明顯，對(duì)干擾的抑制力效果更為明顯，魯棒性更好。由表1可以明顯看出，不加干擾時(shí)LADRC調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)比PID控制快得多；LADRC方式下加入階躍干擾后再次達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所需要的時(shí)間遠(yuǎn)超于PID控制方式；在白噪聲干擾下達(dá)到設(shè)定值時(shí)PID控制方式產(chǎn)生的誤差較大，而LADRC方式幾乎接近張力設(shè)定值。以上都表明LADRC方式相比傳統(tǒng)PID控制方式更有優(yōu)越性。

圖8 不同擾動(dòng)下LADRC與PID控制輸出響應(yīng)

表1 兩種控制方法性能對(duì)比

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)LADRC控制器在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中的使用可以發(fā)現(xiàn)，控制器核心部分—ESO的作用明顯且達(dá)到預(yù)期效果，LADRC控制器對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)與補(bǔ)償能力得到證明。在與傳統(tǒng)PID控制方式的對(duì)比中也發(fā)現(xiàn)，LADRC方法在控制效果的穩(wěn)定性、快速性、魯棒性方面都有優(yōu)越之處。通過(guò)仿真證明了LADRC方法在處理塑料薄膜收卷張力控制問(wèn)題時(shí)是可行的，在實(shí)際生產(chǎn)中采用LADRC方法會(huì)有利于提高塑料薄膜質(zhì)量，提高生產(chǎn)率。