分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子相關(guān)的一個(gè)重排優(yōu)化問(wèn)題

邱 崇

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223001)

重排優(yōu)化問(wèn)題是指在某個(gè)可測(cè)函數(shù)所有重排函數(shù)組成的集合上的最優(yōu)化問(wèn)題，該問(wèn)題有著豐富的物理背景，在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、波動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。

19世紀(jì)著名物理學(xué)家 Thomson (Lord Kelvin) 曾提出如下一個(gè)平面流體力學(xué)問(wèn)題：若某一區(qū)域流體的渦量場(chǎng)已知，在該渦量場(chǎng)所有可能的分布中能否找到某種分布使得該區(qū)域流體動(dòng)能達(dá)到最大或最??？1989年Burton將該問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下的重排優(yōu)化問(wèn)題：

max{E(g):g∈R(f)}和min{E(g):g∈R(f)}

其中f為區(qū)域Ω上已知的渦量場(chǎng)，g為f的一個(gè)重新分布或重排函數(shù)，E(g)表示渦量場(chǎng)為g時(shí)流體動(dòng)能，R(f)為f的所有重排函數(shù)組成的集合。

利用泛函分析中鞍點(diǎn)定理等工具并結(jié)合重排函數(shù)集合的凸性等性質(zhì)，Burton得到了以上兩個(gè)重排優(yōu)化問(wèn)題解的存在性，從而解決了Lord Kelvin的問(wèn)題[1-2]。之后更多微分方程中的重排優(yōu)化問(wèn)題被提出并得到了廣泛的研究[3-6]。近年來(lái)，非局部算子相關(guān)的重排優(yōu)化問(wèn)題研究引起了越來(lái)越多的關(guān)注。

Qiu等[7]考慮了如下方程相關(guān)的重排優(yōu)化問(wèn)題，

其中Lθs是分?jǐn)?shù)階Laplace型算子定義如下：

Lθsu(x)

得到了相應(yīng)重排優(yōu)化問(wèn)題解的存在性等結(jié)果。已有文獻(xiàn)大多討論的是分?jǐn)?shù)階Laplace算子相關(guān)的重排優(yōu)化問(wèn)題[8-13]，而分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子相關(guān)的能量泛函重排優(yōu)化問(wèn)題尚未見(jiàn)報(bào)道。由于分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子不僅具有非局部性而且具有非線性性，因此其相關(guān)的重排優(yōu)化問(wèn)題研究需要克服更多困難。

本文將考慮如下的分?jǐn)?shù)階Poisson方程

f(x)為某個(gè)可測(cè)函數(shù)?？梢宰C明，對(duì)f(x)∈Lq(Ω)方程(1)具有唯一解，記為uf。

本文將討論如下的重排優(yōu)化問(wèn)題:

其中Φ(g):R(f)→R為能量泛函

1 預(yù)備知識(shí)與常用引理

設(shè)f為有界光滑區(qū)域Ω?RN上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)，其生成的重排函數(shù)空間R(f)是指由所有滿足條件：

meas({x∈Ω:g(x)≥a})=meas({x∈Ω:f(x)≥a}),?a∈R

并記:

Ws,p(RN)={u∈Lp(RN):[u]s,p<∞}

為以:

為范數(shù)的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間，其中0

W0s,p(Ω)={u∈Ws,p(RN):u≡0,x∈RN〗Ω}

定義1 稱u∈W0s,p(Ω)為分?jǐn)?shù)階Poisson方程(1)的一個(gè)解，如果

注意到，方程(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函If:W0s,p(Ω)→R為:

本文中常用的引理如下：

引理2 (Burton[2]引理2.1)若f∈Lp(Ω),1≤p<∞，則對(duì)任意的g∈R(f)都有g(shù)∈Lp(Ω)且‖g‖Lp=‖f‖Lp。

3 分?jǐn)?shù)階Poisson方程(1)的基態(tài)解

其中1

由于p≥2，所以‖u‖→∞時(shí)一定有If(u)→∞。因此泛函If是強(qiáng)制的。

=If(v)

因此，綜上可得uf是方程(1)的一個(gè)基態(tài)解。

下面證明uf是分?jǐn)?shù)階Poisson方程(1)的唯一解。

若記uf(x,y)=uf(x)-uf(y)，wf(x,y)=wf(x)-wf(y),v(x,y)=v(x)-v(y)則上兩式即為

相減可得

特別地，令v=uf-wf，則

由Clarkson不等式，可得

(|uf(x,y)|p-2uf(x,y)-|wf(x,y)|p-2wf(x,y))(uf(x,y)-wf(x,y))≥C|uf(x,y)-wf(x,y)|p

所以，

矛盾。因此是方程(1)的唯一解。證畢。

4 最優(yōu)化問(wèn)題(Opt)的極小點(diǎn)

根據(jù)引理2，‖g‖Lq=‖f‖Lq，由上式即可推知A一定是有限數(shù)。

任取{gi}?R(f)為一個(gè)極小化點(diǎn)列，即

再結(jié)合Holder不等式可推出

再結(jié)合(4)，得到

由性質(zhì)1，

5 結(jié)論

本文研究了一類非局部算子即分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子相關(guān)的一個(gè)能量泛函重排優(yōu)化問(wèn)題。該算子不僅是非局部算子而且具有非線性性。首先，利用合適的變分框架并使用全局極小原理得到分?jǐn)?shù)階Poisson 方程的基態(tài)解。然后，通過(guò)反證法并結(jié)合Clarkson不等式得到方程解的唯一性。之后，使用重排優(yōu)化理論研究了相關(guān)的一個(gè)能量泛函極小重排優(yōu)化問(wèn)題。最后，通過(guò)分析極小化序列的性質(zhì)證明了該重排優(yōu)化問(wèn)題的可解性。目前尚未有分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子相關(guān)的能量泛函重排優(yōu)化問(wèn)題文獻(xiàn)發(fā)表，因此本文的結(jié)果是新的。更多非局部算子相關(guān)的重排優(yōu)化問(wèn)題研究尚待今后進(jìn)一步深入開(kāi)展。