復(fù)雜性科學(xué)視角下數(shù)學(xué)教學(xué)邏輯的建構(gòu)

張明華

摘 要 復(fù)雜性科學(xué)要求人們以整體、系統(tǒng)、非線性、開放性等的思維方式打量世界。從復(fù)雜性科學(xué)視角來研究課堂教學(xué)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)具有整體涌動(dòng)性、動(dòng)態(tài)生成性和有序組織性等特性。基于復(fù)雜性科學(xué)視角，教師要以學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)發(fā)展”作為課堂教學(xué)邏輯建構(gòu)的內(nèi)核，以“積極在場”作為課堂教學(xué)邏輯建構(gòu)的根基，以“有序組織”作為課堂建構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)，以“可能生成”作為數(shù)學(xué)邏輯建構(gòu)的責(zé)任。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 復(fù)雜性科學(xué) 邏輯建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教師教學(xué)思維的現(xiàn)實(shí)化，更是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的邏輯化。運(yùn)用復(fù)雜性思維，能有效助推師生數(shù)學(xué)教學(xué)思維的優(yōu)化?！皬?fù)雜性科學(xué)”肇始于1928年貝塔朗菲的系統(tǒng)論之研究。基于復(fù)雜性視角研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要把握數(shù)學(xué)課堂諸要素，更要把握數(shù)學(xué)課堂諸要素之間的關(guān)系，包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的流演互育發(fā)展，要以“面向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身”為指導(dǎo)理念，以復(fù)雜性科學(xué)為方法論基礎(chǔ)，以“邏輯考量和有序組織”為標(biāo)準(zhǔn)，以“積極在場”為先決條件，以“多邊對(duì)話”為根本保障，以“動(dòng)態(tài)生成性”為實(shí)踐樣態(tài)。

一、復(fù)雜性科學(xué)視角下教學(xué)邏輯的審視

從復(fù)雜性視角來看，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是師生的共同探險(xiǎn)，是一種面向數(shù)學(xué)未知世界的探險(xiǎn)。復(fù)雜性視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，具有整體涌動(dòng)性、動(dòng)態(tài)生成性、有序組織性等特質(zhì)。

1.整體涌動(dòng)性

復(fù)雜性科學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，遵循著格式塔心理學(xué)的“完形學(xué)說”，具有“整體涌動(dòng)性”的特質(zhì)。所謂“整體涌動(dòng)性”，是指學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)不是以要素形式呈現(xiàn)的，而是以一種整體的姿態(tài)召喚、貼近學(xué)生。離開了整體，各個(gè)部分就無從談起、無法理解。衡量學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)的效能，也不是看某一個(gè)環(huán)節(jié)，或者某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，而是要看課堂整體。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“簡易方程”中的“行程問題”時(shí)，教師不僅僅要著眼于學(xué)生的問題解決，更要著力于引導(dǎo)學(xué)生深入分析。從畫圖到寫等量關(guān)系，從設(shè)定未知數(shù)到列方程，教師要始終引導(dǎo)學(xué)生展開整體性思考。復(fù)雜性科學(xué)視角下的課堂教學(xué)，不僅要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的整體性，更要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性。

2.動(dòng)態(tài)生成性

復(fù)雜性科學(xué)視角下的教學(xué)觀認(rèn)為，課堂學(xué)習(xí)系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)生成的，具有非線性的特質(zhì)。偶然、不確定的因素隨時(shí)出現(xiàn)，往往需要教師重構(gòu)課堂。重構(gòu)課堂，要求教師的數(shù)學(xué)教學(xué)不能固守教案預(yù)設(shè)，而應(yīng)當(dāng)隨之展開調(diào)整甚至重構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的教學(xué)不能按部就班，而應(yīng)當(dāng)善于與“偶然”“無序”“生成”打交道，要善于捕捉學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中的易變性、反常性、隨機(jī)性，用有序的原則、規(guī)律等去駕馭無償、無序、變易，進(jìn)而在不確定性、模糊性、偶然性中去探索。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“平時(shí)四邊形的面積”時(shí)，有學(xué)生通過看教科書，認(rèn)為自己已經(jīng)掌握了平行四邊形的面積計(jì)算方法，并且提前說出了平行四邊形的面積計(jì)算公式。為此，教師可以變探究“平行四邊形的面積公式”為對(duì)“平行四邊形的面積公式”進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而保持學(xué)生的研究熱情。

3.有序組織性

從復(fù)雜性科學(xué)視角看來，課堂是一個(gè)系統(tǒng)，充滿著有序的和無序的變化。系統(tǒng)的內(nèi)部要素是相互轉(zhuǎn)化、相互生成、相互促進(jìn)的，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部諸要素的互動(dòng)。系統(tǒng)本身還具有一種自我完善、自我發(fā)展、自我提升的功能，這就是系統(tǒng)的自組織性。在數(shù)學(xué)課堂這一系統(tǒng)中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體性、能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。為此，教師可以用“大問題”來啟發(fā)，用“大任務(wù)”來導(dǎo)引。比如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”這一部分內(nèi)容比較雜亂、知識(shí)比較瑣碎。為引導(dǎo)學(xué)生理解圓的圓心、直徑、半徑的內(nèi)涵及關(guān)系，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)：“認(rèn)識(shí)圓各部分的名稱”和“探究圓的特征”。這樣的活動(dòng)，賦予學(xué)生充分自主探究的時(shí)空，促進(jìn)了學(xué)生的自我生成與發(fā)展。

二、 復(fù)雜性科學(xué)視角下教學(xué)邏輯的建構(gòu)

基于復(fù)雜性科學(xué)視角，教師要改變傳統(tǒng)的教學(xué)思維邏輯，打通自身思維通道與學(xué)生思維通道的關(guān)聯(lián)，按照科學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)及學(xué)生認(rèn)知加工順序組織教學(xué)。

1.以“積極在場”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的根基。

“在場性”是復(fù)雜性數(shù)學(xué)課堂教學(xué)最為基本的特征，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)邏輯建構(gòu)的根基。在復(fù)雜性課堂上，諸多要素都是積極在場的，都應(yīng)當(dāng)獲得在場的積極性。師生作為最為鮮活的因素更應(yīng)如此。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的課堂表現(xiàn)、樣態(tài)、需要，分析學(xué)生數(shù)學(xué)在場性學(xué)習(xí)的特征、變化和生成。師生、生生之間必須展開積極的互動(dòng)。作為教師，要跟進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，把握數(shù)學(xué)課堂中的不確定性因素。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的能量交換，形成一個(gè)平衡化的課堂耗散結(jié)構(gòu)。例如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)的“平均數(shù)”，學(xué)生遇到了這樣一道題：一個(gè)游泳池的平均深度是120 （）。在填出了單位“厘米”之后，學(xué)生突然發(fā)出了這樣的聲音：有沒有危險(xiǎn)啊？這是一個(gè)“另類聲音”，但卻與平均數(shù)的內(nèi)涵意義深度關(guān)聯(lián)。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生深度交流。有學(xué)生說，有危險(xiǎn)，因?yàn)槠骄疃炔皇敲恳粋€(gè)地方的深度，有的地方可能比這個(gè)深度深一些，有的地方可能比這個(gè)深度淺一些;有學(xué)生說，游泳池不同于家鄉(xiāng)的水塘，家鄉(xiāng)的水塘每個(gè)地方的深淺不一，而游泳池每一個(gè)地方的深度應(yīng)該是相等的，所以游泳池的平均深度120厘米應(yīng)該沒有危險(xiǎn);有學(xué)生質(zhì)疑，既然游泳池每一個(gè)地方的深度都相等，那么為什么還要加上“平均”兩個(gè)字呢？有學(xué)生說，游泳池有深水區(qū)和淺水區(qū)，如果平均深度是120厘米的話，淺水區(qū)是沒有危險(xiǎn)的，而深水區(qū)有一定的危險(xiǎn)，等等。借助于課堂的“熵流”，引發(fā)了學(xué)生的積極研討，讓學(xué)生對(duì)“平均數(shù)”的認(rèn)知走向了深度。

2.以“經(jīng)驗(yàn)累積”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的內(nèi)核

“經(jīng)驗(yàn)累積”是學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的核心，不僅僅包括數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的累積以及還包括一般性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的累積，已有知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等的豐盈。在復(fù)雜性科學(xué)視角下，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程不僅要以學(xué)科知識(shí)邏輯為根基，更要以學(xué)生的具體學(xué)情為根基，依此對(duì)相關(guān)的教學(xué)預(yù)設(shè)進(jìn)行調(diào)整、糾偏，使之更好地適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。以蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積”教學(xué)為例，教材安排的是“倍拼法”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知。但學(xué)生對(duì)“倍拼法”比較陌生，而對(duì)“剪拼法”比較熟悉，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時(shí)，運(yùn)用的就是“剪拼法”。基于此，筆者調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)思路，從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生自主探究。筆者給學(xué)生提供結(jié)構(gòu)性的素材，包括直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。對(duì)銳角三角形和鈍角三角形，很多學(xué)生都運(yùn)用剪拼法進(jìn)行探究。但對(duì)于直角三角形，由于學(xué)生有拼搭三角板的經(jīng)驗(yàn)，因而用倍拼法將兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成了長方形。受此啟發(fā)，有學(xué)生將兩個(gè)完全相同的銳角三角形和鈍角三角形拼成了平行四邊形。由此，學(xué)生在其經(jīng)驗(yàn)的土壤上自然生長出“倍拼法”。這種從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過學(xué)生自主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生累積數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.以“有序組織”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要不斷反觀自身，與其自身實(shí)踐進(jìn)行積極對(duì)話。教師要做一個(gè)反思性的實(shí)踐者，重建自身的教學(xué)實(shí)踐。作為教師，要精心組織教學(xué)活動(dòng)內(nèi)容、活動(dòng)序列，并在教學(xué)目標(biāo)統(tǒng)攝下處理好課堂教學(xué)層次，要整合數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯與學(xué)生的心理發(fā)展邏輯，消除兩者的歧義和落差，著眼于教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知化。復(fù)雜性科學(xué)視角下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)當(dāng)將“有序組織”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“相遇問題”時(shí)，教師會(huì)讓學(xué)生在課堂上表演相遇的場景，并且根據(jù)題意畫出相關(guān)的線段圖。然而，學(xué)生在題意出現(xiàn)變化時(shí)，仍然無法解決問題。究其根本，是因?yàn)閷W(xué)生沒有把握相遇問題的諸多復(fù)雜情況。筆者在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)了復(fù)雜性問題情境，引導(dǎo)學(xué)生有序分析情境。比如動(dòng)態(tài)展現(xiàn)甲乙雙方從“相離”到“相遇”再到“相離”的過程。在此基礎(chǔ)上，和學(xué)生一起研討“相向而行”“相背而行”等問題。不僅如此，筆者在教學(xué)中還借助多媒體設(shè)備，展示了“一方先出發(fā)而后另一方出發(fā)”“一方中途休息另一方繼續(xù)行駛”等相關(guān)的內(nèi)容。通過有序組織，讓學(xué)生對(duì)相遇問題形成整體性的認(rèn)知。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)思考、整體謀劃，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)成為一個(gè)開放性、動(dòng)態(tài)性的平衡系統(tǒng)，成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高能場域。

4.以“可能生成”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的旨?xì)w

復(fù)雜性科學(xué)認(rèn)為，課堂是一個(gè)動(dòng)態(tài)、開放、生成的空間?；趶?fù)雜性科學(xué)視角，教師要以“可能生成”作為教學(xué)邏輯建構(gòu)的旨?xì)w。這樣的結(jié)構(gòu)有助于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)更加精彩。

復(fù)雜性科學(xué)認(rèn)為，在系統(tǒng)中整體大于各部分之和。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的探究方式不應(yīng)是單一的，而應(yīng)是多向的，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是一個(gè)個(gè)板塊的集結(jié)。比如“圓的面積”這一部分內(nèi)容，教材中是將圓轉(zhuǎn)化成長方形。很多教師照本宣科，引導(dǎo)學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化成長方形。學(xué)生的思路被禁錮在預(yù)設(shè)的、特定的轉(zhuǎn)化思路之中。而筆者在教學(xué)中，沒有對(duì)學(xué)生的探究規(guī)劃具體路線，只是為學(xué)生提供一個(gè)方向，比如可以將圓轉(zhuǎn)化成已學(xué)圖形的面積。如此，學(xué)生就可以調(diào)動(dòng)自我的探究潛質(zhì)，展開多向性的探究。比如有學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化成三角形，根據(jù)三角形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式;有學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化成梯形，根據(jù)梯形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式，等等。在多向推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，學(xué)生彼此之間展開交流，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到將圓轉(zhuǎn)化成其他圖形的一致性，即“化曲為直”，都是應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的思想方法，即“將未知轉(zhuǎn)化成已知”“將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉”“將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單”，等等。在數(shù)學(xué)課堂上，教師要秉持復(fù)雜性思維，只有這樣，才能捕捉到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場域中有意義、有價(jià)值的課程資源，才能開辟更多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可能性空間。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]