從一道題目的探索思考教學(xué)思路的調(diào)整

朱利文

(福建省廈門市思明區(qū)松柏中學(xué) 361012)

一、寫此文的靈感

回顧筆者在拋物線教學(xué)中，鑒于拋物線在考試中出現(xiàn)的位置和考查形態(tài)，在常規(guī)教學(xué)里，解題熟練度與計(jì)算效率的訓(xùn)練時(shí)間的比重偏大.但若過(guò)于頻繁受限于此，容易造成知識(shí)模塊的疲憊，不利于該模塊的教學(xué)活動(dòng)深入.筆者也在努力地探索與嘗試，誠(chéng)然對(duì)思維訓(xùn)練方面，刷百題不如“吃透”一題.有一次在課間看見(jiàn)一個(gè)學(xué)生在寫物理作業(yè)，學(xué)生畫著拋物線.我一問(wèn)之下，得知學(xué)生在寫平行板電容器里帶電粒子偏轉(zhuǎn)的作業(yè)，而其中的類平拋運(yùn)動(dòng)軌跡不正是拋物線么？同時(shí)想起有這么一道題，難度不大，卻不禁發(fā)人深思.于是寫下這次的探索過(guò)程.

二、問(wèn)題呈現(xiàn)

例題已知點(diǎn)E是拋物線C:y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋線C上.在△EFP中，若sin∠EFP=μsin∠FEP，則μ的最大值為_(kāi)___.

解析△PEF中，通過(guò)正弦比容易聯(lián)想到邊之比，結(jié)合拋物線的定義，又是最值問(wèn)題.所以基礎(chǔ)解法很自然地想到列出關(guān)于μ的函數(shù)關(guān)系式求最值.又由于拋物線和坐標(biāo)軸的對(duì)稱性，在本文的處理中，都把點(diǎn)P記在第一象限.

圖1

三、探索

1.規(guī)規(guī)矩矩學(xué)科內(nèi)

探索切線的方法：

2.逐漸跨學(xué)科

方法三我們先看一個(gè)引理

圖3

引理1如圖，過(guò)拋物線C：y2=2px上一點(diǎn)P(x0,y0)作切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)A，過(guò)A作直線交拋物線C于點(diǎn)B、C，過(guò)點(diǎn)B、C、P作準(zhǔn)線的垂線BM、CN、PH，垂足為M、N、H.則有FA為∠AFB的外角平分線，且AF⊥FP.③

∴2δ+∠BFC=180°,現(xiàn)固定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直線ABC，點(diǎn)B與C靠近，∠BFC減小.

當(dāng)臨界狀態(tài)點(diǎn)B與C重合于P時(shí)，∠BFC=0°.此時(shí)δ=90°，即AF⊥FP.

另外，記直線n為切線AP的法線，∵△PFA≌△PHA(AAS)，∴上圖中φ=θ=γ，進(jìn)而i=r.

聯(lián)想到“一面二角三線”以AP為鏡面，F(xiàn)P為入射光線，n為法線.則由光的反射定律，知PD為即為反射光線.

拓展至三維空間，對(duì)于旋轉(zhuǎn)拋物面鏡，通過(guò)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)鏡面反射后的光線都平行于對(duì)稱軸.③

回到原題，對(duì)于此題，即該圖的點(diǎn)A與E重合，則∠PHE=∠HEF=∠EFP=90°，又PF=PH

∴PHEF為正方形，以下同方法一.

方法四讓我們?cè)倏匆粋€(gè)引理

圖4

引入運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，是為了利用一個(gè)非常有效的現(xiàn)象結(jié)論：那就是質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)處的瞬時(shí)速度方向，也為改點(diǎn)處的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向.

回到本題.由運(yùn)動(dòng)結(jié)論知OA(即OA為△EFP的中位線)又為正方形，以下同方法一.

四、總結(jié)與反思

研究后，想起自己一開(kāi)始面對(duì)此題的錯(cuò)誤認(rèn)知，明白不應(yīng)該去輕易地小看一道經(jīng)典問(wèn)題.誠(chéng)然在最開(kāi)始看待這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，筆者只是想著如何解決問(wèn)題，能不能有什么拓展結(jié)論方便之后的使用.當(dāng)發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)構(gòu)太過(guò)特殊以至于難以得到推廣結(jié)論時(shí)，就開(kāi)始有些輕視了.但出于不甘心，也出于相信經(jīng)典題之所以能成為經(jīng)典，一定有它的不同之處.于是靜下心琢磨，發(fā)現(xiàn)此題的一些內(nèi)涵，便寫了此文.

通過(guò)化歸與遷移，明白這道小題本身或許不方便做拓展推廣，但在解決它的過(guò)程中，卻可以融合多個(gè)知識(shí)的應(yīng)用.放在復(fù)習(xí)中，這樣關(guān)聯(lián)多個(gè)模塊，能做到中心開(kāi)花的效果.通過(guò)該題的總結(jié)，可以促進(jìn)發(fā)散性思維養(yǎng)成與關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)，同時(shí)還有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并強(qiáng)化提升學(xué)生的記憶效率.

在①處體現(xiàn)的是均值不等式的味道.在②處體現(xiàn)拋物線的一般切線方程的形態(tài).在③處為拋物線的光學(xué)性質(zhì).④處體現(xiàn)的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的正交分解法，是高中物理解題的基本功之一.

在總結(jié)反思后，讓自己對(duì)這類問(wèn)題有了更深的認(rèn)識(shí).整理整理，再規(guī)劃好如何引導(dǎo)學(xué)生.循序漸進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生要如何操作，才能思考到這些環(huán)節(jié).寫下此文，也是一次記錄，告訴自己得再接再厲.題型強(qiáng)練的傳統(tǒng)模式得逐漸轉(zhuǎn)化成思維引導(dǎo)以學(xué)生為主體的多元化教學(xué)模式，才能從根本提升教學(xué)品質(zhì).這不是三分鐘熱度就能搞定的事，需要長(zhǎng)期一步一個(gè)腳印去踏實(shí)行動(dòng)才能實(shí)現(xiàn).共勉之……