數(shù)形結(jié)合與絕對值最值問題的整合及應(yīng)用

林偉燕

[摘? ?要]絕對值最值問題是需要學(xué)生結(jié)合絕對值的幾何意義和代數(shù)意義進(jìn)行運算、推理、遷移的一種題型.縱觀近年來各省市的數(shù)學(xué)中考試題，絕對值最值問題日漸成為新亮點.解絕對值問題要從絕對值的幾何意義與代數(shù)意義兩方面去尋找著力點，重點是掌握求幾個絕對值之和的最小值的方法.文章立足絕對值的代數(shù)意義與幾何意義通過數(shù)形結(jié)合解決絕對值最值問題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞]絕對值;最值問題;數(shù)形給合

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0029-03

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).當(dāng)解決數(shù)學(xué)問題時，通常會將抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖形結(jié)合起來.縱觀近年來各省市的數(shù)學(xué)中考試題，絕對值最值問題日漸成為新亮點.基于此，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義，從而破解絕對值最值問題難點，有效掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.本文通過實例探究來分析數(shù)形結(jié)合與絕對值最值問題的整合及應(yīng)用.

絕對值之和求最小值分兩類：

1.未知數(shù)[x]系數(shù)為1，形如[x+2+x-1];

2.未知數(shù)[x]系數(shù)不為1，形如[x+2+2x-1].

探究一 未知數(shù)x系數(shù)為1 的情況

1.求[x+2+x+1]的最小值

解法一：利用絕對值的代數(shù)意義.

當(dāng)[x≥0]時，[x=x];當(dāng)[x<0]時，[x=-x].

當(dāng)[x<-2]時，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如圖1）;

圖1

當(dāng)[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如圖2）;

圖2

當(dāng)[x≥-1]時，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如圖3）;

圖3

∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值為1.

解法二：[x+2+x+1]的幾何意義是在數(shù)軸上找一點x，使它到-2和-1的距離之和最小.

圖4

由圖4可知，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，當(dāng)[-2≤x≤-1]時，[x]到-2和-1的距離之和最短，即[x+2+x+1]有最小值，最小值為1.

2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值

解法一：

當(dāng)[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4]（如圖5）;

圖5

當(dāng)[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2]，∴[3<-x+2≤4]（如圖6）;

圖6

當(dāng)[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4]，∴[3≤x+4<5]（如圖7）;

圖7

當(dāng)[x≥1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5]（如圖8）;

圖8

∴[x+2+x+1+x-1≥3]， 當(dāng)[x=-1]時，有最小值3.

解法二：[x+2+x+1+x-1]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點[x]，使它到-2，-1和1三個點的距離之和最小.

圖9

由圖9可知，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，當(dāng)[-2≤x≤1]時， [x]到-2和1的距離之和最短（即[x+2+x-1]有最小值3）;當(dāng)[x=-1]時，x到-1的距離最短（即[x+1]有最小值0），所以當(dāng)[x=-1]時，[x+2+x+1+x-1]有最小值，最小值為3.

3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值

解法一：利用絕對值的代數(shù)意義求解.

定義：使得[ax+b=0]的變量[x]的值為[ax+b]的 “零點”，即[ax+b]的零點為[-ba].

[x-2]的零點為2.

[x+1]的零點為-1.

[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零點分別是[-2]，[-1]，1，2，

（1）當(dāng)[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x]，

∵[x<-2]，∴[-4x>8]，即原式[>8].

（2）當(dāng)[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].

∵[-2≤x<-1]，∴[6<-2x+4≤8]，即 [6<]原式[≤8].

（3）當(dāng)[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].

（4）當(dāng)[1≤x<2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].

∵[1≤x<2]，∴[6≤2x+4<8]，即[6<]原式[≤8].

（5）當(dāng)[2≤x]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x]，

∵[2≤x]，∴[8≤4x]，即原式[≥8].

∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6]，當(dāng)[-1≤x≤1]時，有最小值6.

解法二：利用絕對值的幾何意義求解.

[x+2+x+1+x-1+x-2]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點[x]，使它到-2，-1，1和2四個點的距離之和最小.

圖10

由圖10可知，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，當(dāng)[-2≤x≤2]時， [x]到-2和2的距離之和最短（即[x+2+x+2]有最小值4）;當(dāng)[-1≤x≤1]時，[x]到-1和1的距離之和最短（即[x+1+x-1]有最小值2），所以當(dāng)[-1≤x≤1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值，最小值為6.

4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值

解法一：[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零點分別為[-2]， [-1]， [1]， [2]， [3].

（1）當(dāng)[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3]，

∵[x<-2]，∴[-5x+3>13]，即原式[>13].

（2）當(dāng)[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7]，

∵[-2≤x<-1]，∴[10<-3x+7≤13]，即[10<]原式[≤13].

（3）當(dāng)[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9]，

∵[-1≤x<1]，∴[8<-x+9≤10]，即[8<]原式[≤10].

（4）當(dāng)[1≤x<2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7]，

∵[1≤x<2]，∴[8≤x+7<9]，即[8≤]原式[<9].

（5）當(dāng)[2≤x<3]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3]，

∵[2≤x<3]，∴[9≤3x+3<12]，即[9≤]原式[<12].

（6）當(dāng)[3≤x]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3]，

∵[3≤x]，∴[12≤5x-3]，即原式[≥12].

∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8]，當(dāng)[x=1]時，有最小值8.

解法二：利用絕對值的幾何意義求解.

[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的幾何意義是在數(shù)軸上找到一點[x]，使它到-2，-1，1，2和3五個點的距離之和最小.

圖11

由圖11可知，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，當(dāng)[-2≤x≤3]時， [x]到-2和3的距離之和最短（即[x+2+x-3]有最小值5）;當(dāng)[-1≤x≤2]時，[x]到-1和2的距離之和最短（即[x+1+x-2]有最小值3）;當(dāng)[x=1]時，[x]到1的距離最短（即[x-1]有最小值0），所以當(dāng)[x=1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值，最小值為8.

總結(jié)規(guī)律：

1.代數(shù)解法——零點分段法

思路：①找出絕對值的所有零點，把數(shù)軸分成若干部分進(jìn)行分類討論.

②根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，把所有的絕對值號去掉并化簡.

③根據(jù)所討論的x的范圍，求出化簡后的式子的范圍.

④綜合所有情況，得到原式的范圍，從而得出其最值.

（注意：求零點值時，必須先把零點值按大小排序）

2.幾何解法——數(shù)形結(jié)合法

[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值（[a1≤a2≤a3≤…≤an]）.

當(dāng)n為奇數(shù)時，[x=an+12]處取最小值，即在n個點的中心點處;

當(dāng)[n]為偶數(shù)時，在區(qū)域[an2≤x≤an2+1]處取最小值，即數(shù)軸被n個點分成n+1段的中心區(qū)域.

口訣：奇數(shù)點取中間點，偶數(shù)點取中間段.

（零點值按大小順序排序，處于最中間的零點值或區(qū)域即為代數(shù)式的值取最小值.）

探究二 未知數(shù)x系數(shù)不為1 的情況

遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情況，又將如何求解？

對于代數(shù)式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值問題，我們先將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為一般形式：[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]（[a1≤a2≤a3≤…≤an]），然后通過上述方法求解.

如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2]，當(dāng)[x=12]時，[x-2+2x-1]有最小值[32].

解絕對值的最值問題要從絕對值的幾何意義與代數(shù)意義兩方面去尋找著力點，重點是掌握求幾個絕對值之和的最小值的方法.絕對值幾何意義的導(dǎo)出是難點，在課堂上教師要留給學(xué)生充足的思考時間，以暴露學(xué)生的知識缺陷，通過問題引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、猜想，拓寬學(xué)生的知識面，加深學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)散性思維。教師在教學(xué)中要教給學(xué)生探索性方法，使學(xué)生了解知識的形成過程，并掌握更多的數(shù)學(xué)思想與方法，做到形數(shù)兼?zhèn)?、?shù)形結(jié)合.這樣，課堂上往往能取得意想不到的效果.

（責(zé)任編輯 黃春香）