談數(shù)學(xué)文化試題的創(chuàng)編

張 浩 (北京市朝陽區(qū)教育研究中心 100021)

文[1]曾提出：“考試作為指揮棒，應(yīng)該發(fā)揮正面的導(dǎo)向作用．命題人員能不能多一些創(chuàng)意，多出一些有關(guān)數(shù)學(xué)文化的考題呢？”這個(gè)問題發(fā)人深?。?dāng)?shù)學(xué)文化的著作和論文很多，但數(shù)學(xué)文化如何考查還是一個(gè)方興未艾的研究方向．早在2003年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中就把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”作為高中數(shù)學(xué)課程的十項(xiàng)基本理念之一，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容”．2018年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課標(biāo)2017》)正式頒布，在高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中明確把數(shù)學(xué)文化作為貫穿整個(gè)課程的重要內(nèi)容．近年來，數(shù)學(xué)文化試題在各地高考和模擬考試中逐漸增多，這類試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，也為中學(xué)數(shù)學(xué)起到了導(dǎo)向作用．

本文通過近幾年北京市朝陽區(qū)在區(qū)域性考試命題中幾道數(shù)學(xué)文化試題的命制過程，談?wù)剟?chuàng)編數(shù)學(xué)文化試題的策略，供一線教師和命題人員編制數(shù)學(xué)文化試題時(shí)參考．

1 數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)文化試題

《課標(biāo)2017》指出，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)．從廣義上講，數(shù)學(xué)文化包括了數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，等等．?dāng)?shù)學(xué)文化是一種理性的文化，影響著人的品格健全和健康心理的養(yǎng)成[2]．《課標(biāo)2017》在學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議中指出命題時(shí)要融入數(shù)學(xué)文化．教育部考試中心下發(fā)的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求，明確提出在高考數(shù)學(xué)考題中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化.這就要求學(xué)生主動(dòng)自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化知識(shí)．

在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化不僅能展現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文特征，而且能豐富考查內(nèi)容，進(jìn)而引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓更多教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)化立德樹人的育人理念．近年來，高考命題專家也厘清了全國(guó)高考命題的基本理念和做法：“數(shù)學(xué)文化主要考查我們古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果和數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，通過命題引導(dǎo)學(xué)生提高人文素養(yǎng)，傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感．”[2]

2 數(shù)學(xué)文化試題的素材

文[3]從取材類型對(duì)數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行了討論，包括取材數(shù)學(xué)時(shí)事、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)思想方法．文[4]將數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式分為五種：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式.許多學(xué)者和教師也以此為基礎(chǔ)對(duì)數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行了分類．文[5]對(duì)數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化試題編擬方法進(jìn)行了總結(jié)，包括再現(xiàn)數(shù)學(xué)名題、改變條件或目標(biāo)、結(jié)論或方法遷移．文[2]從滲透數(shù)學(xué)史、滲透數(shù)學(xué)美、滲透理性精神的角度對(duì)高考數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行了分類．

可以看到，數(shù)學(xué)文化試題的取材十分廣泛，其背景主要包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家及成果、數(shù)學(xué)名著及名題、數(shù)學(xué)思想等，因而在命制數(shù)學(xué)文化試題時(shí)，要關(guān)注這些蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)文化的素材．此外，數(shù)學(xué)文化的滲透不僅是數(shù)學(xué)史的再現(xiàn)，也包含數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)，因此，從應(yīng)用的角度來看，數(shù)學(xué)文化試題的素材就更加豐富了．

3 數(shù)學(xué)文化試題的創(chuàng)編

3.1 以數(shù)學(xué)趣題為背景

例12018年國(guó)際象棋奧林匹克團(tuán)體賽中國(guó)男隊(duì)、女隊(duì)同時(shí)奪冠．國(guó)際象棋中騎士的移動(dòng)規(guī)則是沿著3×2格或2×3格的對(duì)角移動(dòng)．在歷史上，歐拉、泰勒、哈密爾頓等數(shù)學(xué)家研究了“騎士巡游”問題：在8×8=64格的黑白相間的國(guó)際象棋棋盤上移動(dòng)騎士，是否可以讓騎士從某方格內(nèi)出發(fā)不重復(fù)地走遍棋盤上的每一格？圖1給出了騎士的一種走法，它從圖上標(biāo)1的方格內(nèi)出發(fā)，依次經(jīng)過標(biāo)2,3,4,5,6,…的方格,到達(dá)標(biāo)64的方格內(nèi)，不重復(fù)地走遍棋盤上的每一格，又可從標(biāo)64的方格內(nèi)直接走回到標(biāo)1的方格內(nèi)．如果騎士的出發(fā)點(diǎn)在左下角標(biāo)50的方格內(nèi)，按照上述走法，(填“能”或“不能”)走回到標(biāo)50的方格內(nèi)．若騎士限制在圖2中的3×4=12格內(nèi)按規(guī)則移動(dòng)，存在唯一一種給方格標(biāo)數(shù)字的方式，使得騎士從左上角標(biāo)1的方格內(nèi)出發(fā)，依次不重復(fù)地經(jīng)過2,3,4,5,6,…,到達(dá)右下角標(biāo)12的方格內(nèi)，分析圖2中A處所標(biāo)的數(shù)應(yīng)為．

圖1

圖2

評(píng)析這道題目為北京市朝陽區(qū)2018—2019學(xué)年高三上學(xué)期期末考試第13題．本題的人文背景是2018年國(guó)際象棋中國(guó)隊(duì)奪冠，依托游戲進(jìn)行編制，介紹了數(shù)學(xué)家研究過的趣題．?dāng)?shù)學(xué)史上有很多問題都與游戲有關(guān)，本題即為一例．在命制初期本題只有第一空，主要考查數(shù)學(xué)閱讀能力．經(jīng)過查閱資料，我們對(duì)“騎士巡游”問題的推廣進(jìn)行了研究．實(shí)際上騎士巡游方式有多種解，本題只給出了一種騎士巡游方式，第二空是騎士巡游問題的推廣，考查學(xué)生的邏輯推理能力．騎士巡游問題可以推廣到n×m的棋盤中，但并非對(duì)任意的n和m都有解，比如可以證明3×3,3×5,3×6格棋盤中不存在騎士巡游方式．

本題為降低難度，在第一列第三行放置了數(shù)字3，如果不放置3，思維難度會(huì)顯著增大.實(shí)際上在命題過程中還考慮過給出四個(gè)角的數(shù)字(圖3)，此時(shí)題目難度大大降低，經(jīng)過測(cè)試發(fā)現(xiàn)即使右上角的10不給出仍能得到唯一解(圖4)．因此最后試題的呈現(xiàn)為僅給出三個(gè)角的數(shù)字．如果題目中未標(biāo)出12，則還有另一種騎士巡游方式(圖5)．

圖3 圖4 圖5

值得注意的是，在棋盤上，不存在如圖1中給出的從標(biāo)號(hào)12的位置跳回到標(biāo)號(hào)1的位置的騎士巡游方式．

本題還隱藏著一處數(shù)學(xué)文化，即圖1給出的數(shù)表實(shí)際上是一個(gè)8階“幻方”，每一行每一列的數(shù)字之和均為260(但兩條斜對(duì)角線數(shù)字之和不為260)．這里可以引出一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：是否存在一個(gè)8階“騎士巡游”幻方，使得每行每列以及兩條對(duì)角線的數(shù)字之和都相等？這個(gè)問題直到2003年8月才被解決，答案是不存在①(1)①http://magictour.free.fr/.．

3.2 以數(shù)學(xué)時(shí)事為背景

例22018年科學(xué)家在研究皮膚細(xì)胞時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種特殊的凸多面體，稱之為“扭曲棱柱”．對(duì)于空間中的凸多面體，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了它的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)存在一定的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)所給表中所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可得有12個(gè)頂點(diǎn)、8個(gè)面的扭曲棱柱的棱數(shù)是( )．

A．14 B．16 C．18 D．20

凸多面體頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)三棱柱695四棱柱8126五棱錐6106六棱錐7127

評(píng)析這道題目為北京市朝陽區(qū)2018—2019學(xué)年高一下學(xué)期期末考試第9題．本題體現(xiàn)的歐拉公式在高考試題中屢有出現(xiàn)．本題依托2018年7月研究人員在《自然》雜志上發(fā)表的論文②(2)②Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia,https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1.中出現(xiàn)的scutoid(譯為扭曲棱柱)幾何體，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象能力．如果考慮底面為n邊形的棱柱，則頂點(diǎn)數(shù)為2n，棱數(shù)為3n，面數(shù)為n+2，可以發(fā)現(xiàn)這三個(gè)數(shù)之間存在2n-3n+(n+2)=2的關(guān)系，這是歐拉公式V-E+F=2的特例．本題根據(jù)猜想出的這個(gè)數(shù)量關(guān)系判斷扭曲棱柱的棱數(shù)．值得注意的是，題目中沒有給出“扭曲棱柱”的圖形，如果給出圖形，則可以容易地進(jìn)行“數(shù)數(shù)”.實(shí)際上，如圖6所示，這并不是嚴(yán)格意義上的“棱柱”．在試卷講評(píng)過程中，命題組也為教師提供了本題的背景，并且簡(jiǎn)單介紹了郵票上出現(xiàn)的歐拉和歐拉公式(圖7)．

圖6 圖7

3.3 以數(shù)學(xué)名著為背景

評(píng)析本道題目為北京市朝陽區(qū)2019—2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試第15題．本題由人教版新教材A版選擇性必修《數(shù)列》一章的課后題改編．《萊因德紙草書》約公元前1650年成書，用象形文字書寫(圖8)，記載了埃及人在生產(chǎn)生活中遇到的實(shí)際問題．

圖8

3.4 重視中國(guó)傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素

例4圭表(圖9)是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺(稱為“圭”)．當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖10是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為26.5°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長(zhǎng))為a，則表高(即AC的長(zhǎng))為( )．

圖9 圖10

評(píng)析本道題目為北京市朝陽區(qū)2019—2020學(xué)年高三二模第8題．本題在編制過程中經(jīng)過多次討論，最初是一道填空題，以傳統(tǒng)文化“二十四節(jié)氣”為情境：我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《周髀算經(jīng)》有關(guān)于晷景的記錄，通過一種名為圭表的儀器測(cè)定日影長(zhǎng)度來確定時(shí)間，定出日短(白晝最短)這天作為冬至日，為“二十四節(jié)氣”的起點(diǎn)，并將到下一個(gè)冬至之間的時(shí)間段分割為24段．

之后在討論過程中，在給出情境時(shí)滲透了成語、古代科技、數(shù)學(xué)名著等元素：成語有云，“立竿見影”，而立表測(cè)影是中國(guó)最早的一種較精確的天文測(cè)量方法．圭表是中國(guó)古代的天文儀器，它除了有一根直立的標(biāo)桿(稱為“表”)外，還有一根與桿呈南北水平而固定的長(zhǎng)尺(稱為“圭”)，表與圭相互垂直，當(dāng)太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上(圖11)．古人根據(jù)太陽影子的變化規(guī)律來定節(jié)氣和歷法．《周髀算經(jīng)》里記載的“二十四節(jié)氣”就是根據(jù)在地上測(cè)量日影的長(zhǎng)度來確定的．

圖11

配圖的選擇也經(jīng)過了篩選，擬從圭表實(shí)物圖、模型圖、示意圖(圖12)中進(jìn)行挑選，最終為了與情境文字相結(jié)合，選擇了另一幅清晰明了的示意圖．

圖12

最后，為了避免“點(diǎn)綴式”的元素喧賓奪主，僅介紹了與試題內(nèi)容相關(guān)的必要背景．同時(shí)，在給出數(shù)據(jù)時(shí)，也廣泛查閱了文獻(xiàn)，如北京的太陽高度角參考了北京天文館古觀象臺(tái)王玉民研究員的論文《冬至圭表測(cè)影新探》；為了使文字和配圖更符合科學(xué)性，我們參考了中國(guó)數(shù)字科技館的科普資料，配圖(圖9)改編自《百科探秘》中的文章“正方位、定節(jié)氣的圭表”①(3)①https://www.cdstm.cn/gallery/media/mkjx/bktmhdsj/201912/t20191202_932588.html.．

圖13

4 數(shù)學(xué)文化試題的創(chuàng)編策略

一是廣泛查閱文獻(xiàn)，包括數(shù)學(xué)史論文與專著、數(shù)學(xué)應(yīng)用的論文等．主要的權(quán)威文獻(xiàn)有李文林的《數(shù)學(xué)史概論》和Katz的《數(shù)學(xué)史》等．在選題時(shí)，可參考《課標(biāo)2017》中選修部分涉及的知識(shí)和內(nèi)容．對(duì)試題中涉及的數(shù)學(xué)史知識(shí)要反復(fù)確認(rèn)，避免張冠李戴．?dāng)?shù)學(xué)文化背景要與考查的內(nèi)容之間有較緊密或深層的聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)史背景既可以來自中國(guó)古算，也可以選自國(guó)外數(shù)學(xué)史．對(duì)于與數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容，要尊重歷史，如關(guān)于心形線的解釋，有不少作者談到笛卡兒與瑞典公主的浪漫故事，盡管這是浪漫的“軼事”，但實(shí)際上這是虛假的歷史．在編制與數(shù)學(xué)史有關(guān)的試題時(shí)一定要尊重客觀歷史．

二是征求專家意見．?dāng)?shù)學(xué)文化試題通常文字量較大，涉及不同學(xué)科和領(lǐng)域，知識(shí)內(nèi)容比較豐富，除了與文字專家研究遣詞造句與斷句標(biāo)點(diǎn)外，對(duì)于與生活實(shí)際有關(guān)的知識(shí)多與專家和學(xué)科教師進(jìn)行交流．如在編制一道有關(guān)玻璃厚度與保溫效果的數(shù)學(xué)應(yīng)用類文化試題時(shí)，對(duì)于物理學(xué)單位以及溫差等物理概念，反復(fù)請(qǐng)教物理學(xué)科專家確認(rèn)其科學(xué)性與準(zhǔn)確性．對(duì)于情境中與地理、考古、天文等相關(guān)的內(nèi)容，也要多向研究機(jī)構(gòu)的專業(yè)人員請(qǐng)教．

三是盡量符合實(shí)際．?dāng)?shù)學(xué)的最明顯的特征是其抽象性，然而其應(yīng)用性也是重要的特征之一．如編制一道與口罩相關(guān)的應(yīng)用型數(shù)學(xué)文化問題時(shí)，盡管數(shù)據(jù)經(jīng)過了一定的處理，但根據(jù)題目得出的口罩過濾率超過了90%，符合出廠標(biāo)準(zhǔn)，這符合真實(shí)情況．

四是加強(qiáng)試題的趣味性、探究性、審美性等．如例1中的“騎士巡游”問題，可以給師生提供繼續(xù)探究的背景．大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂仍以“課堂講授—記憶理解—小結(jié)檢測(cè)”為主，缺乏情境的導(dǎo)入和通過活動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程，而數(shù)學(xué)文化以及其中的問題正好可以填補(bǔ)這些缺失，利用數(shù)學(xué)文化導(dǎo)入課堂教學(xué)，通過問題和任務(wù)引發(fā)學(xué)生主動(dòng)去活動(dòng)、探究與交流，感受做數(shù)學(xué)的魅力．

五是挖掘與傳統(tǒng)文化的結(jié)合點(diǎn)．“天壇”“節(jié)氣”等都可以與數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，這需要對(duì)問題和背景進(jìn)行改造，與試題考查內(nèi)容巧妙融合，避免僅使用“點(diǎn)綴式”．當(dāng)然，提供一些相關(guān)的信息是將學(xué)生代入試題情境的必要步驟，可以提高學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的興趣．

5 總結(jié)與展望

在數(shù)學(xué)文化試題編制結(jié)束之后，還應(yīng)在試題講評(píng)時(shí)為教師展示題目中的數(shù)學(xué)文化背景．要想使得更多教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化，我們更要從教師抓起，在區(qū)域性教研活動(dòng)中介紹與教材、試題相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，鼓勵(lì)教師查找相關(guān)資料，在課堂中介紹給學(xué)生，也可以引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)資料，在校內(nèi)組織數(shù)學(xué)文化活動(dòng)(撰寫數(shù)學(xué)小論文、科普?qǐng)?bào)告)．對(duì)于優(yōu)秀的案例，可以在區(qū)域教研活動(dòng)中展示和分享．

對(duì)于數(shù)學(xué)文化試題的編制，今后還可以在以下幾個(gè)方面加強(qiáng)研究和改進(jìn)：

(1)基于數(shù)學(xué)史料的解答題較少．如何將數(shù)學(xué)文化與解答題命制相聯(lián)系是下一步可以思考的問題．

(2)數(shù)學(xué)文化與考查內(nèi)容深度融合．多數(shù)背景停留在比較簡(jiǎn)單或古老的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)著作，對(duì)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)與應(yīng)用的內(nèi)容考查力度有待加強(qiáng)，如2020年高考中出現(xiàn)了信息論中的概念——熵，這是值得命題人員持續(xù)關(guān)注的．另外，還可以對(duì)古算中的算法進(jìn)行創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化，如思考楊輝三角和增乘開方法可以如何改造成試題．

(3)打破學(xué)科間限制，與體育、美育、勞動(dòng)教育等相結(jié)合．如幾何學(xué)的本意是大地測(cè)量，天然地與勞動(dòng)實(shí)踐相結(jié)合，而幾何學(xué)又是優(yōu)美的，數(shù)學(xué)完全可以和德智體美勞等相結(jié)合，也可以尋找與藝術(shù)、詩歌、音樂相結(jié)合的命題角度．

總而言之，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)命題要與考查的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，可適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的成果，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)．