破、解、立：初中數(shù)學(xué)綜合題解題策略探究

鮑建春

摘? ? 要：數(shù)學(xué)綜合題題型多數(shù)是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)與組合，知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，導(dǎo)向性十分明確，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的綜合能力有極高的要求.其在中考卷中所占的比重很高，故其得分高低，往往是中考決勝的關(guān)鍵.要想在綜合題中獲得高分，必須要有一定的解題策略，分步驟、有針對(duì)性地解決問題：先對(duì)綜合題涉及的各個(gè)要素進(jìn)行歸類分解;再對(duì)分解出的小問題進(jìn)行切分解答;最后理清思路，完整書寫，總結(jié)反思，以做到貫穿融合.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)綜合題;解題策略

初中數(shù)學(xué)綜合題在中考卷中所占的比重很高，浙江省各地的試卷中一般分布在選擇題第10題、填空題第16題以及最后兩道壓軸題，特別是最后的壓軸題成為學(xué)生中考決戰(zhàn)成敗的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)綜合題題型多數(shù)是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)與組合，知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，導(dǎo)向性十分明確，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的綜合能力有極高的要求.近幾年來，中考幾何與代數(shù)綜合題主要涉及的題型有：開放性探索問題、動(dòng)態(tài)變化問題、是否存在問題、含有字母參數(shù)的二次函數(shù)綜合問題等.所涉及的數(shù)學(xué)思想方法有：分類討論、數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化化歸等.學(xué)生要想在綜合題中獲得高分，必須要有一定的解題策略，分步驟、有針對(duì)性地解決問題.

筆者從寓言故事“庖丁解?！敝醒由斐鰯?shù)學(xué)綜合題的解題三步法，即破、解、立，并在多年的實(shí)踐中證明，它可以幫助學(xué)生形成有效的解題思路，使其對(duì)綜合題不再有畏難情緒.下面以二次函數(shù)與相似三角形綜合題[1]的解題教學(xué)為例詳細(xì)分析.題目如下：

設(shè)拋物線y=ax2+bx-2 與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90°（如圖1）.

（1）求m的值和拋物線的解析式;（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E.若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

一、破題：目無全牛，各個(gè)擊破

數(shù)學(xué)思想是解決初中數(shù)學(xué)綜合題的靈魂，學(xué)生要善于挖掘綜合題中所隱含的條件，運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程（不等式）、函數(shù)與方程的建模等思想，把綜合題涉及的各個(gè)要素進(jìn)行歸類分解，并與相關(guān)的章節(jié)知識(shí)進(jìn)行對(duì)接.這是做到破題的關(guān)鍵.

（一）化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知

此類題就是化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、用數(shù)字替代字母，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，將未學(xué)習(xí)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)點(diǎn)[2].對(duì)每一個(gè)涉及的知識(shí)點(diǎn)要素，都要進(jìn)行分解.

本例圖形很復(fù)雜，但仍有規(guī)可循：從∠ACB=90°聯(lián)想到有直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系直角三角形的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

問題1：關(guān)于Rt△ABC，你知道哪些知識(shí)？

學(xué)生回答并分解相關(guān)知識(shí)要素：①兩銳角互余;②三角函數(shù);③30度特殊角邊關(guān)系;④勾股定理.

實(shí)際操作中可將未知解法或難以解決的問題，通過比較、觀察、遷移、聯(lián)想等思維重構(gòu)的過程，轉(zhuǎn)化化歸為已學(xué)過的內(nèi)容和知識(shí)，如：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，多元轉(zhuǎn)化為一元，函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程等.

（二）化動(dòng)為靜，化抽象為具體

數(shù)學(xué)綜合題中的動(dòng)態(tài)問題是近年來中考出題的熱點(diǎn)，而且涉及的知識(shí)面很廣，往往結(jié)合函數(shù)與方程、分類討論思想等.解決這類問題必須要有化動(dòng)為靜的思路，可以根據(jù)題意把動(dòng)態(tài)圖形分為幾個(gè)階段和范圍進(jìn)行步驟分解，畫出靜態(tài)圖形，運(yùn)用化歸思想將題目分解，尋找其中的數(shù)量關(guān)系，從而將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的圖形.

本例中P點(diǎn)在x軸上，是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可先引導(dǎo)學(xué)生畫出大致圖形，如圖2，作出兩個(gè)靜態(tài)

圖形，再根據(jù)圖形直觀比較對(duì)應(yīng)三角形相似進(jìn)行解題.

（三）分類突破，化整為零

分類討論的情況在數(shù)學(xué)綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，特別是之前提到的動(dòng)態(tài)問題在等腰三角形、四邊形、圓中出現(xiàn)更多.分類討論時(shí)要將問題的所有可能性全部羅列出來，依據(jù)要素分解分類，做到不重復(fù)不遺漏，問題結(jié)論要做到完美.

對(duì)于本例第二個(gè)問題，可以引導(dǎo)學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)的位置分為兩種情況，分別在B點(diǎn)的左邊與右邊.探究一：連接DB，點(diǎn)P有否可能在點(diǎn)B右側(cè)？探究二：在x軸上點(diǎn)B左側(cè)是否存在點(diǎn)P？解析：由90°<∠EBA<135°可知，點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，有以下兩種情況：①若△DBP1∽△EAB;②若△DBP2∽△EAB.此即分類討論思想的運(yùn)用.

綜合題的破題，要重點(diǎn)分析題中關(guān)鍵的量或者關(guān)鍵詞，要能聯(lián)想到與每個(gè)量相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn).對(duì)于不完整的圖形，教師要引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線補(bǔ)全圖形.如對(duì)上題是否存在相似三角形這一問題，先要分類探究P點(diǎn)所在的位置，再根據(jù)位置分解作出相似三角形的圖形進(jìn)行解題.

二、解題：牛刀小試，分而解之

根據(jù)題意破題后，就可以小試“牛刀”進(jìn)行解題.解題過程中，教師要始終關(guān)注解題的方向和核心，讓學(xué)生把題中分解出的小問題進(jìn)行切分解答，體驗(yàn)成功的喜悅.

（一）減小難度，重拾信心

綜合題一般題目容量大，學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生懼怕心理.教師要教會(huì)學(xué)生分解綜合題的方法，即如何分解題干;還要注重基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂.這樣，才能提高學(xué)生解綜合題的信心.

問題2：如圖3，在Rt△ABC中，CO⊥AB于點(diǎn)O，那么從相似三角形的角度出發(fā)可得到哪些結(jié)論？（△BOC∽△COA∽△BCA;對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例）有關(guān)線段的比例式有哪些，可以化為怎樣的乘積式？

這樣的問題設(shè)置既達(dá)到了復(fù)習(xí)舊知識(shí)的目的，又降低了題目的難度，有助于樹立學(xué)生的信心.

（二）遷移重構(gòu)，提升思維

在分解出相似三角形的知識(shí)點(diǎn)并且解決了相關(guān)的問題后，可再結(jié)合題中的平面直角坐標(biāo)系，把三角形與坐標(biāo)系進(jìn)行組合重構(gòu)，解決二重問題.要求出解析式，須先求出各點(diǎn)的坐標(biāo).

在問題2中，相似三角形是得出線段成比例的關(guān)鍵，而把這個(gè)相似的基本圖形放入坐標(biāo)系，聯(lián)想到兩坐標(biāo)軸是互相垂直的這一隱含條件，就可以將之順利遷移到坐標(biāo)系中.將已學(xué)過的知識(shí)遷移到新學(xué)習(xí)的知識(shí)，學(xué)生就能自主重構(gòu)了.

問題3：如圖4，以AB所在直線為x軸，以CO所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)OA=1，OC=2時(shí)，請(qǐng)寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo).

運(yùn)用遷移重構(gòu)法時(shí)，要時(shí)刻思考每個(gè)題目的本質(zhì)特性.教師要時(shí)刻注意引導(dǎo)學(xué)生自主地去類比分解綜合題型的題干，以重新組合知識(shí)點(diǎn)，提升思維水平.比如學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法后，再學(xué)習(xí)不等式的解法，就可以對(duì)比兩種解法的異同點(diǎn)，讓學(xué)生在比較中加深印象.

（三）重組歸納，突破思路

數(shù)學(xué)綜合題往往會(huì)有幾種不同模型的疊加，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)模型歸類，特別是在章節(jié)的復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地尋找一些精練的綜合題，讓學(xué)生分析不同的模型并準(zhǔn)確地把握關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn)，并在訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的分析歸納能力，使其在解題思路上有所突破.

在完成各點(diǎn)坐標(biāo)的求解后，可以進(jìn)一步設(shè)問。

問題4：如圖5，已知A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90°，求m的值和拋物線的解析式.

聯(lián)想到求二次函數(shù)解析式的三種形式，可以把拋物線這一要求還原到題中：

問題①：拋物線過A，B，C三點(diǎn)，求它的解析式.

已知三點(diǎn)求解析式，可以讓學(xué)生再回顧相關(guān)的三種解析式的表達(dá).在求出二次函數(shù)表達(dá)式后，再結(jié)合題中的問題，把直線AE添加到圖中：

問題②：如圖6，在上題中的拋物線上存

在點(diǎn)D（1，n），過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E，求D，E坐標(biāo).

把各要素分解后，分而解決相關(guān)的小問題，即層層重組知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在比較單一的情境中解決常規(guī)問題，如相似三角形求線段的長(zhǎng)、已知三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等，學(xué)生就可以在小試牛刀中體驗(yàn)到成功的喜悅，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng).

三、立題：壯氣吞牛，貫穿融合

在破題、解題之后，我們還要做好最后一步：立題，即要理清思路，完整書寫，并總結(jié)反思，做到貫穿融合.在分析題目后，我們要把思路重新整理并書寫出來，并剔除不用的知識(shí)點(diǎn)，保留有用的知識(shí)點(diǎn).

（一）補(bǔ)全圖形，理清思路

幾何綜合問題的圖好比一個(gè)復(fù)雜的機(jī)器，它是由基本零件組成的，這些基本零件就相當(dāng)于基本圖對(duì)應(yīng)的特征要素，發(fā)現(xiàn)基本圖的要素不完整，把它添補(bǔ)完整，這就是添輔助線.解決問題的時(shí)候，要把機(jī)器的零件拆下來修補(bǔ)，即找出初始條件要素指向的基本圖，補(bǔ)上輔助線，使基本圖完整，如圖7.

對(duì)常用的輔助線作法要能理解并應(yīng)用，比如，對(duì)平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)的坐標(biāo)，就要作x軸或y軸的垂線.還要總結(jié)歸納一些基本圖形，如三垂直、A字形相似、8字形相似等.將這些常用的方法融會(huì)貫通后，學(xué)生就能夠理清解綜合題的思路.如本例中只要畫出點(diǎn)P在B的左邊與右邊的兩種圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想找到相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能理清思路很好地解決問題了.

（二）整理歸納，形成思維

解析綜合題，可以通過破題分解對(duì)象，將知識(shí)點(diǎn)重新分門別類.學(xué)生分解要素破題是第一步，針對(duì)分解后的每一個(gè)小題目進(jìn)行分析解答、重新組合是第二步，最后才是對(duì)之前的做法進(jìn)行整理歸納，形成思維，使解題嚴(yán)密.

“立題”時(shí)，對(duì)每個(gè)問題都要尋根問底，對(duì)每一步都要進(jìn)行思考：多問一個(gè)為什么，或問問“這樣做是否合理？有沒有更簡(jiǎn)便的方法？”[3]教師要培養(yǎng)學(xué)生解決一般問題的科學(xué)思維習(xí)慣，使其在破題、解題之后有反思，從而順利地把解題過程呈現(xiàn)出來，真正做到有破有立.

整理過程見上述步驟，此處不再贅述.

（三）思考結(jié)論，舉一反三

解完一道綜合題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行思考，這樣能起到舉一反三的作用，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師要對(duì)結(jié)論進(jìn)行合理的追問，比如：還有沒有分類不清楚的？還有沒有答案遺漏的？解題步驟是否規(guī)范了？方程是否驗(yàn)根了？引導(dǎo)學(xué)生在解題后思考這些問題，有助于學(xué)生養(yǎng)成研究性學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，有利于他們培養(yǎng)勇于探索的精神.此外，要達(dá)到“立題”之目的，培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)，教師還可以改變?cè)}的知識(shí)元素，圍繞某一問題進(jìn)行變換、引申、拓展

參考文獻(xiàn)：

[1] 盛志軍.數(shù)學(xué)導(dǎo)入課環(huán)節(jié)誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)心向的探索[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（10）：12.

[2]周兵.認(rèn)清轉(zhuǎn)化思想、讓解題思路飛起來[J].數(shù)學(xué)大世界（教師適用），2011（10）：15.

[3]陸德強(qiáng).例談初中數(shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法[J].新課程（中學(xué)），2017（3）：18.