數(shù)學直覺錯誤的來源分析及其蘊藏的教育價值

摘? ? 要：數(shù)學直覺是人腦對數(shù)學問題及其本質(zhì)屬性的直接感悟，具有或然性特征. 如果直覺依靠的經(jīng)驗出現(xiàn)錯誤，或是其背后所蘊含的邏輯出現(xiàn)錯誤，都可能導致直覺出現(xiàn)錯誤.仔細研究錯誤產(chǎn)生的原因，比如概念運用不恰當、不完全歸納、已有經(jīng)驗局限性、模型運用不當、研究方法固化、負遷移、視覺圖像模糊隱蔽等，再巧妙地利用數(shù)學歷史發(fā)展進程中的直覺錯誤以及學生容易發(fā)生的直覺錯誤等資源創(chuàng)設(shè)情境，可以激發(fā)學生的學習積極性，使學生從經(jīng)驗性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化，并學會用邏輯的方法來論證直覺.

關(guān)鍵詞：數(shù)學直覺;直覺思維;直覺錯誤

一、數(shù)學直覺的內(nèi)涵及“或然性”特征

數(shù)學直覺是人腦對數(shù)學問題及其本質(zhì)屬性的直接感悟.它以一定的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，不受固定邏輯規(guī)則約束，并以洞察、預(yù)見或者合情推理等直接推斷形式，對各種思想組合進行敏銳的分析、鑒別并選擇，從整體上把握數(shù)學事物的規(guī)律.

數(shù)學直覺思維一般表現(xiàn)為直念、靈感和想象這三種具體的形式.它不是有意識地按照周密確定的邏輯程序加以思考和判斷，也不一定有可靠的依據(jù)，而是人腦基于數(shù)學對象的有限信息，以其高度省略、簡化、濃縮的跳躍式方式，達到對數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的某種突然的領(lǐng)悟和洞察.它是對數(shù)學問題中的未知量及其關(guān)系做出的一種似真判斷，因而其結(jié)論往往不完善，具有經(jīng)驗性.如果直覺依靠的經(jīng)驗出現(xiàn)錯誤，或是其背后所蘊含的邏輯出現(xiàn)錯誤，都可能導致直覺出現(xiàn)錯誤.因為直覺思維傾向于把信息以圖像形式進行編碼，比較隨意、靈活、多變，它不依賴于嚴格的證明，只依據(jù)事實鏈條中的少數(shù)幾個環(huán)節(jié)，一旦視覺化出現(xiàn)偏離，就會導致錯誤的結(jié)果.法國著名數(shù)學家彭加勒曾憑直覺斷言，不可能存在富克斯函數(shù)，結(jié)果證明他是錯誤的.因此，由直覺思維得出的結(jié)論具有或然性特征，不總是具有嚴格意義上的精確性，最終還需要邏輯或?qū)嵺`加以檢驗.

二、數(shù)學直覺出錯的來源分析及其教育價值

數(shù)學教育應(yīng)及時捕捉直覺錯誤背后的邏輯錯誤，研究其產(chǎn)生的原因，巧妙利用數(shù)學歷史發(fā)展進程中的直覺錯誤以及學生容易發(fā)生的直覺錯誤等資源創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的學習積極性，使學生從經(jīng)驗性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化，用邏輯的方法來論證某些直覺是錯誤的.以下筆者從認知視角探討數(shù)學直覺錯誤產(chǎn)生的原因及教育價值.

（一）概念運用不恰當引發(fā)的直覺錯誤

1.定義概念時未抓住事物的本質(zhì)

有些概念的關(guān)鍵特征非常隱蔽，學生往往根據(jù)常見的一些事例，憑借直覺給出數(shù)學概念的定義，但經(jīng)不起仔細推敲.而通過反例教學，可加深學生對基本概念的理解，發(fā)現(xiàn)并糾正學習中的錯誤，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和良好的思維品質(zhì).以棱柱的概念為例，教材中給出的棱柱概念包含三個要素：第一要素是“有兩個面互相平行”，這是學生非常認可的一個條件;第二要素是“其余各面都是四邊形”;第三要素是其余各面“每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”.對于第二、第三要素，學生往往認為可以壓縮成“其余各面都是平行四邊形”即可.如何才能讓學生明白“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體未必是棱柱”呢？這就需要設(shè)計出反例，來說明確實有滿足這樣條件的非棱柱的幾何體.如圖1，該幾何體滿足面[MPNQ][?]面M′P′N′Q′，其余各面都是平行四邊形，但由這些面圍成的幾何體卻不是棱柱[1].

2.概念準確但理解不到位

數(shù)學概念理解上出現(xiàn)的偏差，往往會導致在對事物的判斷上產(chǎn)生直覺錯誤.學生只有準確把握數(shù)學概念的內(nèi)涵，才能恰當?shù)剡\用數(shù)學知識，科學地分析、解釋大千世界中的數(shù)學現(xiàn)象.例如，連續(xù)5次擲一枚硬幣，認為“如果前4次都正面朝上，那么第5次正面朝上的可能性不大”，就是對概念的理解不到位.事實上，概率刻畫的是事件發(fā)生的可能性大小，而不是實際一定要發(fā)生什么，這個問題源于對概率概念的曲解.對于平均數(shù)問題，統(tǒng)計上常采用“掐頭去尾平均數(shù)”，從而減少極端值對平均數(shù)結(jié)果的影響.統(tǒng)計學不只用算術(shù)平均數(shù)，還常用眾數(shù)、中位數(shù)、方差、均方差、變異系數(shù)等指標進行測量.

（二）不完全歸納引發(fā)的直覺錯誤

對于操作性知識，人們基于已有的大量成功經(jīng)驗，總結(jié)出貌似成功、“放之四海而皆準”的程序步驟，而其直覺背后往往存在著瑕疵.教材也不例外.反例構(gòu)造能夠推動數(shù)學學科的發(fā)展，在數(shù)學教材的發(fā)展和完善中具有同等重要的作用.教師要能引領(lǐng)學生，敢于挑戰(zhàn)教材權(quán)威，發(fā)現(xiàn)其紕漏，重建其科學性.例如，求函數(shù)零點近似解的一種計算方法——二分法，到底何時“終止計算”？從熟悉的大量事實出發(fā)，教材認為，當區(qū)間的兩個端點按照給定的小數(shù)“所取的近似值相同”時，這個相同的近似值就是函數(shù)[y=f（x）]的近似零點，此時計算終止.筆者曾構(gòu)造了一個反例，即“求函數(shù)[f（x）=][x3-0.45x2-0.45x-1.45]的一個正實數(shù)零點（要求零點精確到0.1）”，按照“所取的近似值相同”為結(jié)束運算的條件，但根本終止不了計算.可見“所取的近似值相同時計算終止”這種說法具有很大的局限性，不能保障每一個函數(shù)求近似零點都能取得成功.

（三）已有經(jīng)驗局限性引發(fā)的直覺錯誤

1.已有數(shù)學經(jīng)驗的局限性

直覺以已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，往往認為反常規(guī)的結(jié)論是錯的，因此相關(guān)知識與經(jīng)驗的局限性可能誘發(fā)錯誤直覺.直覺出錯既能引起學生的好奇心，使學生全神貫注地投入到數(shù)學探究當中，也能讓學生體會到數(shù)學家敢于掙脫既有觀點的束縛、鍥而不舍地追求真理并不斷創(chuàng)新的精神.例如，古印度國王欣然同意國際象棋發(fā)明者的要求，在棋盤的第1～46個格子里依次放上[21～246]顆麥粒，經(jīng)計算這些麥?？傤w數(shù)高達[264-1]，其金口玉言難以兌現(xiàn).又如，把一張普通的紙對折30次，感覺其厚度不會超過喜馬拉雅山的高度，是因為學生只有線性增長、二次函數(shù)增長等數(shù)學經(jīng)驗，而缺乏指數(shù)函數(shù)爆炸式增長的數(shù)學經(jīng)驗.再如，沒有極限的思想，就會拒絕接受“0.9的循環(huán)小數(shù)等于1”，而拼命維護自己的“0.9的循環(huán)小數(shù)小于1”的錯誤直覺.

2.已有生活經(jīng)驗的局限性

人們的日常生活經(jīng)驗，往往使人產(chǎn)生潛在的假設(shè)，引發(fā)直覺的錯誤.與“重的物體下降速度快” 類似，“將兩個圓的半徑延長同一個數(shù)值，半徑大的圓的周長增加量大”這樣的結(jié)論也是錯誤的.這類違反生活常識的出乎意料的問題，恰好能夠誘發(fā)學生的好奇心，激發(fā)其探究興趣，成就邏輯的魅力，讓學生從經(jīng)驗性直覺向理性直覺轉(zhuǎn)化.運算和推理是數(shù)學的精髓，可以超越人的直覺和感覺經(jīng)驗，準確掌握事物，它能夠辨別真?zhèn)?，讓人免受蒙騙.

例如，良鄉(xiāng)塔始建于隋代，唐代重修，高44.5米.北京市房山區(qū)昊天學校就坐落在古老的良鄉(xiāng)塔下.該校學生對良鄉(xiāng)塔早已司空見慣，而將其編成一道數(shù)學題，卻可以引起學生強烈的反響：

設(shè)想地球是一個表面光滑的球，有一條很長的繩子，恰好繞良鄉(xiāng)塔基座所在經(jīng)線的地球一周.把這根繩子再接長400米，圍成一個和上述圓共面且同心的大圓，問這個大圓是穿過良鄉(xiāng)塔還是越過良鄉(xiāng)塔的頂端（圖略）？

想象往往是科學發(fā)現(xiàn)的“思想實驗室”.在日常生活中，對于400米的長短，學生有著豐富的經(jīng)驗，因為這就是400米標準操場一圈的距離.憑直覺想象，只接長400米的繩子，其形成的圓與地球之間的空隙應(yīng)該是極小的.可事實并非如此，“空隙”處容納一座高44.5米的良鄉(xiāng)塔綽綽有余.這超越了人的直覺經(jīng)驗，甚至是對人的直覺的反叛.學生眼望著良鄉(xiāng)塔，第一時間的感觸是“這怎么可能呢”？教師不妨讓學生計算、驗證.

邏輯是數(shù)學這座“高樓大廈”堅不可摧的可靠保證，是數(shù)學神奇力量的源泉.扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能是邏輯思維的前提，也是直覺判斷的源泉.事實上，設(shè)地球半徑、繩子接長后圍成的圓的半徑分別為[r]，[R]，則地球這個圓、繩子接長后圍成的大圓周長分別為[2πr]，[2πR].設(shè)這兩個圓的周長的差[2πR-2πr=l]，則[R-r=l2π].取[l=400]，則[R-r=4002π≈63.66>44.5]，可見繩子能夠越過良鄉(xiāng)塔的頂端.當然，還可以口算繩子恰好過塔尖時，繩子需增加的長度為[2πR-2πr=2π（R-r）=2π×44.5<2π×50=100π≈314<400]，可見繩子能夠越過良鄉(xiāng)塔的頂端.盡管無法實際操作驗證，但通過推理，能夠幫助人們突破感官、經(jīng)驗、常識的局限性.“總而言之在數(shù)學創(chuàng)新中，既需要邏輯思維，也需要直覺思維和靈感思維，而且只有三者有機地結(jié)合起來，才能引導出成功的數(shù)學發(fā)明.”[2]

（四）模型運用不當引發(fā)的直覺錯誤

對于可能性大小的問題，概率模型選擇不當，可導致直覺預(yù)測不準確.教師要善于提出具有吸引力、挑戰(zhàn)性的問題，在教給學生更傳統(tǒng)、更正式的演繹和證明方式之前，培養(yǎng)他們對材料的直覺理解才是首要任務(wù)[3].通過實驗，可使抽象的概念和復雜的計算形象化、具體化，引起學生的興趣，顛覆學生的認識，引領(lǐng)學生選擇正確的模型解決問題.例如，一年按365天來計，若某學校同年級同年出生的學生有366人，根據(jù)鴿籠原理，至少有兩個人在同一天出生，這是一個確定性的必然事件.又如，若某班有50名學生，至少有2人生日相同的可能性很大，大到幾乎是百分之百。學生直觀上很難認同這一觀點，因此課上可以當場做“生日實驗”：按照1～12月出生的先后順序分成12組，同一個月出生的學生自報出生具體日期.只要很短的時間，往往就可證實有兩個及其以上學生生日相同.當然，也可以提前將學生出生的月日形成4位數(shù)，在課堂上用計算機按照升序或降序來排列，瞬間就可能發(fā)現(xiàn)有些學生的出生日期相同.本題不能用鴿籠原理這個模型解決問題，而應(yīng)該用對立事件的概率模型進行計算.可以推出在[n]個人中，至少兩人生日相同的概率計算公式為：[Pn=1-An365365n]，進而[P50≈0.97].

（五）研究方法固化引發(fā)的直覺錯誤

1.數(shù)學手段選用不當

命題人本著多想一點、少算一點等理念設(shè)計數(shù)學問題，對于“大數(shù)據(jù)”處理，主觀上認為善于借助運算工具，可以使問題迎刃而解.但此想法往往存在隱患，極易誘發(fā)直覺上的錯誤.教師要引導學生，讓他們明白既要“善假于物”，也要對所借助的工具進行審慎思考，知其個性，不盲目運用.例如：

根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與[MN]最接近的是（? ? ）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）

[8.26×1092，MN-1073]= [33611080-1073]≈1.74·1092，則[1093-MN>MN-1073].該結(jié)論還可以通過嚴格推理論證而得（此處略），從中可以看出應(yīng)選C而不是D.

為什么會出現(xiàn)選項上的歧義呢？問題出在題目所給的對數(shù)參考數(shù)據(jù)精度太低，導致對數(shù)值“失之毫厘”，還原成的真實值時“謬以千里”，這遠遠超出人們的直覺.對數(shù)實現(xiàn)了由乘、除、冪到加、減、乘的驚人轉(zhuǎn)換，使人們從大量繁復的乘除冪運算中解放了出來，顯示了數(shù)學文化的威力，但對數(shù)使用不當，也可能引來致命性的直覺上的錯誤.

2.機械地數(shù)學化生活問題

凸顯數(shù)學的應(yīng)用價值、解決經(jīng)濟生活中真實問題的數(shù)學問題，雖情境新穎別致，但稍有不慎，就有可能直覺出錯，背離命題的初衷.“學習過程必須以學生為主體，讓學習者‘在場，以學習者的現(xiàn)實生活為基礎(chǔ)，通過體驗真實，允許學習者自由暢想.”[4]可以把封閉問題按照開放性問題來處理.

例如，北京市某中學的一道基于真實情境的考題為：

某網(wǎng)店在2015年元旦開展慶新年網(wǎng)購促銷活動，規(guī)定“全場6折（原價的百分之六十）”，在元旦當天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免100元”.某單位在元旦當天欲購入原價48元（單價）的商品42件，為使花錢總數(shù)最少，他需要下的訂單張數(shù)為（? ? ）

A.1? B.2? C.3? D.4

乍一看題目，推算方法無非是用有理數(shù)的加減乘除運算.提供的參考答案為C.猜測其思路如下：

打6折后的單價為[48×0.6=28.8]（元），10件打6折后花錢數(shù)為288元，11件打6折后的錢數(shù)為288+28.8=316.8（元）.因為此時已滿300元，可減免100元，所以實際上花錢316.8-100=216.8（元）.因為[42=3×11+9]，故他需要下3張訂單，這3張訂單購買的件數(shù)分別為11，11，20，故選C，單位實際付費[48×0.6×42-3×100=1209.6-300=909.6]（元）.

然而在講評該題時，卻出現(xiàn)了很多意想不到的問題.有學生認為答案D也對，可以下4張訂單，購買的件數(shù)分別為11，11，11，9.學生經(jīng)過討論，認為將“他需要下的訂單張數(shù)”改為“他需要下的最少訂單張數(shù)”，就能避免歧義問題的出現(xiàn)，唯一答案就是C了.但有一位“智者”學生認為，要是購入商品44件（比原計劃多購入2件），這4張訂單購買的件數(shù)都為[11]，事實上花費的錢數(shù)為[48×0.6×44-4×100=867.2]（元）.花錢少，還多得2件商品，此法需要下4張訂單，答案就只能選D，就不是提供的答案C了.

教育家顧明遠先生指出：“數(shù)學教學不是單純地向?qū)W生傳授數(shù)學的定理和公式，不是簡單地讓學生做題，而是傳播人生觀、世界觀、價值觀，傳播中華優(yōu)秀文化的重要途徑.” [5]教師面對此種教學情境，要怎樣實現(xiàn)這樣的教學理念呢？這給了人無限的遐想！

（六）負遷移引發(fā)的直覺錯誤

1.類比產(chǎn)生負遷移

一些表面特征相似的問題也會導致錯誤的類比和范疇化，這時已有的知識經(jīng)驗就成為問題解決的障礙.如類比實數(shù)乘法對加法的分配律，將對數(shù)、三角運算也實施分配率，得到[sin（α+β）=sinα+sinβ]，[loga（M+N）=][logaM+]

[logaN].其“潛邏輯”是錯誤的，認為[sin]與[α+β]、[loga]與[M+N]中存在乘法關(guān)系.向量的運算與實數(shù)運算的相似性很強，類比實數(shù)運算的結(jié)論可能得出錯誤的向量結(jié)論.對此，教師可以通過特例檢驗法，來糾正學生的錯誤認識.

2.從具體到抽象負遷移

觀察具體數(shù)學對象的關(guān)系結(jié)構(gòu)特征，往往可以將其拓展升華為適用范圍更廣的一般結(jié)論，有時直覺上該結(jié)論似乎對，但經(jīng)不起推敲.教師要引導學生認真辨析拓展后的結(jié)論是否成立，不能人云亦云.例如，將具體的方程求解問題的結(jié)論“方程[（x2-4）（x2-1）=0]的解集，可以從求方程[x2-4=0]的解集與方程[x2-1=0]的解集的并集而得到”，遷移到抽象的方程求解問題的結(jié)論，得到“若方程[f1（x）=0]與[f2（x）=0]的解集分別是[F1]、[F2]，[f（x）=f1（x）f2（x）]，方程[f（x）=0]的解集是[F]，那么[F=F1?F2]”.但這個結(jié)論是錯的，舉例為證：如[f1（x）=x2-1]，[f2（x）=lgx]，則[f（x）=（x2-1）lgx]，[F1=-1， 1]，[F2=1]，請注意[f（x）]的定義域為[（0， +∞）]，因此[F=1]，并沒有得到[F=F1?F2].因而該直覺的結(jié)論是錯誤的.

（七）視覺圖像模糊隱蔽引發(fā)的直覺錯誤

1.難以觀察到的函數(shù)圖象

利用高科技軟件，作出來的函數(shù)圖象似乎千真萬確，但它們也可能欺騙人們的視覺，真相可能隱藏得非常深，稍不留神，就可能產(chǎn)生錯誤的結(jié)論.教師應(yīng)該首先引領(lǐng)學生進行邏輯上的思考，然后做出大膽猜測，最后再借助軟件觀察結(jié)果，而不能以軟件代替思考.例如，在幾何畫板中作出[y=2x]與[y=x10]的圖象，容易發(fā)現(xiàn)它們共有兩個交點A、C（如圖2）.但事實上，在第一象限還有1個交點B，它在比較“遙遠”處，幾何畫板都難以看到.通過Desmos軟件，花費大量的時間后，可以找到這個交點B（如圖3，注意為了能夠表示出這個交點，圖中橫、縱坐標單位長是不一致的），可觀察到B的橫坐標接近60，縱坐標高約[5×1017].事實上，交點B的存在性是可以進行邏輯證明的（此處略）.

2.視覺難以辨認出來的細微區(qū)別

人們似乎認為，看到的東西應(yīng)該是千真萬確的.但這種直覺也可能是錯誤的，看到的東西未必為真，也可能被欺騙.教師要引導學生，既能直觀感知數(shù)學對象的特征，還能進行深入的邏輯分析，辨別真?zhèn)危衣冻霰硐嗪竺娴恼嫦?例如，圖5的“長方形”是由圖4的正方形剪、拼得到的，兩者的面積應(yīng)該相等，但是“長方形”的面積是65.比正方形多1.實際上，圖5并不是長方形，拼得的“對角線”附近其實是“有縫”的，請看筆者從幾何畫板中按真實尺寸作出的圖（見圖6），其實中間的縫隙，是因為A、B、C三點在給定的3，5，8數(shù)據(jù)下不共線， M、N、P三點同樣不共線.也就是說∠ABC是一個非常接近平角的鈍角，∠PNM也是.對此，我們可以結(jié)合相似三角形的性質(zhì)用反證法邏輯推理給出證明.

三、結(jié)語

數(shù)學直覺出現(xiàn)的錯誤并不可怕，深挖直覺錯誤背后的邏輯錯誤，反而能夠調(diào)動學生的積極性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性.而由于數(shù)學工具運用不當出現(xiàn)的偏差，恰好能啟示學生，要準確運用已知的先進工具，并且要在已有工具的基礎(chǔ)上，不斷推陳出新.教師要不斷挖掘數(shù)學直覺錯誤方面的典型案例，引領(lǐng)學生在直覺中發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，在邏輯中形成嚴謹?shù)乃季S習慣.[□][◢]

參考文獻：

[1]王淑香，宋勁松，李春雷.一個“美輪美奐”的棱柱概念反例圖[J].教學月刊·中學版（教學參考），2009（8）：50-51.

[2]佟健華.數(shù)學創(chuàng)新思維的魅力[J].數(shù)學教育學報，2000（3）：39.

[3]杰羅姆·布魯納.布魯納教育文化觀[M].北京：首都師范大學出版社，2011：63.

[4]殷世東.課堂教學活動邏輯：詩性邏輯[J].教育研究，2017，38（10）：103.

[5]顧明遠.數(shù)學很有趣[J].人民教育，2016（10）：73.