一類含有一般非線性項的Choquard方程的基態(tài)解

何毅，劉彩紅，彭超權(quán)

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院, 武漢 430074)

1 相關(guān)知識

本文考慮以下非線性Choquard方程:

-Δu+u=(Iα*F(u))f(u),x∈N,

(1)

其中N≥3,α∈(0,N),F是f的原函數(shù),Iα是Riesz位勢, 對于?x∈N{0}, 有f:→是連續(xù)函數(shù).為了找到正解, 假設(shè)當t<0時,f(t)=0.此外, 還需要以下條件:

注意對于α=N的情形, 條件(f1)～(f3)最早是由文[1]引入的.這個假設(shè)可以看作是將著名的Berestycki-Lions條件[2-3]推廣到了具有Hardy-Littlewood-Sobolev的臨界增長的非局部Choquard方程.

本文的主要結(jié)果是:

2 主要結(jié)果

方程(1)對應(yīng)的泛函為:

由文[4]可知, 如果u∈H1(N)是方程(1)的弱解, 則下面的Pohozaev恒等式成立:

(2)

引理1I具有山路引理的幾何結(jié)構(gòu)[5], 即:

(i) ?ρ0,α0>0, 使得對所有的u∈H1(N)且‖u‖H1(N)=ρ0, 有I(u)≥α0;

(ii) ?u0∈H1(N), 使得I(u0)<0.

證明(i) 由條件(f1)和(f2)可知, 對于?δ>0,?Cδ>0 使得:

f(u)≤δ|u|α/N+Cδ|u|(α+2)/(N-2),F(u)≤δ|u|(N+α)/N+Cδ|u|(N+α)/(N-2),

(3)

根據(jù)Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[6]與Sobolev嵌入定理, 有:

然后令ρ0,α0>0充分小, (i)成立.

(ii) 選擇u∈H1(N)且u+≠0, 則那么對于?θ>0,有:

選擇一個足夠大的θ0>0, 確保I(u(x/θ0))<0, 則u(x/θ0)是所期望的u0.

因此定義I的山路值:

(4)

其中:

Γ:={γ∈C([0,1],H1(N)):γ(0)=0且I(γ(1))<0},

(5)

由引理1(i)可知c>0, 此外, 記b:=inf{I(u):u∈H1(N){0}是方程(1)的非平凡解}.

命題1在H1(N)中存在一列使得當n→∞時,

I(un)→c,I′(un)→0,P(un)→0.

(6)

證明定義映射Φ:R×H1(N)→H1(N), 對任意θ∈R,u∈H1(N), 有:

Φ(θ,u)=u(e-θx),

泛函I°Φ為:

由引理1可知, 對所有的(θ,u), |θ|, ‖u‖H1(N)足夠小且(I°Φ)(0,u0)<0, 有:

(I°Φ)(θ,u)>0,

(7)

其中:

(8)

由一般極小極大原理, 在R×H1(N)中存在序列使得當n→∞時, 有:

(I°Φ)(θn,ωn)→c,

(9)

(I°Φ)′(θn,ωn)→0,在(×H1(N))-1中,

(10)

θn→0.

(11)

由文[7]定理2.8中的(b)可知, ?(θn,ωn)∈×H1(N), 使得:

dist((θn,ωn),(0,γn(t)))≤2/n,

則(11)式成立.

對任意的(h,ω)∈×H1(N), 有:

(12)

在(12)式中取h=1,ω=0, 有:

P(Φ(θn,ωn))→0(n→∞),

(13)

對任意u∈H1(N), 令(12)式中的ω(x)=u(eθnx),h=0 , 由(11)式可得:

(14)

在(9)、(13)和(14)式中令un:=Φ(θn,ωn), 得到(6)式.

引理2在H1(N)上, 滿足(6)式的任意序列是有界的.

證明由(6)式可知:

得到了{‖un‖H1{N}}的上界.

文獻[8]證明了:

(15)

由下式:

(16)

(17)

對于山路值c有以下估計:

直接計算得:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(21)與(22)式表明:

(23)

與(23)式類似, 當δ>0充分小時, 有:

(24)

如(21)式所述，由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知:

(25)

(26)

(27)

由(15)、 (16)與(17)式可知,

(28)

另一方面,

由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可得:

與(I)類似, 可知(II)≤Cδ(N+α)/2, 因此:

(29)

由條件(f3)可知:

I(ψδ(x/t))≤gδ(t):=

0

(30)

(31)

其中：

從(30)與(31)式可知:

根據(jù)(20)、(24)、(26)與(27)式, 區(qū)分以下情況:

如果q0>α+1,令δ>0充分小, 可得到結(jié)論.如果q0≤α+1, 則選擇λ=δ-θ,θ>(1+α-q0)/4, 令δ>0充分小, 仍可得出結(jié)論.

證明反證法.假設(shè)引理不成立, 則由消失定理[9]可得當n→∞時, 有:

(32)

令l≥0, 則有:

(33)

顯然l>0, 否則當n→∞時, ‖un‖H1(N)→0, 與c>0矛盾.由(32)與(33)式可以得到:

(34)

由(15)式可以發(fā)現(xiàn):

(35)

(36)

(37)