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    帶有吸引Hardy項(xiàng)的臨界橢圓方程組解的漸近同步

    2021-08-13 08:51:50康東升吳慧敏曹玉平
    關(guān)鍵詞:有界方程組徑向

    康東升,吳慧敏, 曹玉平

    (1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074; 2 中南民族大學(xué) 圖書(shū)館,武漢 430074)

    1 相關(guān)知識(shí)

    本文主要研究下列方程組:

    (1)

    其中Δp·:=div(|·|p-2·)是p-Laplacian算子,D1,p(RN)為關(guān)于范數(shù)的完備化空間,是臨界Sobolev指數(shù),并且參數(shù)滿足下列條件:

    g(τ):=λaτp+(μ1-μ2)τa-λb,τ≥0.

    一般地,總是假設(shè)A<Λ0,Λ0是下面函數(shù)的最小正零點(diǎn):

    與Hardy不等式[2]相關(guān)的臨界橢圓方程(組)已經(jīng)被一些數(shù)學(xué)工作者研究過(guò)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-8]).文獻(xiàn)[9]和[10]研究了一類擬線性奇異臨界橢圓方程解的漸近性質(zhì).但是方程組(1)在λ>0的情形很少被研究(文獻(xiàn)[6]初步研究了方程組(1)在p=2時(shí)的情形).本文主要研究方程組(1)的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減解在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近性質(zhì),采用的是常微分方程中的分析方法.本文的主要結(jié)果如下:

    定理1假設(shè)條件(H) 成立且A<Λ0,k(A)<0.設(shè)(u,v)是方程組(1) 關(guān)于原點(diǎn)徑向?qū)ΨQ和關(guān)于|x|嚴(yán)格遞減的解.令r=|x|,x∈RN{0},則存在常數(shù)C1,C2>0,使得:

    2 主要結(jié)果的證明

    對(duì)?x∈RN,令r=|x|,設(shè)(u(r),v(r))是方程組(1)的徑向遞減解.令L(u):=(rN-1·

    |u′(r)|p-2u′(r))′,則有(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1,11]):

    (2)

    由此可知rN-1|u′(r)|p-2u′(r)和rN-1|v′(r)|p-2v′(r)是遞減的.因?yàn)閡′(r),v′(r)≤0,那么在(0,+∞)上,有u′(r),v′(r)<0.令:

    (3)

    于是有yi(t)>0,zi(t)<0,t∈R,i=1,3.結(jié)合(2)、(3) 式可得:

    (4)

    正如文獻(xiàn)[6]的討論,有:

    (5)

    li:=sup{l|gi(l)<+∞}=inf{l|gi(l)>-∞},i=1,2.

    同理可以定義:

    lj:=inf{l|gj(l)<+∞}=sup{l|gj(l)>-∞},j=3,4,

    則有l(wèi)1=l2,l3=l4,并且

    (6)

    類似于文獻(xiàn)[6]和[7]的討論,可以得到下列引理,為簡(jiǎn)單起見(jiàn)省略證明過(guò)程.

    引理1假設(shè)條件(H) 成立,(u,v)>0是方程組(1)的徑向遞減解.令r=|x|,x∈RN{0},則:

    (2) 假設(shè)A<Λ0,則:

    并且上述上確界和下確界值均無(wú)法達(dá)到.

    引理2假設(shè)(H) 成立,A<Λ0,則l1=l2=b(μ*),l3=l4=a(μ*).

    引理3假設(shè)(H) 成立,A<Λ0,k(A)<0,則ra(μ*)u(r)和rb(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.

    Fρ(H2)=Fρ(H2)-Fρ(a(ρ))=Q(t)(H2-a(ρ)),

    (7)

    (8)

    定義:

    (9)

    由(4) 和(5) 式,得:

    (10)

    從而f′(A)=Ap-β-1k(A)<0.又因?yàn)閥1,y2在(-∞,0)上遞增,f在A附近遞減,g在(0,+∞)遞增,a≤α,b≤β,則可以得到:

    矛盾.故假設(shè)不成立,從而可知命題A成立.為簡(jiǎn)單起見(jiàn),可以假設(shè)T1=T0,于是有ρ(t)、a(ρ(t))在(-∞,-T0)上遞減.

    命題B 積分I1,I2有相同的收斂性.

    事實(shí)上,如果H2(t)在(-∞,-T0)上遞增,則:

    a(ρ(t))

    (11)

    H2(t)-a(ρ(t))>0,
    Fρ(H2)<0,?t∈(-∞,-T0),

    從(6)~(9) 式可知I1,I2有相同的收斂性,從而命題B成立.

    通過(guò)計(jì)算有:

    (12)

    令ε→0+就有(p*-p)(δ-a(μ*)-ε)>0,再由引理2可以得到:

    結(jié)合(10) 和(12) 式可得積分I2收斂.由(7)~(9) 式可得積分I1也收斂,又因?yàn)椋?/p>

    所以下面的極限存在:

    由引理1推出:

    則有:

    且ra(μ*)u(r)在(0,e-T0)有界.又由引理1可知(ra(μ*)u(r))′<0,所以ra(μ*)u(r)在(0,+∞)上嚴(yán)格遞減,從而ra(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.同理,函數(shù)rb(μ*)u(r)在(0,+∞)也有界.

    定理1的證明由引理1和引理3可知函數(shù)ra(μ*)u(r)在(0,+∞)嚴(yán)格遞減且有界,函數(shù)rb(μ*)u(r)在(0,+∞)嚴(yán)格遞增且有界,因此下列極限都存在:

    (13)

    其他結(jié)果可以從(4) 、(13) 式和引理1直接得出.定理1證畢.

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