從指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算考查,探究數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升路徑

福建 包 喜 盧秀敏

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)運(yùn)算是其中之一.運(yùn)算能力反映了學(xué)生的綜合能力,也直接決定著學(xué)生的考試水平,探究數(shù)學(xué)運(yùn)算的原理與實(shí)踐方法毫無(wú)疑問(wèn)是提升運(yùn)算能力的重要途徑.筆者結(jié)合2020年的高考試題,著重分析高考在指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算這一知識(shí)點(diǎn)的考查,探究運(yùn)算能力的提升路徑.

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算主要是依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)過(guò)程,它主要包括:運(yùn)算對(duì)象的理解,運(yùn)算法則的掌握,運(yùn)算方向的探究,以及運(yùn)算方法的選擇等等.

引例:(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,則

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解題分析:2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,可知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且已知f(a)

剖析:①運(yùn)算對(duì)象的理解:指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的直觀展現(xiàn),指明解題方向?yàn)閷?duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算考查或者是對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查；

②運(yùn)算法則的掌握:指數(shù)冪運(yùn)算的乘法、除法、乘方公式,對(duì)數(shù)的換底公式、降次運(yùn)算、加減法運(yùn)算等公式是轉(zhuǎn)化已知條件的橋梁；

③運(yùn)算方向的探究:題設(shè)為等式條件,選項(xiàng)為不等式關(guān)系,要求將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化到不等關(guān)系；變量a保持不變,變量b需選擇轉(zhuǎn)化方向“2b”或是“b2”；

④運(yùn)算方法的選擇:可考慮特殊值法、構(gòu)造函數(shù)法、結(jié)論檢驗(yàn)法.數(shù)學(xué)的運(yùn)算要做到會(huì)算,會(huì)少算,也要會(huì)不算.

對(duì)近年來(lái)有關(guān)指數(shù)與對(duì)數(shù)問(wèn)題的研究,筆者發(fā)現(xiàn)這部分的內(nèi)容有難度加大的趨勢(shì),其中對(duì)運(yùn)算的把握又是做好此類問(wèn)題的關(guān)鍵,所以如何提高指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算能力,是很值得我們探討的課題.

1.合理建模,簡(jiǎn)化計(jì)算

數(shù)學(xué)模型在本質(zhì)上是內(nèi)在數(shù)學(xué)各要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系,外在表現(xiàn)往往被抽象成建立在數(shù)學(xué)符號(hào)基礎(chǔ)上的等式、不等式、圖象、圖表等內(nèi)容.一般地,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的能力就是將問(wèn)題歸入哪類知識(shí)點(diǎn)的判斷能力,因此,提升學(xué)生運(yùn)算能力的第一要?jiǎng)?wù)就是提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的選擇能力.

【例1】(2020·全國(guó)卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y,則

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A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解題分析:已知條件“2x-2y<3-x-3-y”表明考查對(duì)象是兩個(gè)指數(shù)函數(shù)y=2x,y=3x,但由于變量中有正負(fù)x,y,因而函數(shù)的單調(diào)性不能直接運(yùn)用,所以轉(zhuǎn)變條件為“2x-3-x<2y-3-y”,從而構(gòu)造了新函數(shù)f(x)=2x-3-x,f(x)為R上單調(diào)遞增函數(shù),原不等式等價(jià)于f(x)1,故ln(y-x+1)>0,選項(xiàng)A.

大部分解不等式問(wèn)題,特別是指數(shù)、對(duì)數(shù)、含參數(shù)的不等式,需要尋找出真正的有效不等式,構(gòu)造不等式兩邊都符合形式的新函數(shù),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,形成新的不等關(guān)系,解決問(wèn)題.這一解題方法要求對(duì)已知不等式條件進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),形成函數(shù)模型,這是對(duì)數(shù)學(xué)思想——化歸與轉(zhuǎn)化的考查.

變式訓(xùn)練題:(多選題)設(shè)0

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A.alnb>blnaB.alnb

C.aebbea

2.既有模型,細(xì)心研讀,代入運(yùn)算

學(xué)生要有分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的意識(shí)和能力,近幾年的新高考命題中,指數(shù)與對(duì)數(shù)的考查通常打破常規(guī),通過(guò)降低難度、位置前移,增加創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題情境,考查學(xué)生的閱讀能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

( )

A.60 B.63

C.66 D.69

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

解題分析:因?yàn)橐阎猂0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以3.28=1+6r,得r=0.38,所以I(t)=e0.38t=2,所以0.38t=ln2,即0.38t≈0.69,t≈1.8，故選B.

從上述兩道高考試題的解答過(guò)程可以看出,學(xué)生要成功解題的秘訣包含三點(diǎn):一是要有問(wèn)題意識(shí),把題目拆分成要解決的問(wèn)題,然后步步為營(yíng),逐步探究；二是要找出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn),尋找相應(yīng)的解決策略；三是要有良好的心理素質(zhì),要有解決問(wèn)題的勇氣和自信心,不能一看到較為陌生的公式、參考數(shù)據(jù)就手足無(wú)措,無(wú)從下手進(jìn)而直接放棄.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是高中生的關(guān)鍵能力之一,是提升高中生核心素養(yǎng)的基本要求,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有效運(yùn)用數(shù)學(xué)模型可以解決很多的實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)運(yùn)算可以促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神和態(tài)度.

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A.10% B.30%

C.50% D.100%

答案:A.

解此題型的心得體會(huì):題不在難,有魂則靈,指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算融入生活應(yīng)用,可明確地考查學(xué)生的閱讀能力、提取信息的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)文化的鑒賞力、敢于挑戰(zhàn)的自信力,逐步在高考試題中占有穩(wěn)固地位.

3.聚焦問(wèn)題分析,追本溯源,四兩撥千斤

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一項(xiàng)基本技能,雖然高考要求“多考想,少考算”,但是必要的基本運(yùn)算能力,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的能力.特別是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算題,可以含有多個(gè)運(yùn)算對(duì)象、多種運(yùn)算規(guī)則、多個(gè)運(yùn)算層級(jí)的綜合,包括計(jì)算路徑的選擇與設(shè)計(jì),都對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)邏輯思維提出了較高的要求.

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A.m-n>mn>m+nB.m-n>m+n>mn

C.mn>m-n>m+nD.m+n>m-n>mn

解題分析:第一層級(jí)——通過(guò)數(shù)據(jù)符號(hào),比較大?。?/p>

因?yàn)閙>0,n<0,所以mn<0,m-n>0,m+n正負(fù)未知,故可得m-n>mn,排除選項(xiàng)C；

第二層級(jí)——作差比較法,比較兩個(gè)數(shù)的大?。?/p>

因?yàn)?m+n)-(m-n)=2n<0,故可得m+n

第三層級(jí)——作商比較法,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式的考查,比較大小:

由本題的求解可以發(fā)現(xiàn),針對(duì)不同對(duì)象的比較大小,運(yùn)算方向的選擇是十分重要的.高考試題中往往都會(huì)通過(guò)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算式的比較大小,逐層考查學(xué)生的建模能力、運(yùn)算能力和邏輯推理能力.數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查通常是目標(biāo)明確的,通過(guò)形式相近、解法想通、本質(zhì)一致進(jìn)行展現(xiàn),可使考題重點(diǎn)突出,學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)得以檢驗(yàn),進(jìn)而增加了挑戰(zhàn)的難度及獲取成功的能力高度.

解題說(shuō)明:指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算是基于相同底數(shù)的運(yùn)算,不同底數(shù)的指數(shù)與對(duì)數(shù)必須化歸為同底形式才可計(jì)算,明確解題出發(fā)點(diǎn)可打開(kāi)解題思路.

解題說(shuō)明:轉(zhuǎn)換思維切入點(diǎn)是本解法的特色,針對(duì)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算,不僅依靠其本身的運(yùn)算法則,亦可借助冪運(yùn)算這一橋梁,追本溯源,統(tǒng)一形式,簡(jiǎn)捷地得出正確結(jié)論.

4.依托代數(shù)運(yùn)算,站在數(shù)學(xué)高處,綜合提升數(shù)學(xué)能力

高中數(shù)學(xué)主要有六大模塊的知識(shí)點(diǎn)考查:三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù),它們都是從不同側(cè)面描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.高考試題將這六大知識(shí)科學(xué)融合,合理地有目標(biāo)地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.如何展現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化表達(dá)的基本能力要求,如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的生動(dòng)活潑,是教師在課堂教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng),提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要求.

( )

A.若n=1,則H(X)=0

B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)

解題分析:對(duì)于A選項(xiàng),若n=1,則i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A選項(xiàng)正確.本選項(xiàng)將研究對(duì)象“定量定值”,考查學(xué)生的特例思維,引導(dǎo)學(xué)生特殊到一般的研究問(wèn)題方式.

對(duì)于B選項(xiàng),若n=2,則i=1,2,p2=1-p1,

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],

兩者相等,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

代數(shù)運(yùn)算的直觀感知是抽象思維的源泉,本項(xiàng)在A選項(xiàng)“定量定值”的考查基礎(chǔ)上提出“定量不定值”的情況,考查將運(yùn)算對(duì)象進(jìn)一步抽象為函數(shù)模型,利用函數(shù)的基本性質(zhì),進(jìn)行準(zhǔn)確判定結(jié)論.

對(duì)于D選項(xiàng),若n=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.本選項(xiàng)從“不定值不定量”且“雙元變量”的角度提出了研究方向,涉及基本不等式的基本性質(zhì),考查分析、思考和解決問(wèn)題的高層次能力.

本題的精彩之處在于用一個(gè)數(shù)學(xué)背景,設(shè)置“定量定值”“定量不定值”“定值不定量”“不定值不定量”多個(gè)研究角度,滿足了形式化表達(dá)數(shù)學(xué)的基本要求,又實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性和拓展性,引導(dǎo)數(shù)學(xué)思考的高度,不同層次地提升數(shù)學(xué)能力.教師通過(guò)對(duì)該考題的深入研究,從不同的角度觀察,站在數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)上,精心、細(xì)心、耐心地分析,逐步引導(dǎo)學(xué)生思考、實(shí)踐、解決問(wèn)題,使學(xué)生勇于探索、深入研究、深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的精彩與巧妙,達(dá)到綜合提升自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

(本文系龍巖市2020年教研機(jī)構(gòu)課題《高考評(píng)價(jià)體系視域下提升學(xué)生運(yùn)算求解能力的教學(xué)策略研究》的階段研究成果)