蘊(yùn)藏本質(zhì) 傳承經(jīng)典
——漫談2020年浙江高考數(shù)列解答題

浙江 曹亞奇

2020年浙江高考數(shù)學(xué)數(shù)列解答題著重考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和等數(shù)列常規(guī)知識(shí).涉及“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等重要的學(xué)科核心素養(yǎng).下述例題蘊(yùn)含了“累加累乘”“裂項(xiàng)相消”等數(shù)列中的“通性通法”,亦可用到“構(gòu)造常數(shù)列”等優(yōu)化計(jì)算的技巧,而這些方法技巧均可歸納為代數(shù)運(yùn)算中的“同構(gòu)”思想.

(Ⅰ)若{bn}為等比數(shù)列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

題型綜述:2020年浙江高考數(shù)列解答題的設(shè)計(jì)注重通性通法,背景公平熟悉,試題表述簡(jiǎn)潔精準(zhǔn),設(shè)問(wèn)由淺入深,梯度明顯.試題的設(shè)計(jì)返璞歸真,立足教材,著重考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和等數(shù)列常規(guī)知識(shí).涉及了“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”以及“邏輯推理”等重要的學(xué)科核心素養(yǎng).縱向?qū)Ρ热ツ旮呖嫉臄?shù)列大題,第(Ⅰ)問(wèn)難度略有下降,第(Ⅱ)問(wèn)難度基本持平,為不同基礎(chǔ)、不同能力水平的考生都提供了適當(dāng)?shù)乃伎伎臻g.下面,筆者將從“解法”“思想”“拓展”“本源”等多個(gè)角度來(lái)分析這道好題.

1.庖丁解牛 漫談解法

1.1 通性通法 波瀾不驚

【點(diǎn)評(píng)】本小題考查等比數(shù)列、累加法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.試題起點(diǎn)低,易入手,面向全體考生,解題方向明確.

而第(Ⅱ)小題區(qū)分度明顯.

1.2 裂項(xiàng)求和 各顯神通

方向一(累乘)

【點(diǎn)評(píng)】本小問(wèn)涉及等差數(shù)列性質(zhì)與累乘的方法,呼應(yīng)第一小問(wèn)的等比數(shù)列與累加法.依然是通性通法,然而題干不涉及具體數(shù)值,稍顯抽象,學(xué)生容易“卡殼”,停滯不前.

方向二(構(gòu)造常數(shù)列)

cn+1bn+2=bncn?bn+1bn+2cn+1=bnbn+1cn,

令dn=bnbn+1cn,則{dn}為常數(shù)列.

而后裂項(xiàng)相消同方向一.

【點(diǎn)評(píng)】原遞推方程兩邊同乘以bn+1后,便構(gòu)造出一個(gè)相鄰兩項(xiàng)的“同構(gòu)式”,即構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列,從而簡(jiǎn)化了計(jì)算.當(dāng)然這個(gè)方法對(duì)學(xué)生的整體大局觀和抽象思維要求頗高,正所謂“想的多一些,便算的少一些”.事實(shí)上這種構(gòu)造常數(shù)列的方法在往年的高考真題卷或者競(jìng)賽卷上屢見不鮮(后面會(huì)舉例說(shuō)明).

方向三(不完全歸納,先猜后證)

而后裂項(xiàng)相消同方向一.

【點(diǎn)評(píng)】不完全歸納法體現(xiàn)了從特殊到一般的辯證關(guān)系.“猜”并不是瞎猜,而是以觀察為向?qū)?以聯(lián)想為手段,以邏輯為根據(jù),類比歸納結(jié)果.當(dāng)然作為等差型數(shù)列的裂項(xiàng)過(guò)程與前幾種方向保持一致,亦是這幾種方向的共同突破口.

方向四(加強(qiáng)型數(shù)學(xué)歸納法)

2.靈活多變的技巧——裂項(xiàng)相消

2.1 常見結(jié)構(gòu) 了然于胸

以上四個(gè)方向是該數(shù)列題的常規(guī)解法.筆者從本屆高考的部分學(xué)生那里得到的反饋是:第(Ⅱ)問(wèn)“沒(méi)有頭緒”、感覺(jué)“抽象”、“難以下手”等評(píng)價(jià).那我們從解法上看,無(wú)論哪個(gè)方向都避不開“裂項(xiàng)”這個(gè)主題.數(shù)列解答題中的“裂項(xiàng)相消求和”的技巧是最常規(guī)也是最熱門的考點(diǎn)之一.學(xué)生“卡殼”的主要原因在于其表達(dá)式的“抽象性”(不帶具體數(shù)字),沒(méi)有識(shí)別其結(jié)構(gòu),對(duì)其表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒(méi)有看透.筆者歸納了以下幾種常見的“裂項(xiàng)相消”的結(jié)構(gòu)式.

(5)三角函數(shù)型:an=tann·tan(n+1);

(6)組合數(shù)公式型:an=nn!；

2.2 三項(xiàng)裂變 降維轉(zhuǎn)化

學(xué)生考試后所反饋的裂項(xiàng)放縮的途徑大致兩個(gè)方向.

3.優(yōu)化計(jì)算的法寶——構(gòu)造常數(shù)列

3.1 真題溯源 優(yōu)化計(jì)算

從前文的解法上看,方向二(構(gòu)造常數(shù)列)計(jì)算過(guò)程最為簡(jiǎn)潔.而該方法可謂是優(yōu)化計(jì)算的法寶,在過(guò)往的浙江高考真題與省數(shù)學(xué)競(jìng)賽中亦可應(yīng)用推廣,下面列舉兩例.

題1(2018·浙江卷·20)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

3.2 致敬經(jīng)典 拓展改編

事實(shí)上,3.1題1(2018·浙江卷·20)第(Ⅱ)問(wèn)在實(shí)際高考解答中,利用常規(guī)的“錯(cuò)位相減法”屬于比較普遍和穩(wěn)妥的方法,而待定系數(shù)法構(gòu)造“常數(shù)列”在優(yōu)化計(jì)算方面也有其優(yōu)勢(shì).于是筆者參考過(guò)往幾年的浙江高考真題卷,拓展改編了一道“模擬題”,試圖將“累加法”“構(gòu)造常數(shù)列”“裂項(xiàng)放縮”等方法融入其中,致敬經(jīng)典.

【原創(chuàng)題】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a2=-2,2Sn=nan-3n.

(Ⅰ)求證:{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式；

【解析】(Ⅰ)由2Sn=nan-3n,得2Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n≥2)，

此處方法有分化,大致可以三個(gè)方向.

方向一(遞推式作差)

將(n-1)an+1-nan=3與(*)作差得,

(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0(n≥2),即an+1+an-1=2an,

所以{an}為等差數(shù)列.由2S1=a1-3?a1=-3,得an=n-4.

方向二(累加求和)

方向三(構(gòu)造常數(shù)列)

接下來(lái),可以用“錯(cuò)位相減法”或者更為簡(jiǎn)潔的“裂項(xiàng)相消”求和.

4.數(shù)列運(yùn)算的主旋律——同構(gòu)式

上述原創(chuàng)題中,筆者出題的靈感來(lái)源于浙江高考數(shù)學(xué)2013年(文)、2018年、2020年這三年的數(shù)列解答題，創(chuàng)編的意圖和主題可以用“同構(gòu)”來(lái)概括.

“同構(gòu)”其實(shí)是抽象代數(shù)的專業(yè)術(shù)語(yǔ),指的是一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的雙射.在高中階段我們提到同構(gòu)難免會(huì)有亂用專業(yè)術(shù)語(yǔ)的嫌疑.我們之所以經(jīng)常這么說(shuō),是從表面的含義理解出發(fā)的,同構(gòu)表示結(jié)構(gòu)、形式相同,或俗稱“算兩遍”.所以用“同構(gòu)”來(lái)概括一些類型的題目比較合適,可謂言語(yǔ)少,意深遠(yuǎn)!事實(shí)上,讓我們重新審視2020年浙江高考數(shù)列真題和筆者的創(chuàng)編題,“累加”與“裂項(xiàng)相消求和”可看成若干個(gè)同構(gòu)式的加法運(yùn)算；“累乘”是對(duì)一系列同構(gòu)式的乘法運(yùn)算；“遞推關(guān)系式作差”是關(guān)于兩個(gè)相鄰?fù)瑯?gòu)式的差的運(yùn)算；“構(gòu)造常數(shù)列”是尋求任意相鄰兩個(gè)同構(gòu)式的等量關(guān)系.由此,可以說(shuō)在數(shù)列題型中的常用技巧與思想方法中,“同構(gòu)思想”占據(jù)著舉足輕重的地位.