2020年北京卷解析幾何試題高等幾何背景探究

北京 蘇漢杰

2020年是北京新高考文理合卷的第一年，從整套試卷的試題結(jié)構(gòu)和靈活性來看，與往年相比有一些創(chuàng)新，但是北京卷的整體命題思路沒有改變，一些優(yōu)秀的方面得到了很好的傳承.比如第20題解析幾何，既有高等幾何的背景，又重點(diǎn)考查了先猜后證、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和用坐標(biāo)方法解決幾何問題的基本解題思路，是一道非常好的題目.下面筆者對(duì)這道題目進(jìn)行探究.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

第(Ⅱ)問中，變化量是過點(diǎn)B(-4，0)的直線l的斜率，其他的量都可以由其導(dǎo)出，所以運(yùn)算的思路非常清晰.我們不妨設(shè)直線l的方程為x=ny-4，M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)，直線MA，NA以及點(diǎn)P，Q都可以用點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)來表示，并最終在運(yùn)算過程中替換為n的表達(dá)式，達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的.

詳解：(Ⅰ)把A(-2，-1)代入橢圓方程，

(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，即直線l：y=0，

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為x=ny-4，M(x1,y1),N(x2,y2)，

又x1=ny1-4，x2=ny2-4，

將①式代入，得yP+yQ=0，

第(Ⅱ)問這種變化中的不變性是射影幾何的基本性質(zhì)，是北京卷和其他高考試卷解析幾何試題的重要背景.這些知識(shí)是高等幾何的知識(shí)，考生在高中階段是不要求掌握的.但是作為教師，如果能夠掌握相關(guān)的知識(shí)，就能夠做到不但知其然，還知其所以然，能夠站得更高，看得更遠(yuǎn).下面筆者來給出相關(guān)的定義、定理和有關(guān)推論：

1.交比

2.調(diào)和共軛

給定二次曲線C與點(diǎn)P，Q，如果P，Q兩點(diǎn)的連線與二次曲線C交于兩點(diǎn)M，N，且(PQMN)=-1，則稱P，Q關(guān)于二次曲線C調(diào)和共軛；

(2)性質(zhì)：不在二次曲線上的一個(gè)定點(diǎn)P關(guān)于一條二次曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線.

3.極點(diǎn)、極線

(1)定義：不在二次曲線上的定點(diǎn)P關(guān)于該二次曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)的這條直線，叫做點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線的極線，P為這條直線關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn).

如圖，P是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.同理PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線.△MNP稱為自極三角形.

(2)性質(zhì)

①如圖，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于有心圓錐曲線C(設(shè)其中心為O)的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)Q，直線PQ經(jīng)過圓錐曲線的中心，則有OR2=OP·OQ；反之，若有OR2=OP·OQ成立，則點(diǎn)P與Q關(guān)于圓錐曲線C調(diào)和共軛.

(以上一些定義、定理和性質(zhì)的證明過程略，感興趣的老師可以查閱相關(guān)資料了解詳細(xì)證明過程.)

在此基礎(chǔ)上，我們從極點(diǎn)、極線理論的角度來看看2020年北京高考解析幾何題的高等幾何背景，如圖所示.

設(shè)點(diǎn)A，M，N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是A′，M′，N′，AA′與x軸的交點(diǎn)是B′，因?yàn)閍2=8，B(-4，0)，B′(-2，0)，所以由性質(zhì)①可知，點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于曲線C調(diào)和共軛，由極點(diǎn)、極線的定義可知，B′是MN′與M′N的交點(diǎn)，B是MN與M′N′的交點(diǎn)，由性質(zhì)②可知，直線x=-4是點(diǎn)B′關(guān)于曲線C的極線.下面我們需要說明直線A′M′與直線NA的交點(diǎn)與點(diǎn)Q重合，因?yàn)橹本€AA′與直線M′N的交點(diǎn)是B′，所以A′M′與NA的交點(diǎn)與點(diǎn)B′關(guān)于曲線C調(diào)和共軛，所以交點(diǎn)在直線x=-4上，也就是點(diǎn)Q.因此，由直線AM與直線A′M′的對(duì)稱性可知，|PB|=|BQ|.

了解了這道題的高等幾何背景到底有什么幫助呢？可以把這個(gè)結(jié)論進(jìn)行遷移和一般化，這是解析幾何命題經(jīng)常用的方法.以下面幾道北京卷解析幾何試題為例來探析這幾個(gè)不同題目的相同幾何背景.

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：此題大家非常熟悉，就不再贅述其詳細(xì)分析和解答過程，下面來看看它的幾何背景，如圖所示.

由極點(diǎn)、極線定義及性質(zhì)①可知，M，N是一對(duì)位于橢圓的對(duì)稱軸上的共軛點(diǎn)，|OM||ON|=a2=2，所以“存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ”.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N.若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).

分析：此題可以說與上一題的背景完全相同，橢圓的方程也完全一樣，只是把2015年試題中的所求|OM|·|ON|=2改成了已知.所以只有當(dāng)直線l經(jīng)過的定點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，直線AN才能對(duì)稱到AN′，此時(shí)M，N′是一對(duì)位于橢圓對(duì)稱軸上的共軛點(diǎn)，能滿足|OM||ON|=a2=2.

3.(2019·北京卷理·18)已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2，-1).

(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

分析：理科的這道題是把圓錐曲線由橢圓換成了拋物線，求證“以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)”即證“在y軸上存在點(diǎn)P，使得|FP|2=|FB||FA|”當(dāng)然，在計(jì)算的過程中，我們也可以轉(zhuǎn)化成斜率來表示這個(gè)關(guān)系.其幾何背景是|FB′||FA|=|FR|2=4，如圖，B′是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，R是直線y=-1與拋物線的一個(gè)交點(diǎn).

這三道題其實(shí)是一個(gè)幾何背景，把二次曲線由橢圓換成拋物線來考(其實(shí)也可以換成雙曲線)，或者對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行變換再考，是在一個(gè)背景下考查用解析幾何的方法證明同一個(gè)幾何性質(zhì).由于高中階段沒有學(xué)習(xí)過高等幾何的相關(guān)知識(shí)，所以對(duì)于考生來說，沒有雷同之嫌，都是新的題目，這些題目都考查了解析幾何中探索實(shí)踐、先猜后證和化歸與轉(zhuǎn)化的基本思想方法.

經(jīng)過這樣一番對(duì)比研究以后，對(duì)2020年北京卷解析幾何試題有沒有什么新的想法呢？可以繼續(xù)探究下去，看看還能得出哪些結(jié)論和性質(zhì)，能夠變換出哪些不同的題目.

變式探究：

(2)把橢圓的方程換為雙曲線或者拋物線的方程，結(jié)論仍然成立；

(3)更一般的結(jié)論：在求方程時(shí)用了點(diǎn)A的坐標(biāo)，其實(shí)在第二問時(shí)完全可以不用橢圓上的點(diǎn)A，而使用橢圓外的點(diǎn)，只要點(diǎn)A在點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極線上，結(jié)論也是完全可以成立的.這一步的引申與前兩個(gè)相比不是那么顯而易見.

如圖，AM與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為E，AN與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F，MF與EN的交點(diǎn)為R，則R與A調(diào)和共軛，又因?yàn)辄c(diǎn)B對(duì)應(yīng)的極線是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，所以△ABP是自極三角形，所以點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

如圖，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E′，點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′調(diào)和共軛，所以E′，B′，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

如圖，易知M′，B′，N三點(diǎn)共線，因?yàn)镋′F與M′N交于點(diǎn)B′，所以E′M′與NF的交點(diǎn)在點(diǎn)B的準(zhǔn)線上，也就是點(diǎn)Q.因此，此命題成立.

(4)由上面的結(jié)論，如果把|PB|=|BQ|當(dāng)成已知，就可以求證點(diǎn)A在一條定直線上，這又是另外一個(gè)題目了.