基于線上研討的三角形中位線定理課例研究

【摘 要】在后疫情時(shí)代，基于專業(yè)學(xué)習(xí)共同體的線上研討成了重要的教研方式。研究者以三角形中位線定理為例，整理了HPM課例線上研討和線下實(shí)施的過(guò)程，呈現(xiàn)了研究方法、實(shí)施流程、研究結(jié)果、教研規(guī)律等，為初中教師線上教研和課堂教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】線上研討;三角形中位線定理;專業(yè)學(xué)習(xí)共同體;課例研究

【作者簡(jiǎn)介】司睿，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

隨著HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體的擴(kuò)大和課例研究的深入開(kāi)展，越來(lái)越多的HPM課例應(yīng)運(yùn)而生，但由于歷史研究、教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)術(shù)研討、學(xué)生基礎(chǔ)等多方面的原因，這些課例都有待進(jìn)一步完善的空間。以三角形中位線定理為例，已有課例[1]11-15的不完善之處主要有以下兩個(gè)方面：一是學(xué)生在課堂上探究三角形中位線定理的證明時(shí)，未能再現(xiàn)歷史上所有的方法;二是學(xué)生在做出證明時(shí)，教師未能通過(guò)古今對(duì)照及時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而失去了落實(shí)學(xué)科德育的機(jī)會(huì)。

在后疫情時(shí)代，HPM工作室課例研究的“研討與設(shè)計(jì)”環(huán)節(jié)，從線下轉(zhuǎn)到了線上，線上交流平臺(tái)的多樣化與時(shí)間的靈活性使得課例的研討與交流更加便捷。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教研平臺(tái)，高校研究人員匯報(bào)相關(guān)主題的歷史，總結(jié)已有的教學(xué)設(shè)計(jì)。執(zhí)教者匯報(bào)其初步的教學(xué)設(shè)計(jì)，然后HPM工作室成員展開(kāi)深入研討。執(zhí)教者根據(jù)研討結(jié)果，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)后，選擇一個(gè)或多個(gè)班級(jí)進(jìn)行試講，再根據(jù)試講的效果，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做出進(jìn)一步的完善，最后付諸實(shí)踐。本文以三角形中位線定理為例，呈現(xiàn)基于線上研討的課例研究過(guò)程。

一、歷史材料及其應(yīng)用

公元前1700年左右，古巴比倫泥版書(shū)記載了許多三角形土地分割問(wèn)題，其中包括三角形中位線的問(wèn)題。

歐幾里得在《幾何原本》中利用面積法證明了更一般的定理（命題VI.2）：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點(diǎn)連線段平行于三角形的底邊?！盵2]如圖1，在中位線的特殊情形中，因?yàn)椤鰾DE和△CED面積相等，故DEBC;又因?yàn)椤鰾CE的面積是△BDE的兩倍，故BC = 2DE。

中國(guó)漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“方田”章中記載了求三角形土地面積的問(wèn)題：“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問(wèn)：為田幾何？”術(shù)曰：“半廣以乘正從?！盵3]三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)法，將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，由此推導(dǎo)出三角形的面積公式，如圖2和圖3所示。[4]同樣的方法可用于三角形中位線性質(zhì)定理的證明。

18—20世紀(jì)的西方幾何教科書(shū)采用多種方法證明三角形中位線定理。法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre）在《幾何基礎(chǔ)》中采用了反證法;蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利（J.Leslie）在《幾何和平面三角學(xué)基礎(chǔ)》中沿用了歐氏面積法;美國(guó)數(shù)學(xué)家菲利普（Phillips）在《幾何基礎(chǔ)》中利用平行線等分線段定理，采用同一法來(lái)證明;美國(guó)數(shù)學(xué)家維納布爾（Venable）在《幾何基礎(chǔ)》中采用了平行四邊形法進(jìn)行證明。在19 世紀(jì)末20 世紀(jì)初的幾何教科書(shū)中，大多數(shù)采用圖4所示的平行四邊形法來(lái)證明三角形中位線定理。我國(guó)現(xiàn)行初中教科書(shū)大多數(shù)采用此法。

法國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里尼翁（P.Varignon）利用三角形中位線定理，發(fā)現(xiàn)順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，且面積是原四邊形的一半，后人將中點(diǎn)四邊形稱為瓦里尼翁四邊形。

從古巴比倫泥版書(shū)上記載的三角形土地分割問(wèn)題，到不同國(guó)家和地域的數(shù)學(xué)家的不同證明方法，其凝結(jié)了豐富的數(shù)學(xué)思想，呈現(xiàn)了多元的數(shù)學(xué)文化。本節(jié)課設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，再現(xiàn)三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程與不同的證明方法，通過(guò)古今對(duì)照，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值。

二、基于線上研討的課例研究

執(zhí)教者研讀三角形中位線定理的歷史素材以及已有的課例，并和高校研究者借助在線網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行簡(jiǎn)短的溝通后，提出了自己的困惑以及創(chuàng)新的難點(diǎn)，接著根據(jù)自己的思考和經(jīng)驗(yàn)完成教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅰ），之后HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體利用騰訊會(huì)議平臺(tái)，就教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行深入研討。

1.線上研討

在第一次線上研討會(huì)上，高校研究者首先就三角形中位線定理這一主題，做了史料、課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的分析，以及已有教學(xué)設(shè)計(jì)的綜述。執(zhí)教者匯報(bào)了教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅰ）的設(shè)計(jì)過(guò)程，并提出自己的困惑。

執(zhí)教者將本節(jié)課定位為一節(jié)探究課，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形中位線定理的不同證明方法進(jìn)行探究，形成古今對(duì)照。教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）理解三角形中位線概念，經(jīng)歷三角形中位線概念的形成過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

（2）經(jīng)歷三角形中位線定理的探索過(guò)程，體會(huì)觀察、歸納、推理、應(yīng)用的數(shù)學(xué)研究過(guò)程，感受嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

（3）了解歷史上三角形中位線的證明方法，感悟其歷史文化內(nèi)涵和古人的探究精神，體會(huì)幾何學(xué)的魅力。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是三角形中位線定理的證明，教學(xué)難點(diǎn)是證明方法的探究。

教學(xué)過(guò)程由活動(dòng)引入、定理探究、新知應(yīng)用、課堂小結(jié)和布置作業(yè)五個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，具體見(jiàn)表1。

之后，大家對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅰ）進(jìn)行探討：關(guān)于活動(dòng)引入環(huán)節(jié)，距離測(cè)量的情境已經(jīng)被人們廣泛采用;已有的HPM課例的三角形土地分割情境，是根據(jù)古巴比倫泥版書(shū)上的土地分割問(wèn)題改編的，教師從學(xué)生的分割方案出發(fā)，自然引出三角形中位線概念[1]11-15。為了有所創(chuàng)新，執(zhí)教者設(shè)計(jì)了“三角形的內(nèi)接三角形”問(wèn)題。高校研究者認(rèn)為該問(wèn)題并沒(méi)有建立在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，不符合三角形中位線產(chǎn)生的歷史動(dòng)因，顯得不夠自然。關(guān)于活動(dòng)引入環(huán)節(jié)，高校研究者提出兩個(gè)建議：（1）通過(guò)設(shè)計(jì)三角形瓷磚的粘貼方案，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形中位線概念和性質(zhì)再設(shè)計(jì)證明;（2）通過(guò)推導(dǎo)三角形面積公式引入，學(xué)生可能會(huì)采用分割的方案，利用有關(guān)方案，即可自然引出三角形中位線概念。

關(guān)于定理探究環(huán)節(jié)，高校研究者提出兩個(gè)建議：（1）總結(jié)證明方法所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想——面面關(guān)系與線線關(guān)系的轉(zhuǎn)化;（2）從特殊到一般建立不同證明方法之間的聯(lián)系。關(guān)于新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，大家認(rèn)為，本節(jié)課的重點(diǎn)在于三角形中位線定理的探究，中點(diǎn)四邊形對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較難，不宜喧賓奪主。關(guān)于課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，高校研究者建議應(yīng)從知識(shí)升華到數(shù)學(xué)思想的高度。

2.第一次試講

集體在線研討后，高校研究者和執(zhí)教者線上討論，選取適當(dāng)?shù)氖妨?，制作按照時(shí)間順序呈現(xiàn)三角形中位線定理發(fā)展的微視頻，以便更好地進(jìn)行古今對(duì)照。根據(jù)高校研究者整理的在線研討的反饋，執(zhí)教者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅰ）做了改進(jìn)，形成教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅱ），見(jiàn)表2。

執(zhí)教者根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅱ）進(jìn)行了第一次試講。學(xué)生在課堂上分別將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形、矩形和梯形，與歷史上數(shù)學(xué)家的證明方法一致，達(dá)成了教師的預(yù)期目標(biāo)，整個(gè)課堂氛圍良好，學(xué)生紛紛展示自己的證明。關(guān)于中點(diǎn)四邊形的面積問(wèn)題（如圖7），一名學(xué)生連接四邊形對(duì)角線AC，利用三角形全等來(lái)證明。在最后的課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，除了對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，一名學(xué)生還上升到了數(shù)學(xué)思想的高度。他指出，證明方法的背后是轉(zhuǎn)化，構(gòu)造矩形的方法是構(gòu)造平行四邊形方法的特例，構(gòu)造兩組全等三角形，其實(shí)是構(gòu)造一組三角形全等的特例，轉(zhuǎn)化為梯形的方法是研究三角形的面積在等高的情況下底邊之間的關(guān)系。

3.第二次試講

第一次試講基本達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。在仔細(xì)閱讀教科書(shū)和史料后，執(zhí)教者發(fā)現(xiàn)教科書(shū)上的例題和中點(diǎn)四邊形有關(guān)，于是根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)新知應(yīng)用環(huán)節(jié)的例2做了一些改動(dòng)，形成教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅲ）：首先，設(shè)計(jì)一個(gè)圖形（如圖8），其中點(diǎn)C是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G 、H分別是BC、DC、AD、AB的中點(diǎn)，求證四邊形EFGH是平行四邊形;接著，完成證明后，去掉線段BD，得到凹四邊形ABCD（如圖9），從而引出中點(diǎn)四邊形;然后，將點(diǎn)C向下拉，得到一個(gè)凸四邊形（如圖10），讓學(xué)生繼續(xù)探究結(jié)論是否成立，體會(huì)數(shù)學(xué)中的 “變與不變”;最后，教師介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里尼翁的發(fā)現(xiàn)，并讓學(xué)生證明中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)。

按照教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅲ），執(zhí)教者進(jìn)行了第二次試講，但是課堂上并未出現(xiàn)歐幾里得的面積法。

4.第三次試講

第二次試講的效果并不理想，執(zhí)教者做了以下反思：其一，三角形面積公式的探究是以課前學(xué)習(xí)單的形式布置的，課上直接展示，既沒(méi)有打開(kāi)學(xué)生的思路，也沒(méi)能調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，以致在探究過(guò)程中學(xué)生并沒(méi)有完全呈現(xiàn)歷史上的不同證明方法;其二，由于借班上課，教師不了解學(xué)情，因此對(duì)學(xué)生引導(dǎo)不夠。于是執(zhí)教者通過(guò)騰訊會(huì)議平臺(tái)與高校研究者一起進(jìn)行了第二次線上研討，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅲ）進(jìn)行修改，形成教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅳ），見(jiàn)表3。

設(shè)計(jì)剪紙活動(dòng)的原因是，執(zhí)教者在前兩次試講時(shí)發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生在利用中位線分割三角形后證明中位線定理會(huì)花費(fèi)較多時(shí)間，且違背了引入環(huán)節(jié)的初衷。剪紙活動(dòng)既可以規(guī)避上述問(wèn)題，也可以為后面的定理探究環(huán)節(jié)構(gòu)建不同的證明方法做鋪墊。修改口答練習(xí)題的原因是，執(zhí)教者認(rèn)為原題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)過(guò)于簡(jiǎn)單，不直接給出三角形更具開(kāi)放性。

執(zhí)教者按照教學(xué)設(shè)計(jì)（Ⅳ）進(jìn)行了第三次試講。在活動(dòng)引入環(huán)節(jié)，執(zhí)教者引導(dǎo)小組成員分工合作，分別負(fù)責(zé)畫(huà)圖、剪紙和展示。學(xué)生依次呈現(xiàn)了平行四邊形法、劉徽的方法。在利用歐幾里得面積法時(shí)，學(xué)生只得到中位線與底邊的位置關(guān)系，未能證明出大小關(guān)系。

三、最終教學(xué)設(shè)計(jì)

從選題到初步設(shè)計(jì)，從第一次線上研討到每次試講后與高校研究者的交流，前后歷經(jīng)將近一個(gè)月的時(shí)間。在經(jīng)歷教學(xué)設(shè)計(jì)的三改三試后，執(zhí)教者第四次實(shí)施課堂教學(xué)，取得了較理想的效果。

1.活動(dòng)引入

在活動(dòng)引入環(huán)節(jié)，教師首先展示《九章算術(shù)》“方田”章中的圭田面積問(wèn)題，讓學(xué)生利用所提供的三角形紙片，通過(guò)剪和拼來(lái)推導(dǎo)三角形面積公式。其中兩組學(xué)生分別展示了平行四邊形（如圖12）和矩形（如圖13）的拼法。第一組學(xué)生沿著三角形兩邊中點(diǎn)的連線剪開(kāi)，將上方的小三角形倒置且與下方的梯形拼接在一起;第二組學(xué)生先沿著三角形底邊上的高剪開(kāi)，然后再沿著其余兩邊的中點(diǎn)剪開(kāi)。兩組學(xué)生在剪、拼的時(shí)候都用到了三角形兩邊的中點(diǎn)，由此順利引出三角形中位線的概念。

2.定理探究

教師首先讓學(xué)生猜想中位線的性質(zhì)，然后引導(dǎo)學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形、矩形和梯形進(jìn)行證明。學(xué)生四人一組，展開(kāi)了熱烈的討論，不僅再現(xiàn)了歷史上的證明方法，還呈現(xiàn)了古人沒(méi)有總結(jié)的證明方法。

第一組學(xué)生通過(guò)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造三角形全等來(lái)證明（如圖14）;第二組學(xué)生通過(guò)作高將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，與劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法相同（如圖15）;第三組學(xué)生取中位線DE的中點(diǎn)，構(gòu)造兩組全等三角形進(jìn)行證明（如圖16）。

三組學(xué)生展示各自的方法之后，教師追問(wèn)：“一定要在中位線上取特殊的點(diǎn)或者作高才可以證明嗎？”一名學(xué)生提出，可以在中位線上取任意點(diǎn)構(gòu)造兩組全等三角形來(lái)證明（如圖17）。接著，教師對(duì)上述的方法進(jìn)行總結(jié)，并借助幾何畫(huà)板，拖動(dòng)中位線DE上的點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到中位線端點(diǎn)處時(shí)對(duì)應(yīng)的是第一組的證明;當(dāng)點(diǎn)F分別移動(dòng)到垂足和中點(diǎn)處時(shí)，所得圖形分別對(duì)應(yīng)于第二組和第三組的證明。還有一名學(xué)生過(guò)三角形兩邊中點(diǎn)分別作底邊的垂線，從而將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，與劉徽推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)所采用的另一種出入相補(bǔ)法一致（如圖18）。有兩名學(xué)生分別展示了將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)關(guān)系來(lái)證明中位線與底邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（如圖19），這正是歐幾里得在《幾何原本》中采用的方法。

簡(jiǎn)短總結(jié)后，教師播放一段介紹三角形中位線歷史的微視頻，呈現(xiàn)三角形中位線的歷史發(fā)展過(guò)程以及古人的不同證明方法。

3.新知應(yīng)用

經(jīng)歷了前面的探究活動(dòng)，學(xué)生的思維得到了拓展，因此新知應(yīng)用環(huán)節(jié)進(jìn)行得比較順利;關(guān)于口答練習(xí)，學(xué)生構(gòu)造出三角形，利用中位線定理來(lái)解答;例題講解環(huán)節(jié)，在證明中點(diǎn)四邊形與原四邊形面積大小關(guān)系時(shí)，學(xué)生想到了利用三角形全等與面積等量代換兩種方法，與前面證明定理時(shí)的轉(zhuǎn)化方法相呼應(yīng)。

4.課堂小結(jié)

學(xué)生的總結(jié)涉及內(nèi)容、方法和思想，有的學(xué)生指出本節(jié)課學(xué)習(xí)了很多證明方法，而且方法之間有內(nèi)在聯(lián)系;有的學(xué)生提到作同一條輔助線可以有不同的解答;有的學(xué)生指出本節(jié)課的化歸思想很多，有線面轉(zhuǎn)化和圖形之間的轉(zhuǎn)化，通過(guò)割補(bǔ)法以及面積轉(zhuǎn)化法來(lái)解決問(wèn)題。最后，教師以“一個(gè)定理”（三角形中位線定理）、“兩種思想”（化歸思想與特殊到一般思想）、“三種方法”（平行四邊形、矩形和梯形）、“四點(diǎn)啟示”（古今聯(lián)系、知識(shí)關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用）對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)（如圖20）。

四、評(píng)價(jià)與啟示

第四次教學(xué)后，高校研究者與HPM工作室教師從數(shù)學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知需求、學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、學(xué)生表現(xiàn)度以及評(píng)價(jià)與運(yùn)用5個(gè)維度[5]，從HPM視角對(duì)這節(jié)課作出評(píng)價(jià)。（1）在數(shù)學(xué)內(nèi)容上，本節(jié)課選用的史料都是有文獻(xiàn)依據(jù)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史料的科學(xué)性。引入的剪紙活動(dòng)屬于說(shuō)理階段，解決了為什么學(xué)習(xí)中位線、中位線概念的來(lái)源問(wèn)題;定理探究環(huán)節(jié)，學(xué)生再現(xiàn)了歷史上的證明方法，形成了古今對(duì)照;新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，引入瓦里尼翁四邊形問(wèn)題。這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的有效性與可學(xué)性[6]。（2）在認(rèn)知需求上，本節(jié)課對(duì)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式屬于重構(gòu)式，通過(guò)活動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)中位線概念并猜想中位線性質(zhì)，再探究三角形中位線定理的證明方法，最后對(duì)定理加以應(yīng)用。（3）在學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)上，本節(jié)課的探究活動(dòng)為所有學(xué)生創(chuàng)造了展示自我的機(jī)會(huì)。微視頻建立了古今聯(lián)系，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。（4）在學(xué)生表現(xiàn)上，探究成果豐碩，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，學(xué)生總結(jié)比較到位。（5）在評(píng)價(jià)與運(yùn)用上，同伴的掌聲代替了執(zhí)教者的反饋。

本節(jié)課也存在一些不足之處。一是教師提供的三角形彩紙?zhí)咏妊切?，?duì)學(xué)生有誤導(dǎo);二是中點(diǎn)四邊形面積問(wèn)題占用了較多的課堂時(shí)間，淡化了本節(jié)課的主題;三是由于本節(jié)課的課堂容量較大，教師未能點(diǎn)明數(shù)學(xué)背后的理性精神與人文精神。從本次課例研究，我們得到以下啟示。

其一，運(yùn)用重構(gòu)式時(shí)要充分把握史料之間的聯(lián)系，將知識(shí)的歷史序與學(xué)生的心理序相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)，鍛煉和提升能力。

其二，學(xué)生的能力不容低估，他們?cè)谔骄炕顒?dòng)中可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，因此，教師要給學(xué)生探究的機(jī)會(huì)。學(xué)生在課堂上的出色表現(xiàn)、課后作業(yè)的正確率以及訪談結(jié)果，都印證了這一點(diǎn)。

其三，古今聯(lián)系是HPM視角下的命題教學(xué)的基本策略，而HPM微視頻為古今聯(lián)系提供了一條有效路徑。古今聯(lián)系縮短了學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的心理距離，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)自信心。

其四，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)為課例研究提供了便利的條件。在未來(lái)，線上研討必將成為HPM專業(yè)共同體開(kāi)展課例研究的重要方式。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：陸順演）