高中數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)策略

徐伶伶

邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特質(zhì)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)邏輯推理能力的養(yǎng)成，需要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地融入數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象與復(fù)雜的精確計(jì)算，讓學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)中體驗(yàn)到嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的思維方法。相對(duì)而言，邏輯推理能力不同于數(shù)學(xué)計(jì)算，更要從教學(xué)策略及思維情境搭建中，重視對(duì)隱含條件的挖掘，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、邏輯推理能力的培養(yǎng)難點(diǎn)分析

邏輯推理能力是學(xué)生必須具備的基本數(shù)學(xué)能力之一。從現(xiàn)階段高中生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)能力養(yǎng)成現(xiàn)狀來看，培養(yǎng)邏輯推理能力，還面臨一些難題。

（一）學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握相對(duì)薄弱

數(shù)學(xué)邏輯推理能力與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度直接相關(guān)。如果對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)理解不深刻，應(yīng)用能力不強(qiáng)，那么學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)題目時(shí)，既無法快速、有效地做出準(zhǔn)確判斷，也無法形成嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的數(shù)學(xué)解題思路。一些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念理解不透徹，在解決該類題時(shí)，必然無法勝任。以“充分與必要條件”為例，學(xué)習(xí)“充要條件”時(shí)，需要明白“充要條件的判定形式”，但因?yàn)閷?duì)“充要條件”的理解不到位，使得在判定“充要條件”時(shí)，難以準(zhǔn)確推斷結(jié)論。高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想是重要的基礎(chǔ)知識(shí)。一些學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解了數(shù)學(xué)中的基本公式，但對(duì)一些概念理解不準(zhǔn)確，以致于在解題時(shí)，思維受阻，影響邏輯推理能力的養(yǎng)成。在學(xué)習(xí)“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)時(shí)，很多學(xué)生不理解“古典概型”，對(duì)“排列組合”等基礎(chǔ)性知識(shí)理解不深刻。以某題為例：在8個(gè)球里，有3個(gè)白球，5個(gè)紅球，不放回地依次摸出2個(gè)球，在第一個(gè)球?yàn)榧t球的條件下，第二個(gè)球也為紅球的概率是多少？分析該題時(shí)，如果不能從題目中提煉和挖掘隱含條件，那么在推理分析時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)思維邏輯混亂，從而無法獲得正確答案?；A(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)看似與邏輯推理無關(guān)，卻成為制約學(xué)生邏輯推理能力培養(yǎng)的重要因素。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要結(jié)合學(xué)情，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，引領(lǐng)學(xué)生深刻理解和準(zhǔn)確把握基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)涵、意義，為發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力奠定基礎(chǔ)。

（二）學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的抽象與復(fù)雜性理解不到位

高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性、復(fù)雜性特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與想象力要求更高。面對(duì)數(shù)學(xué)題目，如果不能進(jìn)行邏輯推理與分析，就無法準(zhǔn)確挖掘數(shù)學(xué)解題方法，使得解題思路陷入被動(dòng)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生思維力的開發(fā)，特別是在邏輯推理方面，要從數(shù)學(xué)題意分析、解題方法探究、解題步驟總結(jié)等方面，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的抽象與復(fù)雜性特點(diǎn)。事實(shí)上，教師在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層指導(dǎo)，給出合理性的學(xué)習(xí)建議，圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)，一方面，盡量融入直觀化教學(xué)，降低學(xué)生的思維難度；另一方面，要突出數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，幫助學(xué)生理解不同解法的本質(zhì)意義。例如，學(xué)習(xí)“兩角和與差的余弦公式”時(shí)，很多教師習(xí)慣于直接講解公式的推理方法，忽視數(shù)學(xué)公式之間的邏輯關(guān)系。教師在授課時(shí)，要引領(lǐng)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，嘗試推導(dǎo)。不同學(xué)生在推導(dǎo)方式上各有不同。有的學(xué)生在圓中采用三角形全等方式推導(dǎo)，有的學(xué)生利用三角形面積推導(dǎo)。不管哪種推導(dǎo)方式，學(xué)生都可以將所學(xué)知識(shí)與新知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，挖掘隱含條件，增進(jìn)對(duì)公式的深刻理解。

二、整合數(shù)學(xué)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)思維訓(xùn)練環(huán)境

邏輯推理能力的發(fā)展，最根本的在于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。邏輯推理能力的培養(yǎng)并非朝夕之功，在平時(shí)課堂教學(xué)中，教師要善于整合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，積極創(chuàng)設(shè)思維訓(xùn)練環(huán)境，引領(lǐng)學(xué)生從邏輯分析、推理判斷中漸進(jìn)養(yǎng)成。

（一）注重基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考

夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，才能為數(shù)學(xué)邏輯推理訓(xùn)練奠定基礎(chǔ)。邏輯推理能力需要學(xué)生深刻把握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，能夠結(jié)合題意，展開對(duì)知識(shí)點(diǎn)的挖掘與整合。如果學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，就無法快速提煉解題要點(diǎn)，也無從形成嚴(yán)密的邏輯推理驗(yàn)證思路。例如，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，需要分析函數(shù)的形式，歸納函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)討論函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性。同時(shí)，數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)，要能夠激活學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。如果沒有興趣，則無從強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。在探討函數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)，我們先從一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性入手，引入數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生分析在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)，f（x）=x2的函數(shù)值隨x的增大而增大，以此推斷其為增函數(shù)；然后，參照增函數(shù)的描述方法和步驟，讓學(xué)生分析在區(qū)間（-∞，0）上其為減函數(shù)。從函數(shù)單調(diào)性的類比推理中，讓學(xué)生理解邏輯推理思維。

（二）關(guān)注學(xué)生個(gè)性，激活學(xué)生數(shù)學(xué)想象

在高中數(shù)學(xué)中，教師要尊重學(xué)生個(gè)性，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知需求，著力構(gòu)建滿足學(xué)生個(gè)性發(fā)展的學(xué)習(xí)情境。數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)沒有固定路徑，不同學(xué)生，其數(shù)學(xué)認(rèn)知存在差異性，需要教師做到因材施教。首先，從邏輯推理能力的形成過程入手，依托問題，激活學(xué)生的探究意識(shí)，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維；其次，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，結(jié)合已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，通過數(shù)學(xué)抽象、推理、模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。例如，{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，求其通項(xiàng)公式。在求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前，我們讓學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法。假設(shè){bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為b1，公差為d，則其通項(xiàng)公式的求解思路如下：b2=b1+d，b3=b2+d=b1+2d，則bn=bn-1+d=b1+（n-1）d。同樣的道理，我們參照等差數(shù)列的推導(dǎo)過程，求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到an=an-1q=a1qn-1。探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從學(xué)生熟悉的等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法入手，讓學(xué)生在思考、探索、求證中，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解題實(shí)踐中，促進(jìn)邏輯推理能力的潛移默化發(fā)展。

三、突出方法引領(lǐng)，挖掘數(shù)學(xué)隱含條件

在邏輯推理能力的發(fā)展中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的思考，需要學(xué)生能夠多維化展開，梳理數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識(shí)的遷移運(yùn)用。

（一）滲透數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)精神，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的靈活遷移

邏輯推理能力需要建立在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用上。數(shù)學(xué)學(xué)科抽象性強(qiáng)，解題思維嚴(yán)謹(jǐn)。分析數(shù)學(xué)題目時(shí)，教師要從題目中挖掘與之關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，順利實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移。在課程導(dǎo)入設(shè)計(jì)時(shí)，教師要把握新知識(shí)和舊知識(shí)的銜接，充分剖析數(shù)學(xué)整體與各分支的必要聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列后，比較不同數(shù)列的特征，歸納前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法。在學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，結(jié)合已學(xué)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及其性質(zhì)，讓學(xué)生運(yùn)用演繹推理方法，增進(jìn)對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的遷移應(yīng)用。在學(xué)習(xí)立體幾何中直線間的關(guān)系時(shí)，可以回顧平面幾何與立體幾何的差異，展開知識(shí)關(guān)聯(lián)與滲透，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

（二）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的引領(lǐng)，提煉隱含數(shù)學(xué)條件

在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)邏輯推理能力的運(yùn)用往往體現(xiàn)在對(duì)隱含條件的挖掘上。數(shù)學(xué)思維力始于數(shù)學(xué)閱讀，通過閱讀理解數(shù)學(xué)題意，感知和挖掘隱含條件，為邏輯推理做鋪墊。例如，有15張卡的盒子里，黑卡8張，紅卡7張，依次不放回地抽取2張，當(dāng)抽到第一張為黑卡時(shí)，第二張也為黑卡的概率是多少？閱讀題意，首先要提煉“不放回”“第一張為黑卡”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從中明晰解題思路。教師要善于挖掘關(guān)鍵點(diǎn)，從中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，提煉隱含條件。

總之，對(duì)于數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)，教師要重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，突出數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性、綜合性特點(diǎn)，融入數(shù)學(xué)思想，指導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理的方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。