基于D－Markov模型的金融波動(dòng)模式識(shí)別

徐 梅，扈 夢(mèng)

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津300072)

隨著金融市場(chǎng)的逐步復(fù)雜化，在實(shí)際的金融市場(chǎng)問(wèn)題中，金融波動(dòng)往往表現(xiàn)出豐富并且復(fù)雜的特性。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于金融波動(dòng)的研究方法主要有兩大類(lèi):一類(lèi)是金融計(jì)量學(xué)的研究方法，另一類(lèi)是混沌等非線性系統(tǒng)的理論和方法。傳統(tǒng)的方法研究金融波動(dòng)大都采用自回歸條件異方差(ARCH)模型、隨機(jī)波動(dòng)(SV)模型以及相關(guān)拓展模型等金融計(jì)量學(xué)方法，刻畫(huà)了金融波動(dòng)的厚尾、長(zhǎng)記憶性和持續(xù)性、波動(dòng)溢出效應(yīng)，以及波動(dòng)集群性等特性。高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率的計(jì)算主要基于“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)理論［1－2］。目前大多數(shù)關(guān)于金融時(shí)間序列的異常檢測(cè)是基于低頻數(shù)據(jù)的。AUREA等以金融時(shí)間序列的GARCH模型殘差為基礎(chǔ)，基于小波分析，提出了檢測(cè)并定位異常的方法，對(duì)道瓊斯指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)做了實(shí)證分析，檢測(cè)出歷史上股市因發(fā)生重大事件而表現(xiàn)出的較大波動(dòng)［3］。張成虎等基于小波分析的奇異點(diǎn)識(shí)別原理，分析了我國(guó)某省企業(yè)外匯賬戶的借貸發(fā)生額，并結(jié)合交易量檢測(cè)了異常交易賬戶［4］。符號(hào)時(shí)間序列分析(symbolic time series analysis，STSA)方法計(jì)算的快速性、強(qiáng)大的辨識(shí)與分類(lèi)功能，使其適合于提取數(shù)據(jù)序列的大尺度非線性動(dòng)力學(xué)特征。筆者將符號(hào)時(shí)間序列分析和工程領(lǐng)域的D－Markov模型引入基于高頻數(shù)據(jù)的金融波動(dòng)研究中，提出了一種用于金融波動(dòng)模式識(shí)別和異常檢測(cè)的方法。

ASOK首先提出了一種用于復(fù)雜系統(tǒng)隱含模式識(shí)別的快速時(shí)間序列方法，即D－Markov模型［5］。SHIN等在異常檢測(cè)領(lǐng)域?qū)⒃撃Ｐ团c統(tǒng)計(jì)方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)比，發(fā)現(xiàn)D－Markov模型優(yōu)于其他兩種方法［6］。AMOL等將其應(yīng)用于柔性機(jī)械聯(lián)軸器的異常檢測(cè)，取得了較好的效果［7］。

上述工程領(lǐng)域內(nèi)特定時(shí)間段中狀態(tài)的相關(guān)性較小，可以認(rèn)為是近似不相關(guān)的，然而金融領(lǐng)域與工程領(lǐng)域有很大的差別。國(guó)外學(xué)者通過(guò)實(shí)證研究證明了金融波動(dòng)序列存在長(zhǎng)記憶性［8－9］。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)金融波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性也進(jìn)行了大量的研究，結(jié)果表明:無(wú)論是基于高頻數(shù)據(jù)還是低頻數(shù)據(jù)，我國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)具有明顯的長(zhǎng)記憶性［10－11］。因此，對(duì)原始金融波動(dòng)序列進(jìn)行基于D－Markov模型的分析顯然是不合適的。但是，小波變換具有去相關(guān)性的特點(diǎn)，徐梅等對(duì)長(zhǎng)記憶金融波動(dòng)序列相關(guān)性分析表明:同一尺度下或者不同尺度下的DWT系數(shù)是近似不相關(guān)的［12］。因此，可以對(duì)金融波動(dòng)序列變換后的小波系數(shù)序列進(jìn)行DMarkov分析。

筆者首先對(duì)金融波動(dòng)序列進(jìn)行小波變換，再利用D－Markov模型進(jìn)行金融波動(dòng)變化模式識(shí)別和異常檢測(cè)，以上海證券交易所綜合指數(shù)(簡(jiǎn)稱上證綜指)2007—2010年1—12月采樣間隔為5 min的高頻數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行實(shí)證分析，以驗(yàn)證該方法的可行性。

1 時(shí)間序列的小波分析

根據(jù)文獻(xiàn)［13］，對(duì)于函數(shù) ψ(t)∈L2(R)，L2(R)指t∈R的所有平方可積函數(shù)組成的函數(shù)空間，如果ψ(t)的傅里葉變換滿足容許性條件(Admissible Condition)，則:

則稱ψ(t)為一個(gè)小波母函數(shù)，對(duì)ψ(t)做伸縮和平移，得小波函數(shù)為:

其中，m∈z={0，±1，±2，…}為尺度函數(shù);n∈z為平移系數(shù)。

對(duì)于任一離散形式時(shí)間序列x(t)∈L2(R)可表示為:

2 小波系數(shù)符號(hào)化

時(shí)間序列符號(hào)化的基本思想是將原始時(shí)間序列劃分為有限個(gè)數(shù)的區(qū)間，每個(gè)區(qū)間分配不同的符號(hào)，每個(gè)原始數(shù)據(jù)根據(jù)落入?yún)^(qū)間的不同對(duì)應(yīng)不同的符號(hào)［14］。ASOK在基于小波的劃分中提出均勻劃分，然而均勻劃分并沒(méi)有考慮不同區(qū)域所包含信息量的多少。作為對(duì)均勻劃分的發(fā)展，VENKATESH提出了基于小波的最大熵(ME)劃分［15］。N為小波系數(shù)序列的長(zhǎng)度，k為符號(hào)集的大小，將小波系數(shù)序列按升序重新排列，從重新排列后的第一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，每一個(gè)長(zhǎng)度為［N/k］(［x］為小于等于x的最大整數(shù))的連續(xù)的數(shù)據(jù)段形成一個(gè)劃分后的區(qū)域。ME劃分的關(guān)鍵在于符號(hào)集k大小的選擇。符號(hào)集大小為k的符號(hào)序列的shannon熵定義為:

其中，pi為符號(hào)σi出現(xiàn)的概率。且令0lb 0=0，H(1)=0。定義h(·)為shannon熵隨符號(hào)集k大小的變化，表示為:

選擇符號(hào)集大小的算法步驟如下:

(1)令 k=2。選擇一個(gè)閾值 εh，0 ＜εh＜1。

(2)將長(zhǎng)度為N的小波系數(shù)序列按升序排列。

(3)升序排列后，每一個(gè)長(zhǎng)度為［N/k］的連續(xù)數(shù)據(jù)段構(gòu)成劃分后的一個(gè)區(qū)域。

(4)按照步驟(3)得到的劃分將小波系數(shù)序列轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列。如果一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)落在某個(gè)劃分區(qū)域的區(qū)間內(nèi)或是在該劃分區(qū)域的下界上，則將該數(shù)據(jù)點(diǎn)編碼為與該區(qū)域相關(guān)的符號(hào)。

(5)計(jì)算每個(gè)符號(hào)的概率 pi，i=1，2，…，k。

(6)根據(jù)式(4)和式(5)計(jì)算H(k)和h(k)。

(7)如果h(k)＜εh，退出。否則令 k=k+1，返回步驟(3)。

根據(jù)已知的小波系數(shù)序列及選定的閾值，確定符號(hào)集k的大小，然后按照步驟(4)將小波系數(shù)序列符號(hào)化，得到符號(hào)序列。

3 符號(hào)序列的D－Markov模型分析

3.1 D －Markov模型

對(duì)于給定的符號(hào)序列{st}，符號(hào)集大小為k，窗口長(zhǎng)度為D，從符號(hào)序列的第一個(gè)符號(hào)開(kāi)始，以窗口長(zhǎng)度D向右滑動(dòng)，每次滑動(dòng)一個(gè)符號(hào)，如此保留前一個(gè)狀態(tài)的后(D－1)個(gè)符號(hào)并附加一個(gè)新的符號(hào)產(chǎn)生一個(gè)新的狀態(tài)。

定義1 對(duì)于一個(gè)符號(hào)序列過(guò)程，如果下一個(gè)符號(hào)的出現(xiàn)只與前D個(gè)符號(hào)有關(guān)，則稱這個(gè)過(guò)程為D階馬爾科夫(D－Markov)過(guò)程［16］，即:

定義2 狀態(tài)集Q中的第i個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第j個(gè)狀態(tài)的概率為:

因此，對(duì)于一個(gè)D－Markov模型，矩陣Π≡［πij］為所有狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率，是一個(gè)非退化矩陣。矩陣Π的單位特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量p表示在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定條件下的狀態(tài)概率向量。因?yàn)榫仃嚘笆窃诜€(wěn)定條件下的非退化矩陣，由Perron－Frobenius定理可知，它一定存在一個(gè)唯一的單位特征值。對(duì)于給定的符號(hào)序列…s－2s－1s0s1s2…，以窗口長(zhǎng)度D向右滑動(dòng)，分別統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度為D+1和D的符號(hào)串的個(gè)數(shù)，記為N(si1…siDsiD+1)和N(si1…siD)。如果 N(si1…siD)=0，那么狀態(tài) q≡si1…siD∈Q發(fā)生的概率為0。如果N(si1…siD)≠0，計(jì)算某一狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為:

其中，相應(yīng)的狀態(tài)表示為qi≡si1…siD和qj≡si2…siDs。

標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列產(chǎn)生的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣記為Π0，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣得到狀態(tài)概率向量p0，其中的每個(gè)元素為狀態(tài)向量的穩(wěn)定概率。同時(shí)狀態(tài)概率向量也是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣單位特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量。

3.2 異常度計(jì)算

按照上述計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)極限狀態(tài)概率向量的方法，可以得到波動(dòng)序列時(shí)間 t1，t2，…，ti，…對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率向量 p1，p2，…，pi，…。整個(gè)系統(tǒng)的行為變化，可用異常度來(lái)表示，定義為:

其中，d(·，·)表示所選擇的距離函數(shù)。在文中，筆者使用標(biāo)準(zhǔn)歐拉范數(shù)作為距離函數(shù)來(lái)體現(xiàn)不同狀態(tài)概率向量之間的差異。

3.3 波動(dòng)變化模式識(shí)別及異常檢測(cè)

3.3.1 波動(dòng)變化模式識(shí)別

首先，選定標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列的選擇，既可以變化平穩(wěn)，也可以是變化劇烈且其中有異常變化的波動(dòng)序列，還可以是任意的作為參照標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)序列。根據(jù)式(9)計(jì)算波動(dòng)序列的異常度，得到異常度曲線，異常度越小則與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列的變化模式越相似，若異常度為0則可以認(rèn)為與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列的變化模式是一樣的;異常度越大則與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列變化模式的差別越大。在實(shí)際應(yīng)用中，可以在歷史波動(dòng)序列中尋找與目標(biāo)波動(dòng)序列變化模式相似的波動(dòng)序列，進(jìn)而可以參考相似波動(dòng)序列的投資策略。

3.3.2 異常波動(dòng)檢測(cè)

將“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列的值由大到小排列，設(shè)其10%分位數(shù)為異常波動(dòng)臨界值，大于臨界值的波動(dòng)定義為異常波動(dòng)，則正常波動(dòng)序列是一段不包含異常波動(dòng)的序列。選定一段正常波動(dòng)序列，根據(jù)式(9)計(jì)算波動(dòng)序列的異常度，根據(jù)異常度曲線，如果某時(shí)點(diǎn)的異常度較大，則說(shuō)明該時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子序列與正常波動(dòng)序列的變化模式差別較大，為異常波動(dòng)序列。

4 實(shí)證分析

筆者選取上海證券交易所綜合指數(shù)(簡(jiǎn)稱上證綜指)2007—2010年1—12月采樣間隔為5 min的高頻數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，上午9:30—11:30和下午13:00—15:00是連續(xù)競(jìng)價(jià)時(shí)間，每天交易時(shí)間為 4 h，則每日有48個(gè)數(shù)據(jù)，時(shí)間段為:2007/01/04—2010/12/31，共46 752個(gè)數(shù)據(jù)。

4.1 “已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)

“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)(realized volatility，RV)是TORBEN等在金融高頻時(shí)間序列的基礎(chǔ)上提出的一種波動(dòng)率度量方法。RV為金融資產(chǎn)日內(nèi)收益平方之和，表示為:

其中，rt，j=lg pt，j－ lg pt，j－1(t=1，2，…，T，j=1，2，…，M)。pt，j為金融資產(chǎn)在第 t日的第 j個(gè)價(jià)格，rt，j為金融資產(chǎn)第 t日的第 j個(gè)日內(nèi)收益，M為在［t，t+1］的間段內(nèi)等間隔的采樣次數(shù)。由式(10)可得到上證綜指“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列{Vt}，長(zhǎng)度為974。

4.2 選擇符號(hào)集大小

筆者選擇以月為周期來(lái)研究金融波動(dòng)的變化。為了便于進(jìn)行離散小波變換，每個(gè)波動(dòng)時(shí)間段包括32個(gè)交易日的數(shù)據(jù)。由于符號(hào)集k的大小與波動(dòng)時(shí)間段內(nèi)具體的波動(dòng)值無(wú)關(guān)，因此可以在整個(gè)波動(dòng)序列內(nèi)任意選擇32個(gè)交易日的數(shù)據(jù)來(lái)確定k。對(duì)閾值εh的選擇要綜合考慮計(jì)算準(zhǔn)確度和計(jì)算速度等因素，因此選閾值εh=0.2。

在波動(dòng)序列中任意選擇32個(gè)交易日的數(shù)據(jù)組成一段波動(dòng)時(shí)間序列。選擇“haar”為小波基，對(duì)此波動(dòng)時(shí)間序列進(jìn)行4尺度離散小波變換得到小波系數(shù)序列{cd1}、{cd2}、{cd3}、{cd4}。將小波系數(shù)按照對(duì)應(yīng)尺度從小到大的順序排列，得到序列{{cd1}，{cd2}，{cd3}，{cd4}}。然后確定符號(hào)集k的大小。熵值增量隨符號(hào)集k的變化如圖1所示。

圖1 熵值增量隨符號(hào)集k的變化圖

從圖1中可以看出，當(dāng)符號(hào)集大小為7時(shí)，熵值增量大于0.2;當(dāng)符號(hào)集大小為8時(shí)，熵值增量小于0.2，因此，筆者選擇符號(hào)集大小為8。

4.3 波動(dòng)變化模式識(shí)別

由上述“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列{Vt}按時(shí)間段劃分構(gòu)造出新的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列{RVi}:第1個(gè)到第32個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成RV1，第2個(gè)到第33個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成RV2，依次類(lèi)推第943個(gè)到第974個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成RV943。新構(gòu)造的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列為{RV1，RV2，…，RV943}，RVi為32維。從新構(gòu)造的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列中選取 RV760、RV169、RV289作為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，分別記為 S1、S2、S3，波動(dòng)情況如圖2所示。

圖 2 S1、S2、S3 波動(dòng)圖

選擇窗口長(zhǎng)度D為3，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列進(jìn)行小波變換，得到小波系數(shù)序列，然后采用基于最大熵的劃分，得到劃分標(biāo)準(zhǔn)，并進(jìn)行符號(hào)化。運(yùn)用D－Markov模型分析符號(hào)序列，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量p0。

對(duì)于每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列，依據(jù)該標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列下得到的劃分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)新構(gòu)造的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列中每個(gè)RVi進(jìn)行符號(hào)化，求出其對(duì)應(yīng)的符號(hào)序列，運(yùn)用D－Markov模型分析符號(hào)序列，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量pi。按式(9)求出狀態(tài)概率向量pi與標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率向量之間的距離Mi。分別以S1、S2、S3為標(biāo)準(zhǔn)得到的{RVi}與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列的距離記為{d1i}、{d2i}、{d3i}，則其分別為3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下{RVi}的異常度，如圖3所示。

圖3 波動(dòng)序列{RVi}與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列之間的異常度

由圖3可以看出，d1比較平緩，基本沒(méi)有劇烈的變化，然而實(shí)際上各個(gè)時(shí)間段的波動(dòng)變化模式差別很大，說(shuō)明基于該標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的劃分標(biāo)準(zhǔn)不能很好地刻畫(huà)整個(gè)波動(dòng)序列的變化。d2、d3變化劇烈，方差較大，更適合來(lái)刻畫(huà)各個(gè)時(shí)間段的變化模式。異常度越小則與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列變化模式越接近，圖4表示了幾個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列S2模式相似的波動(dòng)序列，其中 RV165、RV140異常度分別為0.686、0.808。

圖4 兩個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)RV169變化模式相似的波動(dòng)序列波動(dòng)圖

4.4 異常波動(dòng)檢測(cè)

選定正常波動(dòng)序列。由{Vt}求出異常波動(dòng)臨界值為1.205 7×10－4，樣本“已實(shí)現(xiàn)”序列的波動(dòng)平均值為6.028 7×10－5，然而，如果選取的正常波動(dòng)序列中波動(dòng)值都比較小，如上述的S1，則不能有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)波動(dòng)序列的檢測(cè)。這里選取RV528作為正常波動(dòng)序列，即標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列，其波動(dòng)值均在異常波動(dòng)臨界值以下，絕大多數(shù)處于波動(dòng)平均值附近。

計(jì)算每個(gè)RVi與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列RV528之間的異常度，異常度大，則說(shuō)明其與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)序列變化模式差別大，是異常波動(dòng)序列。圖5列示了正常波動(dòng)序列及幾列異常波動(dòng)序列的波動(dòng)圖，幾個(gè)異常波動(dòng)序列為 RV532、RV89、RV230、RV115、RV926，異常度分別為 1.958、1.737、1.736、1.733、1.711。

圖5 正常波動(dòng)序列和幾列異常波動(dòng)序列波動(dòng)圖

5 結(jié)論

筆者將符號(hào)時(shí)間序列分析、小波分析和工程領(lǐng)域的D－Markov模型引入到基于高頻數(shù)據(jù)的金融波動(dòng)研究中，提出了一種用于金融波動(dòng)變化模式識(shí)別和異常檢測(cè)的方法。

對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的上證綜指RV序列進(jìn)行了實(shí)證分析，在選定研究周期后，識(shí)別波動(dòng)序列的變化模式，并基于正常波動(dòng)序列確定異常波動(dòng)序列。實(shí)證研究表明，該方法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)金融波動(dòng)變化模式的識(shí)別，還可以有效地檢測(cè)到異常波動(dòng)序列。筆者以月為周期，該方法還可以用于以周等較短時(shí)間段為周期，為短期投資者交易提供參考。在實(shí)際應(yīng)用中，異常波動(dòng)序列的檢測(cè)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避防范和風(fēng)險(xiǎn)管理監(jiān)控有重要意義，尋找變化模式相似的波動(dòng)序列，則可以參考彼此的投資策略。

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