課堂教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷“猜想與驗(yàn)證”的過(guò)程

李峰

【摘要】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)“有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”，“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”.為了體現(xiàn)新課程理念，我在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”這一內(nèi)容時(shí)對(duì)教材進(jìn)行了一些校本化處理，也對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式進(jìn)行了一些嘗試和探索.本文將對(duì)這兩方面做法進(jìn)行介紹.

【關(guān)鍵詞】 推測(cè);經(jīng)歷;猜想;分析;驗(yàn)證

“圓的周長(zhǎng)”這一常規(guī)內(nèi)容，我教過(guò)很多遍，有關(guān)“圓的周長(zhǎng)”的典型課例也看過(guò)很多次了.如今，再次執(zhí)教這一內(nèi)容，我對(duì)這一內(nèi)容有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).現(xiàn)將“圓的周長(zhǎng)”這一課的教學(xué)片段展示如下.

教學(xué)片段

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

師：這里有一個(gè)用橡膠管做成的圓形呼啦圈，怎樣才能知道做這個(gè)呼啦圈用了多長(zhǎng)的橡膠管呢？

1.測(cè)量圓的方法.

（1）圍的方法;

（2）滾動(dòng)的方法（課件演示）.

師：我們剛才是利用圍的方法或滾動(dòng)的方法求圓的周長(zhǎng)的，如果求一個(gè)很大的圓形廣場(chǎng)的周長(zhǎng)，你還能用這兩種方法嗎？

2.計(jì)算的方法.

師：圓的周長(zhǎng)與圓的哪些要素有關(guān)？

二、初步推測(cè)，形成猜想

猜測(cè)一：圓的周長(zhǎng)與圓的哪些要素有關(guān)？是與圓心有關(guān)，與半徑有關(guān)，還是與直徑有關(guān)？

直徑越長(zhǎng)，周長(zhǎng)越長(zhǎng);直徑越短，周長(zhǎng)越短.（教師可結(jié)合手中的4個(gè)不同大小的圓和學(xué)生一起探究）

猜測(cè)二：圓的周長(zhǎng)與直徑有什么關(guān)系？

師：對(duì)于一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，周長(zhǎng)和直徑到底存在什么關(guān)系？（教師舉起手中的一個(gè)圓）

圓的周長(zhǎng)與直徑存在倍數(shù)關(guān)系.

猜測(cè)三：圓的周長(zhǎng)大約是直徑的幾倍？

師：很明顯，任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)都要大于它的直徑，研究周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系，應(yīng)該用圓的周長(zhǎng)除以直徑，看看周長(zhǎng)是直徑的多少倍.那么，請(qǐng)你猜測(cè)一下，圓的周長(zhǎng)大約是直徑的多少倍？說(shuō)出你猜測(cè)的依據(jù).（小組討論）

三、設(shè)計(jì)方案，驗(yàn)證猜想

觀察討論：圓的周長(zhǎng)大約是直徑的幾倍？

1.看到圖1所示的這幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，半圓的弧線(xiàn)大于直徑.

得出結(jié)論：圓的周長(zhǎng)比直徑的2倍還要多一些.

2.觀察圖2中的圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，正方形的周長(zhǎng)（直徑的4倍）大于圓的周長(zhǎng).

得出結(jié)論：圓的周長(zhǎng)比直徑的4倍還要少一些.

3.仔細(xì)觀察圖3中的圖形，你能得出什么結(jié)論呢？

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，圓周上的每一條小弧線(xiàn)都大于正六邊形的邊長(zhǎng)（半徑）.

得出結(jié)論：圓的周長(zhǎng)比直徑的3倍還要多一些.

小結(jié)：一開(kāi)始，我們認(rèn)為圓的周長(zhǎng)在直徑的2倍至4倍之間.后來(lái)，我們確定圓的周長(zhǎng)比直徑的3倍還要多一些.

這個(gè)結(jié)論是否可靠，我們需要進(jìn)一步用數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.

四、分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論

1.學(xué)生計(jì)算C÷d，并把結(jié)果填入表1中.（課件展示表1）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

得出結(jié)論：圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些.

2.揭示圓周率的意義.

師：圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些，這個(gè)倍數(shù)是一個(gè)固定的值，叫作圓周率，用字母π表示.（雖然π是一個(gè)希臘字母，但它代表的是一個(gè)數(shù)）

3.介紹有關(guān)圓周率的歷史.

（介紹過(guò)程略）

4.推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)的公式.

師：我們已經(jīng)明確了圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系——C÷d=π，

若已知直徑，怎樣求圓的周長(zhǎng)呢？

（C=πd）

若已知半徑，怎樣求圓的周長(zhǎng)呢？

（C=2πr）

說(shuō)明：在實(shí)際計(jì)算中，若無(wú)特別說(shuō)明，則π取3.14.

師：要求圓的周長(zhǎng)，需要知道哪些條件？（直徑或半徑）

教學(xué)反思

“圓的周長(zhǎng)”這一內(nèi)容是組織學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的極好素材.我把這節(jié)課的課題確立為“探索與發(fā)現(xiàn)”.探索什么呢？就是探索圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)什么呢？就是發(fā)現(xiàn)“圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些”的規(guī)律.在實(shí)際教學(xué)中，我為學(xué)生提供了進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證等探究活動(dòng)，感知圓的周長(zhǎng)，理解圓周率的意義，自主推導(dǎo)出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式.

那么，教學(xué)這一傳統(tǒng)內(nèi)容，怎樣才能體現(xiàn)一些創(chuàng)新性的教法呢？為此，我們做了以下幾方面的嘗試.

（1）在確立重點(diǎn)上有所突破

以往教學(xué)這節(jié)課時(shí)，我們一般把教學(xué)重點(diǎn)放在圓周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用上.而今我們把這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確立為探索圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，其目的在于突出探索的過(guò)程.

（2）在處理教材上有所突破

對(duì)于教材，我們做了一些校本化處理.以往在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，這節(jié)課要從圓周長(zhǎng)的意義講到圓周率的得出，再講圓周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，最后講公式的應(yīng)用.而今，為了給學(xué)生更多的探索時(shí)間和空間，讓學(xué)生體會(huì)圓周率的推算過(guò)程，我們將“利用公式解決問(wèn)題”放在下一節(jié)課進(jìn)行.

（3）讓學(xué)生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—合理猜測(cè)—數(shù)據(jù)驗(yàn)證”的探索過(guò)程

讓學(xué)生經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的理念之一.在引導(dǎo)學(xué)生探索圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系時(shí)，我讓學(xué)生進(jìn)行了三次猜測(cè)：第一次是讓學(xué)生猜測(cè)“圓的周長(zhǎng)與圓的哪些要素有關(guān)”，目的是讓學(xué)生初步明確探索什么（探索圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系）;第二次是讓學(xué)生猜測(cè)“圓的周長(zhǎng)與直徑存在什么關(guān)系”（如加、減、乘、除，哪一種關(guān)系），進(jìn)一步明確探索的目標(biāo);第三次是讓學(xué)生猜測(cè)“圓的周長(zhǎng)大約是直徑的幾倍”.我在處理這一環(huán)節(jié)時(shí)，為學(xué)生提供了3幅圖：第一幅是一個(gè)圓被直徑分成兩部分，學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)上、下半圓的弧分別大于直徑，于是得到第一個(gè)結(jié)論——圓的周長(zhǎng)比直徑的2倍還要多一些;第二幅是圓外切正方形，學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，圓的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)，而正方形的周長(zhǎng)恰好等于圓直徑的4倍，于是得到第二個(gè)結(jié)論——圓的周長(zhǎng)比直徑的4倍還要少一些;第三幅是圓內(nèi)接正六邊形，學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，圓的周長(zhǎng)大于內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，而圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)恰好等于直徑的3倍，于是得到第三個(gè)結(jié)論——圓的周長(zhǎng)比直徑的3倍還要多一些.從第一幅圖的“2倍多”到第二幅圖的“4倍少”，圓的周長(zhǎng)除以直徑的結(jié)果是2點(diǎn)幾倍還是3點(diǎn)幾倍，是沒(méi)有定論的.但是通過(guò)第三幅圖，我們鎖定“圓的周長(zhǎng)比直徑的3倍還要多一些”這一結(jié)論，從而確定了圓的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)關(guān)系的區(qū)間，為后來(lái)的數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證提供了理論依據(jù)，最后得出圓周率的意義.

事實(shí)上，我們從有關(guān)圓周率的研究史料中也能了解到，今天我們研究圓周率的過(guò)程與古人的研究過(guò)程是相似的.古希臘的阿基米德從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形兩個(gè)方向推導(dǎo)，獲得了圓周率介于22371和227之間的結(jié)論.后來(lái)，我國(guó)的劉徽和祖沖之利用“割圓術(shù)”對(duì)圓周率進(jìn)行更精確的計(jì)算.雖然我們沒(méi)有像古人那樣精確地探索圓周率問(wèn)題，但學(xué)生親身經(jīng)歷了類(lèi)似古人的探索過(guò)程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出與科學(xué)家基本一致的研究結(jié)果.學(xué)生因此獲得了成功體驗(yàn)，增強(qiáng)了熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感.

（4）在介紹有關(guān)圓周率的史料方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行國(guó)際理解教育

以往，我們?cè)诮榻B有關(guān)圓周率的史料時(shí)，只介紹劉徽、祖沖之的成就，而忽略了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的成就.因此，我們?cè)趯?duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)祖國(guó)、愛(ài)科學(xué)教育的同時(shí)，應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行國(guó)際理解教育.