管窺高考數(shù)學文化題的取材視角

熊康松

【摘要】本文從七個方面結(jié)合實例闡述了高考文化數(shù)學試題的取材視角.

【關(guān)鍵詞】高考;數(shù)學文化;取材

數(shù)學是人類文化的重要組成部分，對推動社會發(fā)展起到重要的作用.數(shù)學課程能夠幫助學生形成正確的數(shù)學觀.為此，高中數(shù)學課程在適當?shù)膬?nèi)容中提出對數(shù)學文化的學習要求.近幾年的高考數(shù)學試題加強了對數(shù)學文化的考查，新課標將數(shù)學文化作為課程中的一部分內(nèi)容，一方面為學生關(guān)注數(shù)學文化提供“導向”，另一方面使數(shù)學試題增添文化色彩與人文氣息.本文從七個方面，展示數(shù)學文化試題的取材視角，希望對大家的教學有所幫助.

一、從著名歷史建筑文化古跡中提取素材

歷史文物和古代建筑是歷史的見證，其中蘊含著豐富的文化，以此為素材是高考命題中最常見的一種形式.學生在完成這類試題的過程中，不斷了解和豐富了數(shù)學文化知識，增進了民族的自豪感.

例1 某天壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板，環(huán)繞它砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板3402塊，求下層比中層多塊.

點評 天壇是中國古代祭祀用的場所，有著深厚的歷史特色，本題以天壇為背景命題，考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和的求法等基本知識.

二、從數(shù)學名著中提取素材

從《九章算術(shù)》《數(shù)學九章》《算法統(tǒng)宗》《四元玉鑒》《詳解九章算術(shù)》等古代數(shù)學名著中選取素材是很常見的命題方式.

例2 《九章算術(shù)》有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問積及為米幾何.”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少.”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）.

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

四、從著名的數(shù)學模型中提取素材

在劉徽的《九章算術(shù)注》中出現(xiàn)了一些數(shù)學模型，如趙爽弦圖、牟合方蓋、陽馬、鱉臑等，以這些數(shù)學模型為背景設置數(shù)學題比較常見.

五、從著名的數(shù)學方法中提取素材

我國古代的一些數(shù)學著作中出現(xiàn)了一些方法，如何承天發(fā)明的調(diào)日法、割圓術(shù)等，以這些數(shù)學方法為背景設置數(shù)學題，新穎別致.

例5 歷史上，求圓周率π的方法有多種，其中數(shù)學家阿爾·卡西的方法廣為人知，先計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形的周長，然后讓正整數(shù)n充分大，于是將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值.按照這種方法，π的近似值的表達式是.

解 單位圓內(nèi)接正6n邊形的每條邊所對應的圓周角為360°n×6=60°n，每條邊長為2sin 30°n，所以，單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長為12nsin 30°n，

單位圓的外切正6n邊形的每條邊長為2tan 30°n，其周長為12ntan 30°n，

例6 調(diào)日法是古代一種求近似值的方法，已知m，n，h，k∈N，將實數(shù)x的過剩近似值和不足近似值分別記為nm和kh，于是x更為精確的過剩近似值或不足近似值為n+km+h，已知π為圓周率，顯然3110<π<4915，分析可知第一次用調(diào)日法后得π更為精確的過剩近似值是165，因此有不等關(guān)系3110<π<165，假如每次都取最簡分數(shù)作為結(jié)果，則第三次用調(diào)日法后可得π的近似結(jié)果為（ ）.

A.227 B.6320 C.7825 D.10935

解 由調(diào)日法運算方法可知，第一次用調(diào)日法得π更為精確的過剩近似值是165，即3110<π<165，第二次用調(diào)日法后得π更為精確的過剩近似值是4715，即4715<π<165，第三次用調(diào)日法后得π更為精確的過剩近似值是6320，即4715<π<6320，故第三次調(diào)日法后得到6320為π的近似分數(shù).故選B.

點評 本題取材于我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的調(diào)日法，突出對學生運算能力的考查.

六、從著名的數(shù)學定理中提取素材

以著名的數(shù)學定理（如中國剩余定理、祖暅原理）為文化背景的試題是數(shù)學文化類命題的一大熱點.數(shù)學定理的內(nèi)容和推導過程中都蘊含著豐富的數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學文化，這些都將潛移默化地影響學生的思維，激發(fā)學生的學習興趣.

例7 祖暅原理為大家熟知的結(jié)論大意是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，若被平行于這兩個平面的任何平面所截，假如截得的兩個截面的面積是相等的，那么這兩個幾何體的體積就會相等.請同學們用祖暅原理解決如下問題：如下圖，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時容器中水的深度為.

點評 本題的背景是角谷猜想（也叫敘拉古問題），即對于任意給定的正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就除以2，如果是奇數(shù)，就乘以3再加上1，如此運算下去，一定會出現(xiàn)4，2，1的循環(huán).它首先流傳于美國，后來一位名叫角谷的日本數(shù)學家將它帶到了亞洲.

很多高考數(shù)學文化試題在課本中都能找到，如秦九韶算法、更相減損術(shù)、伯努利不等式、阿波羅尼圓、祖暅原理、劉徽割圓術(shù)、斐波那契數(shù)列等，這些都出現(xiàn)在教材閱讀與思考或探究與發(fā)現(xiàn)欄目中，因此教師可以自己改編一些試題，以便學生在學習中使用.