信息技術(shù)條件下的高中數(shù)學實驗教學

向引

【摘要】本文將數(shù)學實驗教學與信息技術(shù)有機結(jié)合，通過兩個教學課例，說明如何讓學生主動建構(gòu)知識，并從中獲得數(shù)學體驗，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 APOS理論;實驗教學;過程性變式

【基金項目】安徽省教育信息技術(shù)研究2019年度立項課題——信息技術(shù)條件下的高中數(shù)學實驗校本課程的開發(fā)（AH2019341）.

引 言

從當前我國中學數(shù)學實驗開展的總體狀況看，中學階段數(shù)學實驗更側(cè)重于教師展示知識的發(fā)展過程，幫助學生積累感性認識，加深理解，充分利用計算機輔助教學.其實施的主體是教師而不是學生，其教學內(nèi)容與中學物理、化學實驗相比，一般沒有穩(wěn)定和相對獨立的內(nèi)容，因而，數(shù)學實驗在理論上的重要性不能保證它在課程實施中，與大學數(shù)學實驗課或中學的理化實驗課取得平行的重要地位.中學理化課上，實驗不可缺少，大學的數(shù)學實驗課上，學生實驗不能省略，而中學生的數(shù)學實驗課，被視為可有可無.

2017版課程標準有如下闡述：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導(dǎo)學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合，提高教學的實效性.不斷引導(dǎo)學生感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值”.因此，有必要進行中學數(shù)學實驗課的研究.

實驗教學的軟、硬件條件：

我校高一學生，每人一臺“智慧課堂”配發(fā)的平板電腦，平板電腦內(nèi)安裝有GeoGebra軟件.

一、APOS理論

杜賓斯基的APOS理論包含四個部分：

（一） “活動（action）”.個體通過一步步的外顯性的指令去變換一個客觀的對象.

（二） 經(jīng)過多次的重復(fù)后，個體內(nèi)化為“程序（process）”心理操作，有了這個“程序”，個體不需要具體操作，而在大腦中實施這個程序.

（三）將程序作為一個整體處理時，就變成了心理“對象（object）”.在數(shù)學概念中，概念具有過程性和對象性.概念經(jīng)過個體簡約壓縮后，成為“對象”.

（四）與其他概念相聯(lián)系，形成“圖式（schema）”.

以上的過程，它反映了學生對概念的思維過程，這與上海青浦教改發(fā)起者顧泠沅先生所倡導(dǎo)的數(shù)學教學應(yīng)“有層次的推進”的理念不謀而合.

二、兩個課例

（一）定積分的教學

1.“活動”階段

教師介紹數(shù)學史古希臘圓的面積計算.教師用GeoGebra軟件展示課件：圓的內(nèi)接正多邊形和外切多邊形，邊數(shù)從6到96，用多邊形的面積逼近圓的面積，讓學生體會“無限細分，無限求和”的微積分思想.那么如何求y=x2，x∈[0，1]與x軸圍成的面積呢？

2.“程序”階段

學生打開平板電腦GeoGebra軟件.

在變化中探求不變之理.通過命令框，改變函數(shù)解析式，定義域不變.例如，可以改為y=-x2，y=x2+1等等.通過以上多個函數(shù)的反復(fù)操作、思考，學生發(fā)現(xiàn)相同和不同之處.相同的是，上和與下和逼近同一個常數(shù);不同的是，這個常數(shù)可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，甚至可以是0.面積自然不能為負值.猜測：上和與下和的計算中用到了小區(qū)間端點的函數(shù)值.

3.“對象”階段

為了讓學生順利地從“程序”階段壓縮到 “對象”階段，老師板書演示y=x2的“上和”計算過程，得出和式.

學生類比、歸納得出相應(yīng)的“下和”計算，在實驗報告上寫下y=x2的“下和”計算過程.值得注意的是，受數(shù)列知識的影響，學生對和式的計算會有困難，但他們可以通過軟件輸入指令迅速得到結(jié)果.

4.“圖式”階段

考查定積分的幾何意義.將它和導(dǎo)數(shù)的概念做比較，導(dǎo)數(shù)是商的極限，定積分是和的極限.

以上過程中，“活動”階段是學生理解概念的必要條件，學生感受了定積分思想的雛形.在“程序”階段，學生有所反思，并思考出共同特征.到了“對象”階段，對其賦予形式化的定義和符號;同時，為了讓學生更加確定演示結(jié)果，用筆計算“下和”將程序化的過程符號化，以順利壓縮“程序”至“對象”.

（二）函數(shù)y=x+ax單調(diào)性的“分界點”

高一學生在學完函數(shù)y=x+1x 后，同學對函數(shù)的單調(diào)性定義和圖像特征有所認識.但是，y=x+ax在0，+∞上的單調(diào)性，由于學生對單調(diào)性的分界點（極值點）是a感到困惑，如果老師說“由圖像可知”，那么學生會用具體的函數(shù)圖像歸納，但圖像只是其代數(shù)形式的一種表征，而且學生在畫圖像時如果僅僅用描點法，那么畫出的圖像就顯得較為粗糙，“形少數(shù)時難入微”.如果老師回答“用高二的導(dǎo)數(shù)知識可求”，學生的探究的進程就會暫時被擱淺，探究的激情也會受挫.因此在學生現(xiàn)有的知識儲備下，如何有意義的建構(gòu)該極值點為a？

1.“活動”階段

學生求解方程x+1x=4，在GGB軟件運算區(qū)，輸入方程，點擊“求近似解”按鈕，即得近似解.在指令區(qū)輸入y=x+1x與y=4，即得兩個函數(shù)的圖像.類似地，解方程x+1x=2，x+1x=12，得到相應(yīng)函數(shù)圖像.

2.“程序”階段

在活動階段學生通過方程的輸入和相應(yīng)圖像的建立，經(jīng)過多次重復(fù)，建立起了一套程序，即通過方程的根的個數(shù)判斷兩函數(shù)圖像交點的個數(shù).

讓學生設(shè)計實驗：方程x+1x=t，當t為何值時，方程只有一個根，根為多少？

3.“對象”階段.

（1）當學生能夠?qū)+1x=t化為x2-tx+1=0時，表明學生可以將以上過程中左右兩邊的變化的函數(shù)壓縮為一個對象，即關(guān)于x的二次方程.當該方程有且只有一個實根時，此時學生可以從二次方程的判別式求出方程的一個根，得到t的值，進而求出方程的根1，

4.“圖式”階段

（1）學生通過割線來逼近切線的方法，認識到了單調(diào)性的“分界點”即為切點橫坐標，此時，y=t為y=x+ax的切線.這種思想可與后續(xù)的“導(dǎo)數(shù)幾何意義”相聯(lián)系.

（2）學生可以研究得出f（x）=g（x）有實數(shù)解y=f（x）與y=g（x）圖像有交點.

三、總結(jié)

1.對數(shù)學實驗與數(shù)學核心素養(yǎng)提升的思考

數(shù)學核心素養(yǎng)的提高首要任務(wù)是激發(fā)學生思考.實驗操作的外顯行為和內(nèi)在的數(shù)學性質(zhì)會激發(fā)個體產(chǎn)生猜測，并在操作數(shù)學對象及分析可能的動態(tài)結(jié)果中驗證猜測，進而產(chǎn)生結(jié)論，形成思考.然而，學生不容易把握實驗結(jié)果與數(shù)學性質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系而無法形成這種思考模式.因此，在GGB環(huán)境下進行實驗的過程中，教師適時給予結(jié)構(gòu)性的提示將有助于學生思考.（例如 “方程的根是成對出現(xiàn)，這和我們所學的什么方程類似？方程在結(jié)構(gòu)上能否化為二次方程”）

2.關(guān)于實驗工具

在數(shù)學實驗中，我們選用了動態(tài)數(shù)學教育軟件GeoGebra，學生可以直接在命令框中輸入命令作圖、計算，實現(xiàn)幾何圖形與代數(shù)方程的同步變化.另外，GeoGebra還具備符號計算、微積分、統(tǒng)計等功能.在普通高中教科書數(shù)學系列中（人民教育出版社，2019版）將GeoGebra作為信息技術(shù)處理數(shù)學問題的首要工具，通過信息技術(shù)，建構(gòu)數(shù)學概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論，同時增強了學生的數(shù)學表達能力.