MATLAB在DEA-Malmquist分析中的應用

黎堅雄

摘? 要： DEA-Malmquist分析需要巨大的運算量，MATLAB軟件集成多個經(jīng)過優(yōu)化的工具箱，能夠降低DEA-Malmquist分析的時間開銷。文章基于Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。程序運行結果表明，MATLAB軟件能夠勝任DEA-Malmquist的分析工作，可以為經(jīng)濟與管理學的研究提供強大的支持。

關鍵詞： MATLAB; 數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）; Malmquist指數(shù); 線性規(guī)劃

中圖分類號：O221.1，TP311.1? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-8228（2021）07-42-04

Application of MATLAB in DEA-Malmquist analysis

Li Jianxiong

（Supervision and Audit Office， Sihui Prison of Guangdong， Sihui， Guangdong 526237， China）

Abstract： DEA-Malmquist analysis requires a huge amount of calculations. MATLAB software integrates multiple optimized toolboxes， which can reduce the time overhead of DEA-Malmquist analysis. Based on the open source MATLAB toolbox written by Inmaculada C. ?lvarez and others， this paper conduct a DEA-Malmquist analysis. The operation results show that the MATLAB software is competent for DEA-Malmquist's analysis work and can provide the researches on economics and management with a strong support.

Key words： MATLAB; Data Envelopment Analysis （DEA）; Malmquist; linear programming

0 引言

數(shù)據(jù)包絡分析（Data Envelopment Analysis， DEA）是一種以多個指標為輸入變量，衡量不同決策單元（Decision-Making Unit）的績效的一種分析方法，被廣泛應用于績效和效益的評價中[1-2];Malmquist指數(shù)是由StenMalmquist于1953年提出[3]，最初用于消費分析。1994年，Rolf Fare，Grosskopf，Norris等人提出利用基于DEA的距離函數(shù)計算Malmquist指數(shù)，即DEA-Malmquist指數(shù)。自此，DEA-Malmquist被廣泛應用于衡量城市的全要素生產(chǎn)率[4-5]。

MATLAB軟件是由美國MathWorks公司推出的軟件，旨在為向量和矩陣的運算提供一種可讀性強、運行效率高的編程環(huán)境。MATLAB的編程語言被稱為M語言，但由于MATLAB本身由C語言編寫，因此MATLAB可以兼容C、C++、JAVA等主流編程語言。得益于強大的數(shù)據(jù)處理能力以及良好的程序可讀性，MATLAB已經(jīng)在圖像處理、數(shù)值分析、無線通信等領域得到了廣泛的應用。

Malmquist指數(shù)的核心，在于利用DEA求出的距離函數(shù);而DEA的核心，則在于線性規(guī)劃。在MATLAB的早期版本中，已經(jīng)集成了線性規(guī)劃函數(shù)。DEA和Malmquist中的各個變量均是以向量、矩陣表示，而向量和矩陣運算正是MATLAB所服務的領域。但是，目前國內(nèi)基于MATLAB的數(shù)據(jù)包絡分析的文獻極少。彭育威等人[6]最先提出M語言的DEA程序，而后秦毅等人[7]在其基礎上提出超效率DEA的M語言程序，胡躍紅[8]戚峰[9]等均是在彭育威等人的M程序的基礎上進行DEA分析。

目前，國內(nèi)利用MATLAB進行DEA-Malmquist分析的研究尚處于空白階段。西班牙馬德里自治大學Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源工具箱MATLAB，可用于DEA-Malmquist分析[10]。該MATLAB工具箱集成多種DEA以及Malmquist算法，可以方便地對樣本進行DEA或DEA-Malmquist分析。但是，目前國內(nèi)關于DEA-Malmquist的研究，一般要求將Malmquist指數(shù)中的技術效率指數(shù)（Technical Efficiency Change， TEC）分解為純技術效率指數(shù)（Pure Technical Efficiency Change， PTEC）和規(guī)模效率指數(shù)（Scale Efficacy， SE）[11-12]，而Inmaculada C. ?lvarez等人開發(fā)的Malmquist指數(shù)僅僅分解為TEC和技術進步指數(shù)（Technical Change， TC），難以直接應用到實際的DEA-Malmquist分析中。因此，本文將基于開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。

1 基于MATLAB的DEA分析

1.1 DEA基本原理

DEA是比較不同DMU在某個時間點的績效或效率的方法?？紤]有n個DMU的規(guī)模報酬不變的BCC模型，衡量各個DMU的指標有m個，各個DMU的績效指標有s個，給定輸入矩陣[X=xT1xT2…xTmT][X=xT1xT2…xTmT]，輸出向量[Y=yT1yT2…yTs]，其中（.）T代表矩陣轉置，[xi=[x1ix2i…xni]]代表了第i個描述DMU的指標，[xki]代表第k個DMU的第i個指標的值。DEA等價于解決下列問題：

[minθ，λθ] [s.t θxi=Xλ， Yλ=yi， λi≥0]? ⑴

其中[λ=[λ1λ2…λn]T]是一個半正定向量。由于有n個DMU，因此需要重復⑴的過程n次才能解出[λ]。

令[s-=θxi-Xλ]，[s+=Yλ-yi]，則式⑴可轉化為以下問題：

[mins+，λ，s-ω=es++es-]

[? ? ? ? ? ?s.ts-=θxi-Xλ， s+=Yλ-yi， λi≥0，s-i≥0，s+i≥0] ⑵

其中[e=1…1]。對于規(guī)模報酬可變模型（Variable Return to Scale， VRS），需要滿足[eλ=1]，而規(guī)模報酬不變模型（Constant Return to Scale， CRS）則無此限制。CRS模型下的[θCRS]就是TEC， [θVRS]就是PTEC;兩者的比值[θCRS/θVRS]就是SE。

對于DEA是否有效，可通過三個條件進行判斷：①[θi=1]且[s-=s+=0]時，則第i個DMU，即DMUi有效;②只滿足[θi=1]，則DMUi弱有效;③[θi<1]，則DMUi非有效。

1.2 MATLAB在DEA分析中的應用

在文獻[10]提供的DEA工具箱中，對數(shù)據(jù)進行DEA分析的函數(shù)，主要有dea（.）函數(shù)和deascale（.）函數(shù)。dea（.）函數(shù)主要用于分析DMU是否有效，可選CRS模型或VRS模型;deascale（.）函數(shù)可以直接輸出TEC、PTEC、SE的值，能滿足絕大多數(shù)場景的DEA分析。

將文獻[10]中的DEA工具箱下載后，將文件夾deatoolbox下的所有m程序復制到MATLAB運行環(huán)境中，并建立程序如下的主函數(shù)m文件：

load 'deadataFLS';

io = dea（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（io）;

程序的運行結果如表1所示。

表1是dea（.）函數(shù)基于CRS模型的演示樣例，輸入矩陣X，Y由文件夾deatoolbox中deadataFLS.mat文件提供;slackX1和slackX2就是s-，slackY就是s+。如果想更換為VRS模型，則運行語句需變更為：

load 'deadataFLS';

io=dea（X， Y， 'orient'， 'io'， 'rts'， 'vrs'）;;

deadisp（io）;

在DEA分析中，如果可以確定輸入指標的確會影響DMU的績效評價，則可以不對DMU進行有效性評價，而直接分析其TEC、PTEC、SE。此時，就需要使用deascale（.）函數(shù)。deascale（.）函數(shù)的調(diào)用格式如下：

load 'deadataFLS';

io=deascale（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（io）;

表2是deascale（.）函數(shù)的演示實例，可以看到，CRS與VRS的比，或者說TEC與PTEC的比，即為規(guī)模效率指數(shù)SE。

2 基于MATLAB的Malmquist分析

2.1 Malmquist分析的基本原理

DEA分析是對靜態(tài)指標的分析，而Malmquist分析則是對靜態(tài)指標的分析，Malmquist指數(shù)要求至少有兩個不同時間點的數(shù)據(jù)。從t時間到t+1時間的Malmquist指數(shù)可以表示為[11]：

[Mal=TEC×TC] ⑶

其中，TC的求解較為復雜，需要將當期的投入、產(chǎn)出的DEA分析結果投影到下一期，在此本文不再贅述。TEC則可繼續(xù)分解為：

[TEC=PTECt+1×SEt+1PTECt×SEt] ⑷

其中[PTECt]代表時間t的PTEC指數(shù)，顯然，它可以用DEA分析的方法求取。將TEC分解為不同時間的PTEC與SE的變動率的乘積，可以顯示出變動規(guī)模報酬的情況下，技術進步對總體效率的貢獻情況以及規(guī)模效率對總體效率的變動情況。

2.2 MATLAB在Malquist分析中的應用

在文獻[10]提供的工具箱中，進行Malquist指數(shù)分析的函數(shù)為deamalm（.）。由于Malquist指數(shù)要求使用多個時間點的數(shù)據(jù)，因此，輸入矩陣應該是一個三維矩陣，矩陣的第一、二維代表每一維度的矩陣的行、列數(shù)，第三維則點不同的時間。

值得注意的是，deamalm（.）函數(shù)的輸出結果只包含了⑶式子中的三個參數(shù)。如果要將TEC繼續(xù)進行分解，則需要進一步對不同時間的數(shù)據(jù)進行DEA分析，具體做法是：①利用deascale（.）函數(shù)，對不同維度的數(shù)據(jù)進行DEA分析;②從結構體變量eff中提取scale變量，得到不同時刻的SE;③從結構體變量eff中提取vrs變量，得到不同時刻的PTEC;④將前后時刻的scale變量進行點除操作，即可得到各期的SE的變動率;同理可得各期PTEC的變動率。

下面給出deamalm（.）函數(shù)的使用樣例。X的DMU數(shù)量為5，只有一個指標衡量各個DMU;一共有三個時間節(jié)點。

clc

clear

X = [2; 3; 5; 4; 4];

X（：， ：， 2） = [1; 2; 4; 3; 4];

X（：， ：， 3） = [0.5; 1.5; 3; 2; 4];

Y = [1; 4; 6; 3; 5];

Y（：， ：， 2） = [1; 4; 6; 3; 3];

Y（：， ：， 3） = [ 2; 4; 6; 3; 1];

malmquist = deamalm（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（malmquist）

SC_struct_1=deascale（X（：， ：， 1），Y（：， ：， 1），'orient'， 'io'）;

SC_struct_2=deascale（X（：， ：， 2），Y（：， ：， 2），'orient'， 'io'）;

SC_struct_3=deascale（X（：， ：， 3），Y（：， ：， 3），'orient'， 'io'）;

SC_1=SC_struct_2.eff.scale./SC_struct_1.eff.scale;

SC_2=SC_struct_3.eff.scale./SC_struct_2.eff.scale;

PC_struct_1=SC_struct_1.eff.vrs;

PC_struct_2=SC_struct_2.eff.vrs;

PC_struct_3=SC_struct_3.eff.vrs;

PC_1=PC_struct_2./PC_struct_1;

PC_2=PC_struct_3./PC_struct_2;

disp（[SC_1，SC_2，PC_1，PC_2]）;

上述語句的輸出結果如表3、表4所示。

表3是deamalm（.）函數(shù)的直接輸出結果，M1、M2分別是不同時期的Malmquist至少，MTEC1、MTEC2是不同時期的TEC，MTC1、MTC2是不同時期的TC。表3的控制句柄為deadisp（malmquist）及之前的語句，其后的語句對應表4的內(nèi)容。表4中，前兩列對應不同時期的SE變動率，后兩列對應不同時期的PTEC變動率。

3 結束語

本文基于西班牙馬德里自治大學Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。針對該工具箱在進行Malmquist分析過程中，沒有將TEC進一步分解的問題，本文給出了相應的思路以及程序樣例。程序運行結果表明，MATLAB不僅可以對數(shù)據(jù)進行DEA分析，也可以進行DEA-Malmquist分析，并且其最終的運行結果可以根據(jù)研究需要做進一步的分解，使得該工具箱更加符合當下我國經(jīng)濟與管理學研究的習慣。

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