黃高湧
(龍灣區(qū)教師發(fā)展中心 325024)
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的基本理念之一,要求數(shù)學(xué)教學(xué)從數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)出發(fā),通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解掌握.另一方面,基于創(chuàng)建高中實(shí)驗(yàn)教學(xué)的目標(biāo),借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這一較為開放的載體,能夠更好地進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)以體現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生研究、創(chuàng)新的育人要求.
高中數(shù)學(xué)總是給學(xué)生一種復(fù)雜無用、枯燥乏味的印象,高強(qiáng)度的抽象性和知識(shí)量使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到較大阻礙,從而很難對(duì)概念本質(zhì)進(jìn)行理解,將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)和融會(huì)貫通,作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的首要任務(wù),即將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系進(jìn)行深入剖析,拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,將其去抽象性,體現(xiàn)“應(yīng)用”二字,因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的形式為載體,意在幫助學(xué)生更好地理解課本知識(shí).
高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)可從廣義和狹義兩個(gè)角度理解,廣義上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)即在數(shù)學(xué)的背景下,經(jīng)歷設(shè)置情境或提出問題,問題理解和轉(zhuǎn)化,動(dòng)手實(shí)踐驗(yàn)證再到解決問題的一系列過程達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,強(qiáng)化知識(shí)理解,提升思維訓(xùn)練的目的,實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中學(xué)生經(jīng)歷的過程需被強(qiáng)調(diào)和重視.而狹義上,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需關(guān)注實(shí)驗(yàn)的模式,包括動(dòng)手制作、數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí),問題的探究、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和實(shí)施等.對(duì)高中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)是依附于日常學(xué)習(xí)的,課本知識(shí)的拓展與深入也應(yīng)是抽象概念和問題的具體驗(yàn)證和實(shí)現(xiàn).為此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)嘗試挖掘數(shù)學(xué)教材、課外輔導(dǎo)和拓展材料、數(shù)學(xué)試題等資源中能夠用于動(dòng)手操作、小組討論或數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容,進(jìn)行遞進(jìn)的、有層次的安排和設(shè)計(jì),在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中加入基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課來不及或沒有條件提及的內(nèi)容,是基礎(chǔ)課內(nèi)容的深入、拓展、引申等.這一點(diǎn)也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念.
“包裝彩繩問題”選自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的附錄2教學(xué)與評(píng)價(jià)案例,屬于對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評(píng)價(jià)不同水平表現(xiàn)的一個(gè)案例.內(nèi)容包括購(gòu)買禮盒的生活場(chǎng)景,售貨員的捆扎方式,以及他提出這樣的捆扎不僅漂亮而且比一般的十字捆扎包裝更節(jié)省彩繩.(如圖)
這是立體幾何中線段長(zhǎng)度問題,往往需要借助直觀才能論證的問題,學(xué)生對(duì)售貨員觀點(diǎn)驗(yàn)證的兩種處理方法反映數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的不同水平;方法一:如果學(xué)生能夠結(jié)合幾個(gè)具體的長(zhǎng)方體盒子,通過捆扎操作,測(cè)量比較的方法,得到針對(duì)這幾個(gè)盒子的結(jié)論,并且能夠通過歸納提出一般長(zhǎng)方體盒子情況下的猜想,即使不能給出證明,可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)建模水平一的要求;方法二:如果學(xué)生能夠用字母表示各段繩長(zhǎng),將長(zhǎng)方體盒子平面展開,把問題轉(zhuǎn)化為平面上折線長(zhǎng)度的比較,把“扎緊”的表述轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間直線段,最后給出一般性的結(jié)論,可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)建模水平二的要求,最后內(nèi)容就是具體數(shù)學(xué)化的解決問題過程.建模素養(yǎng)水平一基本會(huì)達(dá)到,關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生達(dá)到建模素養(yǎng)水平二,甚至突破到建模素養(yǎng)水平三是教學(xué)的重點(diǎn)也是要突破的難點(diǎn).與傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容相比,數(shù)學(xué)建模的課例研究比較少,學(xué)習(xí)資源相對(duì)匱乏,師生都感到生疏,但它在新的高中數(shù)學(xué)課程中的位置,在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程中都顯得十分特別和重要.新教材增加了數(shù)學(xué)建模具體內(nèi)容以及課時(shí),不僅讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模一般過程,也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要途徑.
數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).
數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段,也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出問題,建立和求解模型,檢驗(yàn)和完善模型,發(fā)現(xiàn)和解決問題.
通過高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)使學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,發(fā)現(xiàn)和提出問題,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,積累數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn),認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用,提升實(shí)踐能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.數(shù)學(xué)建模是一種獨(dú)立的數(shù)學(xué)素養(yǎng),又是一種綜合程度很高的素養(yǎng),因?yàn)榻5倪^程離不開數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.它打破數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部嚴(yán)密的知識(shí)體系和技能體系的界限,強(qiáng)調(diào)以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)實(shí)際和社會(huì)需要的問題為核心,以問題求解的需要為導(dǎo)向,對(duì)學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部和跨學(xué)科的知識(shí)工具、方法、資源進(jìn)行整合應(yīng)用,有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力、探究精神和實(shí)踐能力.
(1)教學(xué)基本流程
實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)模型→求解模型→檢驗(yàn)?zāi)P汀P蛻?yīng)用
(2)留意身邊的數(shù)學(xué)問題
問題1買一份精美的禮物,售貨員用“彩繩”對(duì)禮盒做了兩種方式“捆扎”,如圖,請(qǐng)問你熟悉這兩種捆扎方式嗎?測(cè)量這兩種捆扎方式的彩繩長(zhǎng)度并進(jìn)行比較.
設(shè)計(jì)意圖①讓學(xué)生感知生活中實(shí)際問題,數(shù)學(xué)建模的核心是來源于生活,又用數(shù)學(xué)思想方法解決問題,最終回歸現(xiàn)實(shí)生活.②數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中非常重要的過程就是學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,通過動(dòng)手捆扎禮盒親身體會(huì)并測(cè)量?jī)煞N捆扎的繩長(zhǎng),讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)捆扎探究彩繩長(zhǎng)度問題更加直觀地感受空間的彩繩,只有直觀上的充分認(rèn)識(shí)才能建立合理的空間想象,從而為建立數(shù)學(xué)模型做好鋪墊.同時(shí)獲得數(shù)據(jù)為引出問題、歸納、猜想做好材料準(zhǔn)備.③學(xué)會(huì)收集生活中的數(shù)據(jù)信息,并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去分析數(shù)據(jù),獲得數(shù)學(xué)問題,通過設(shè)問將特殊長(zhǎng)方體的結(jié)論推廣到一般長(zhǎng)方體,使得問題更加數(shù)學(xué)化.
(3)將包裝彩繩問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
問題2對(duì)任意一個(gè)長(zhǎng)方體禮盒,同一組對(duì)面上的“對(duì)角”捆扎和“十字”捆扎哪一種捆扎用繩更短?
設(shè)計(jì)意圖數(shù)據(jù)從實(shí)驗(yàn)中來,而且對(duì)于任意一個(gè)長(zhǎng)方體已經(jīng)不是全部實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛲瓿傻模仨毥?jīng)過數(shù)學(xué)嚴(yán)格的證明,從而把社會(huì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,這里最核心的就是用數(shù)學(xué)語言表示問題,也就是要建立數(shù)學(xué)模型.
(4)建立立體幾何的數(shù)學(xué)模型
問題3設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,且z≤x,z≤y,設(shè)十字捆扎最短繩長(zhǎng)為L(zhǎng),求繩長(zhǎng)L.
十字捆扎方式的“最短”繩長(zhǎng)(扎緊繩子再也抽不動(dòng))L=2x+2y+4z.
思考:十字捆扎方式的十字打在另外兩組對(duì)面上的捆扎方式,參數(shù)如何變化,最短繩長(zhǎng)是多少?在z最小的情況下,哪一組對(duì)面上的捆扎方式繩長(zhǎng)最短?
設(shè)計(jì)意圖(1)最短的直觀感知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理解,為求解繩長(zhǎng)做基礎(chǔ).(2)不同組對(duì)面的捆扎方式的繩長(zhǎng),為了引導(dǎo)學(xué)生思考參數(shù)改變對(duì)結(jié)果的影響.
問題4設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,且z≤x,z≤y,設(shè)對(duì)角捆扎的最短繩長(zhǎng)M,求繩長(zhǎng)M.
問題5如圖,如果固定E,G兩點(diǎn),那么動(dòng)點(diǎn)F在A′B′的何處時(shí)EF+FG最短.(展平后E,F,G三點(diǎn)共線時(shí),兩點(diǎn)間線段最短(兩邊之和大于第三邊)).
設(shè)計(jì)意圖這是教學(xué)的難點(diǎn)也是重點(diǎn),如何突破難點(diǎn)是關(guān)鍵.利用學(xué)生原有的直觀認(rèn)知深度分析“相鄰”兩個(gè)面的展平后能夠得到“2條”線段,如何使“2條”線段最短,那就是通過直觀經(jīng)驗(yàn)兩點(diǎn)間線段最短,通過實(shí)際的直觀感知彩繩最終是一條的,而常規(guī)六個(gè)面的展開是分散的3條折線,那么如何處理?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生直觀展開的思維提升,每“相鄰”兩個(gè)面的展開能夠得到“2條”相連的線段,最終實(shí)現(xiàn)8條線段沿著交線相鄰兩個(gè)面的連續(xù)展開,突破難點(diǎn),從而提升學(xué)生直觀想象能力.
方法1
L=2x+2y+4z,
用換元兩邊平方可得M 設(shè)計(jì)意圖方法1中引導(dǎo)學(xué)生將8條線段拼接一起,相鄰兩個(gè)平面沿著交線連續(xù)展開可以實(shí)現(xiàn)8條拼接一起,實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的突破,學(xué)生自然而然想到的是通過勾股定理求得M的長(zhǎng)度.也有學(xué)生展開了其中4個(gè)面而停滯不前,可能是再展開則上底面用了兩次,與學(xué)生原來的認(rèn)知(長(zhǎng)方體展開圖是六個(gè)面,每個(gè)面用一次)是矛盾的,首先肯定他的想法是好的,已經(jīng)從2條線段突破到了4條線段,再次總結(jié)引導(dǎo)他的想法通過相鄰的線段在同一平面內(nèi),繼續(xù)把平面按相鄰兩個(gè)面沿著交線展開,從而解決問題,也是培養(yǎng)學(xué)生勇于大膽嘗試,不斷進(jìn)取的數(shù)學(xué)精神. 問題6最短繩子與點(diǎn)E在棱A′D′上的位置有關(guān)嗎?點(diǎn)E在棱A′D′上任意位置都可以嗎? 設(shè)計(jì)意圖在求得繩子長(zhǎng)后進(jìn)一步研究E點(diǎn)位置與繩長(zhǎng)關(guān)系,從而確定對(duì)角扎緊情況下,最短繩長(zhǎng)是一樣的.以及E點(diǎn)要控制在一定范圍,否則就無法實(shí)現(xiàn)對(duì)角在底面的捆扎,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模從實(shí)踐中來回到實(shí)踐中去. 方法2 兩邊之和大于第三邊: EF GH IJ KL 所以EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LE<2x+2y+4z,即M 設(shè)計(jì)意圖將對(duì)角捆扎每一線段都構(gòu)成直角三角形,目的是將直角三角形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬高聯(lián)系起來,其所有直角邊之和就是L長(zhǎng)度.或?qū)⒚恳痪€段看成向量進(jìn)行正交分解,所有分解后的向量同向之和的模就是2x+2z與2y+2z,從而兩邊之和大于第三邊.在數(shù)學(xué)建模的求解模型中,不斷激發(fā)學(xué)生思考動(dòng)力,運(yùn)用各種所學(xué)知識(shí)達(dá)到建模,促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、能力的靈活運(yùn)用. 問題7“十字捆扎”的十字分別打在不同的面上有3種捆扎方式,哪一種繩長(zhǎng)最短?能給出判斷標(biāo)準(zhǔn)嗎?“對(duì)角捆扎”的對(duì)角分別打在不同的面上有3種捆扎方式,哪一種繩長(zhǎng)最短?能給出判斷標(biāo)準(zhǔn)嗎? 分析(1)“十字捆扎”的十字分別打在不同的面上有3種捆扎方式: L1=2x+2y+4z,L2=2x+2z+4y, L3=2y+2z+4x. (2)“對(duì)角捆扎”的對(duì)角分別打在不同的面上有3種捆扎方式: 結(jié)論當(dāng)z≤x,z≤y時(shí),即z最小時(shí),“十字捆扎”的十字打在含x,y面上時(shí)繩子最短.在z最小時(shí),“對(duì)角捆扎”的對(duì)角打在含x,y面上時(shí),繩子最短.在z最小時(shí),在含x,y面上的“對(duì)角”捆扎方式繩子最短. 設(shè)計(jì)意圖該問題的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,在十字捆扎和對(duì)角捆扎分別求出繩長(zhǎng)時(shí),也可以插入讓學(xué)生思考探究,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的變化對(duì)模型的影響,本模型中本質(zhì)是x,y,z互換,為后面模型應(yīng)用做好求解策略的鋪墊,提高解決問題的效率. (5)深入探究 探究1將10個(gè)相同的長(zhǎng)方體禮盒,用彩紙按“規(guī)則打包”的形式將10個(gè)禮盒打包成一個(gè)長(zhǎng)方體的大包,問怎樣打包使用彩紙最少?(禮盒長(zhǎng)20cm,寬10cm,高5cm,包內(nèi)物體都是全等長(zhǎng)方體,且相鄰兩物體必須以全等側(cè)面對(duì)接,打包后的結(jié)果仍是一個(gè)長(zhǎng)方體) 探究2用對(duì)角捆扎方式給如圖正四棱臺(tái)進(jìn)行捆扎,點(diǎn)P在線段AB上,且PB=1,當(dāng)彩繩扎緊四棱臺(tái)且經(jīng)過P點(diǎn)時(shí),求此時(shí)彩繩的長(zhǎng)度. 設(shè)計(jì)意圖立體幾何模型的深化應(yīng)用,主要是讓學(xué)生再次運(yùn)用求解模型的數(shù)學(xué)思想方法,解決立體幾何中的線段問題,學(xué)生已經(jīng)有所熟悉,將線段長(zhǎng)度問題拓展到面積問題具有挑戰(zhàn)性,同時(shí)新的問題需要重新數(shù)學(xué)建模的一般過程,學(xué)生會(huì)更加熟悉數(shù)學(xué)建模的一般流程,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心需要學(xué)生主動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué),積極參與數(shù)學(xué)建模中的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié),在體驗(yàn)中感知,在體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問題,提出問題、分析問題,并在建立模型與求解模型中自主獨(dú)立思考解決問題,給學(xué)生自己運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問題的鍛煉. 數(shù)學(xué)建模要用真實(shí)情境,讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)來源于生活,認(rèn)識(shí)到知識(shí)和技能在未來的學(xué)習(xí)和生活中的價(jià)值,從而在數(shù)學(xué)與問題情境的有效互動(dòng)中激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題能力. 學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)并不是漫無目的的,需要教師精心設(shè)置問題進(jìn)行引導(dǎo),如由彩繩長(zhǎng)度的測(cè)量出發(fā),歸納出結(jié)論,通過建立數(shù)學(xué)模型,求解模型使得實(shí)際問題得以解決,其中難點(diǎn)就在于對(duì)角捆扎彩繩長(zhǎng)度的求法,先設(shè)置問題解決2條線段問題,進(jìn)而推廣到8條甚至n條線段. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)環(huán)節(jié)學(xué)生相對(duì)陌生,此時(shí)需要教師多多鼓勵(lì),學(xué)生只有參與其中親身感知,才能獲得數(shù)學(xué)“源”與“流”的過程;面對(duì)求解模型環(huán)節(jié),學(xué)生想法會(huì)比較多,既要展示教學(xué)設(shè)計(jì)方案,也要尊重學(xué)生,讓學(xué)生充分展示其得到求解模型的方法,在其基礎(chǔ)上引導(dǎo)并解決問題;還要關(guān)注其解決不了的問題在哪里,教師為學(xué)生尋找擺脫困境的方法,讓學(xué)生在課堂中有成就感,形成積極活躍的課堂氛圍并讓學(xué)生逐步具備知難而上的探究精神. 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究和動(dòng)手實(shí)驗(yàn),學(xué)生的探究實(shí)驗(yàn)過程有較高的自由度,教師僅起到觀察和引導(dǎo)的作用.在探究和實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)有困難的學(xué)生,建議以小組討論的形式相互指導(dǎo),實(shí)驗(yàn)教學(xué)希望學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題→實(shí)際問題→探究嘗試→形成方案→解決問題”這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題解決的過程,同時(shí)也將“現(xiàn)實(shí)問題→現(xiàn)實(shí)模型建立→數(shù)學(xué)模型建立→數(shù)學(xué)問題解決→結(jié)論返回現(xiàn)實(shí)”整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程融入其中.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容取材力求從學(xué)生熟悉的內(nèi)容入手進(jìn)行探究和設(shè)計(jì),進(jìn)而回饋學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知體系,同時(shí)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)也盡可能將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系.5 實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐反思
5.1 學(xué)生實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)及反饋
5.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的思考