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    引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”的思考

    2021-08-06 01:38:18呂傳漢
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:菠蘿道理數(shù)學(xué)課程

    姜 文 呂傳漢

    (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

    1 問題提出

    進(jìn)入21世紀(jì),隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的相繼發(fā)布,“模型思想”和“數(shù)學(xué)建?!闭竭M(jìn)入我國(guó)基礎(chǔ)教育.2010年后,我國(guó)啟動(dòng)的新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂從核心素養(yǎng)的角度賦予了模型思想和數(shù)學(xué)建模新的涵義,模型思想和數(shù)學(xué)建模再次作為核心內(nèi)容進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、……、模型思想等十大數(shù)學(xué)核心概念,并指出:模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)建模是其中之一.[3]由此可見,我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視學(xué)生模型思想和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

    “縱觀世界各國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革,通過數(shù)學(xué)建模來建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系成為共同關(guān)注的焦點(diǎn)”.“數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系,是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天其在自身的舞臺(tái)上最精彩的表演”.今日之?dāng)?shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透,而各門學(xué)科向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展,也成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì).[4]

    當(dāng)今世界各國(guó)的競(jìng)爭(zhēng),歸根到底是科技的競(jìng)爭(zhēng)、人才的競(jìng)爭(zhēng).而人才的培養(yǎng),歸根于教育特別是基礎(chǔ)教育. 2018年9月10日,習(xí)近平總書記在全國(guó)教育大會(huì)上指出:培養(yǎng)一代又一代擁護(hù)中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)和我國(guó)社會(huì)主義制度、立志為中國(guó)特色社會(huì)主義奮斗終身的有用人才,要在增長(zhǎng)知識(shí)見識(shí)上下功夫,教育引導(dǎo)學(xué)生珍惜學(xué)習(xí)時(shí)光,心無旁騖求知問學(xué),增長(zhǎng)見識(shí),豐富學(xué)識(shí),沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進(jìn).

    作為中國(guó)新時(shí)代教育的要求,可以將 “長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”作為課堂教學(xué)的重要目標(biāo),作為對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)培育的切入點(diǎn),借以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

    2 “長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”是課堂學(xué)習(xí)的目標(biāo)

    “見識(shí)”是知識(shí)積累與實(shí)踐的產(chǎn)物, “見識(shí)”比“知識(shí)”重要,涉獵廣泛、視野開闊,是一個(gè)人對(duì)某件事的洞察能力和對(duì)知識(shí)面涉獵廣泛的程度.它是人能明智地認(rèn)識(shí)事物和正確地做出判斷的能力,是一個(gè)人對(duì)事物的看法和態(tài)度;見識(shí)是智慧的展現(xiàn),主要是來自于個(gè)人的豐富經(jīng)驗(yàn)以及知識(shí)的淬煉.

    “道理”是指事情或論點(diǎn)的是非得失的根據(jù)、理由、情理.(1)中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室編.現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典(第6版)[M].北京:商務(wù)印書館,2012: 269.道理需要去“悟”,“悟”的意思是理解、明白、感悟、覺醒;“悟”就是指體會(huì)到了某件事的意義.悟道理,就是認(rèn)識(shí)和把握事物的客觀規(guī)律.

    學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí),更多地是領(lǐng)悟和感受見識(shí). 學(xué)習(xí)上悟道理,就是領(lǐng)悟、理解了某篇文章、故事、情境、原理、定理或結(jié)構(gòu)中所包含的哲理.因此,將“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)培育學(xué)生核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?

    3 在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”

    已有研究[5]~[14]顯示,我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力和水平并不理想,數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)施也并不如意.一方面,數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn), 它需要學(xué)生有識(shí)別問題、提煉數(shù)學(xué)信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題以及分析與檢驗(yàn)解答過程等能力,是一個(gè)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問題的過程.因此數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)是一個(gè)較長(zhǎng)期的累積性學(xué)習(xí)過程.[9]另一方面,數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)存在一些缺陷[5][8],師資的配置也跟不上.總體來說,導(dǎo)致我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平不高的因素是多方面的.好在新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》均突出了“數(shù)學(xué)建?!钡闹匾?,相信今后這種局面將會(huì)得到大大改善.

    在數(shù)學(xué)的教學(xué)中,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型、特別是了解數(shù)學(xué)模型的形成過程是非常重要的.[15]就數(shù)學(xué)建模的課程和教學(xué)來說,如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有所收獲、受到啟迪?我們認(rèn)為,從“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”的角度出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考將是一條有效的途徑.下面舉例加以說明.

    3.1 案例分析

    案例[9]:(削菠蘿)四月剛好是菠蘿收獲的季節(jié), 為使我們能品嘗到新鮮的菠蘿,水果店都有專人幫助我們削菠蘿皮,這是一個(gè)藝術(shù)性的刨削過程,削完后,菠蘿上留下的是一條條螺線.請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度來思考,人們?yōu)槭裁催@樣削菠蘿?

    圖1

    對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際問題,第一步要理解情境,厘清關(guān)系,弄清問題.情境中要求學(xué)生“從數(shù)學(xué)的角度思考為什么要這樣削菠蘿”,需要從兩方面考慮,一方面是從水果店的角度來看,他們總是希望削的時(shí)間越短越好;另一方面,從消費(fèi)者的角度來看,通常來講,消費(fèi)者往往希望削完菠蘿之后剩下的菠蘿肉越多越好.

    第二步,考慮了這兩方面的因素之后,提什么樣的問題才是合理的呢?也即是說在削菠蘿的時(shí)候怎樣才能做到既快速又能剩下盡可能多的菠蘿肉呢?此時(shí),需要將“剩下盡可能多的菠蘿肉”這一說法做一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)述,即削菠蘿的時(shí)候,盡可能少地削除可食用的菠蘿肉就可以了.從數(shù)學(xué)的角度來看,就是要使削菠蘿的刀在菠蘿上走的路程盡可能短才行.

    第三步,明確問題之后,需考慮建立與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.一個(gè)普遍而比較合理的認(rèn)識(shí)就是,可以把菠蘿近似地看成為圓柱體,菠蘿表面上的菠蘿籽按行或列來排列,每一行或列上有相同數(shù)量的菠蘿籽,這些菠蘿籽交錯(cuò)排列著,它們可以用螺旋線連接起來,如圖2所示.

    圖2

    進(jìn)一步觀察, 菠蘿上被削出的螺線有這樣的結(jié)構(gòu),即上一行的菠蘿籽與下一行的相鄰的菠蘿籽可以連接起來成為一條“斜線”. 按照立體圖形的平面展開圖,可將圓柱體展開成平面矩形,這些螺旋線即變?yōu)橹本€,如果把菠蘿籽看成點(diǎn),那么這些直線上就規(guī)律地排列著“點(diǎn)” ,與橫向直線和縱向直線比較,這些“斜線”以最短的距離將所有點(diǎn)連接起來,如圖3所示. 接下來就要從數(shù)學(xué)的角度來論證這個(gè)推測(cè).

    圖3

    第五步,根據(jù)實(shí)際檢驗(yàn)結(jié)果.一方面,按螺線的方法削菠蘿是最有效的,而且也是最快的;另外一方面,按照這種方法削菠蘿可以多保留近30%的菠蘿肉. 因而該方法兼顧了商家和消費(fèi)者的需求,削菠蘿的時(shí)候不僅節(jié)省時(shí)間,而且讓購(gòu)買者獲得盡可能多的菠蘿肉,是最佳方法.

    3.2 討論

    上述問題學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問題中提出問題、建立模型、求解檢驗(yàn)等過程,每經(jīng)歷一個(gè)環(huán)節(jié)都是一次質(zhì)的飛躍.那么,從“實(shí)際情境”到“提出問題”、“建立模型”、“求解模型”以及“檢驗(yàn)結(jié)果”的每一個(gè)環(huán)節(jié),要讓學(xué)生“長(zhǎng)什么見識(shí)、悟出什么道理”呢?

    首先,如何確定研究的問題?學(xué)生遇到實(shí)際生活中的一個(gè)問題,這個(gè)問題是常見的,但是很多情況下學(xué)生并不在意,也不去深究為什么要這樣削菠蘿,更不會(huì)有意識(shí)地從數(shù)學(xué)的角度來探究這個(gè)問題.現(xiàn)在問題擺出來了,而且要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來“看”這個(gè)現(xiàn)象.無疑,這個(gè)過程讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián),從情感、態(tài)度上重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)(即使有的同學(xué)根本不知道如何用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法來解決該問題).接下來就應(yīng)該思考這個(gè)實(shí)際現(xiàn)象和數(shù)學(xué)的什么問題聯(lián)系起來?怎樣聯(lián)系?從哪些方面考慮二者之間的關(guān)聯(lián)?等等.一個(gè)基本的常識(shí)就是,作為消費(fèi)者,總是希望菠蘿削皮之后剩下盡可能多的菠蘿肉,對(duì)于商家,總是希望削菠蘿的時(shí)間越短越好.于是猜想,有可能這樣削皮剩下的菠蘿肉最多而且速度最快!那么,怎么從數(shù)學(xué)的角度來說明這個(gè)事情呢?如果有幾種削皮的方案的話,那么就應(yīng)該尋找損失菠蘿肉最少且削的速度最快的一種.也就是說,使削刀盡量短的時(shí)間內(nèi)在菠蘿上走的路程也盡可能短“應(yīng)該”就可以達(dá)到目的了.因此,需要研究的問題就提出來了:用線將菠蘿籽連起來,怎樣連才能使得總長(zhǎng)度最小(而且削皮的速度盡可能地快)?在這一過程中,學(xué)生長(zhǎng)什么知識(shí)、悟出什么道理呢?我們認(rèn)為至少有兩點(diǎn):一是數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)是有用的,有可能曾經(jīng)認(rèn)為數(shù)學(xué)無用武之地的一些學(xué)生會(huì)因此而改變自己對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度,開始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣;二是如何從實(shí)際情境中提出數(shù)學(xué)問題.這一環(huán)節(jié)中,讓學(xué)生明白提出數(shù)學(xué)問題的道理是珍貴的!

    其次,建立什么樣的模型來求解問題?要尋求一種將菠蘿籽連起來長(zhǎng)度最短的線,需要找到一個(gè)具體的模型.通過觀察菠蘿的形狀,可以考慮用圓柱體來近似代替菠蘿,菠蘿籽用圓柱體表面規(guī)律排列的一些點(diǎn)代替.在這一過程中,學(xué)生明白用數(shù)學(xué)來研究生活中的問題,不可能像研究數(shù)學(xué)本身那樣是精確的,近似計(jì)算往往是處理問題的一種手段.而近似的追求目標(biāo)是使得結(jié)果盡可能接近真實(shí)的問題,因而如何選擇模型進(jìn)行研究就是關(guān)鍵的.

    再次,怎樣確定參數(shù)和求解參數(shù)?當(dāng)問題、模型都確定了,接下來就是尋找什么參數(shù)進(jìn)行計(jì)算了.要確定研究的參數(shù),需結(jié)合問題和目標(biāo).一個(gè)事實(shí)是,兩點(diǎn)之間的連線,線段最短.本問題的最終目標(biāo)是尋找線段連線之和最小,故而參數(shù)可以考慮圖形的邊長(zhǎng).在假設(shè)的條件下,橫豎相鄰兩個(gè)菠蘿籽的距離相等,因此可以設(shè)這個(gè)距離的長(zhǎng)度為x,然后用它來計(jì)算斜線的點(diǎn)連線之和,并分別與橫線或者縱線上的點(diǎn)的連線之和作比較,探尋哪種連線之和最短(這與實(shí)際中不是豎著削,也不是橫著削,而是斜著削的情況類似).這一過程能讓學(xué)生明白,在確定了研究的問題之后,如何抓關(guān)鍵——準(zhǔn)確確定參數(shù).找準(zhǔn)參數(shù)是求解結(jié)果和應(yīng)用結(jié)果的關(guān)鍵一步,參數(shù)不合理、不準(zhǔn)確,求解過程可能很繁雜,結(jié)果與實(shí)際情境也可能會(huì)相差較大,沒有說服力.當(dāng)然,遇到這種與實(shí)際情況相差較大的,還可以重新修改方案,再次求解,畢竟,數(shù)學(xué)建模往往不能一次成功,而是一個(gè)不斷改進(jìn)模型求解參數(shù)并檢驗(yàn)結(jié)果的循環(huán)過程.但是,這不是我們希望遇到的,我們期望的是盡可能少的次數(shù)就能完成任務(wù).

    最后,如何檢驗(yàn)和應(yīng)用結(jié)果?當(dāng)完成了以上各個(gè)步驟之后,就是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情境是否吻合了.這一過程能讓學(xué)生明白準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果如何近似地解釋實(shí)際問題.因?yàn)槲覀兊玫降氖菍?shí)際問題的一個(gè)近似值,這個(gè)值的可信度有多大?能不能接受?是否需要修改?等等,需要從多個(gè)角度來考慮.

    在整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程中,或許只有極少數(shù)學(xué)生能夠完成全部過程的每個(gè)環(huán)節(jié)和階段,利用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法解決該實(shí)際問題,而大部分學(xué)生只能完成其中的一個(gè)或兩個(gè)步驟.盡管如此,即使對(duì)于只能完成其中一個(gè)步驟的學(xué)生,這樣的過程也有助于提高他們數(shù)學(xué)建模的信心,積淀建模的核心素養(yǎng).例如,通過觀察,發(fā)現(xiàn)相鄰的四個(gè)菠蘿籽可以構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn),進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為研究圖形的關(guān)系.這一過程或許使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待外部世界,樹立良好的數(shù)學(xué)情感和態(tài)度.

    4 結(jié)束語(yǔ)

    總的來說,數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程,讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法,長(zhǎng)了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界”的見識(shí),領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)”的道理.

    盡管中學(xué)數(shù)學(xué)建模目前的狀況并不理想,絕大部分學(xué)生的建模能力都比較低.然而,引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”應(yīng)該是我們追求的一種課堂教學(xué)價(jià)值取向,將“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)之一來培育學(xué)生核心素養(yǎng).“長(zhǎng)見識(shí)、悟道理”需要通過學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)來實(shí)現(xiàn),探索、嘗試、實(shí)驗(yàn)和實(shí)施有利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)形態(tài),是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)值得關(guān)注的問題.理解和把握與“長(zhǎng)見識(shí)”“悟道理”相關(guān)的教學(xué)之道,是數(shù)學(xué)教學(xué)深入改革的方向.

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